110 中央印製廠分類職 印製工程員(2) 基本電學 考古題詳解

核心觀念

圖 1 為 $30\ \Omega$ 電阻與 $40\ \Omega$、$20\ \Omega$ 電阻並聯後串聯。使用：

• 並聯等效電阻： $R_p=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 歐姆定律： $I=\frac{V}{R}$
• 電功率： $P=I^2R=\frac{V^2}{R}$

解題方法

先計算 $40\ \Omega$ 與 $20\ \Omega$ 的並聯等效電阻：

全電路等效電阻為：

電源總電流為：

並聯端電壓為：

核心觀念

本題考查無限電阻梯形電路的自我相似性，以及串聯、並聯電阻的等效化簡。

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯： $R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

令由第一組並聯電阻兩端看入的等效電阻為 $X$。由於右側電路無限延伸，去除最左側一組後，剩餘部分與原電路具有相同結構。

解題方法

在第一個 $4R$ 電阻兩端看入，電路有兩條並聯路徑：

1. 直接通過垂直電阻 $4R$；
2. 經由上方電阻 $R$、後續等效電阻 $X$、下方電阻 $R$，總電阻為 $2R+X$。

因此：

代入並聯公式：

交叉相乘：

核心觀念

本題考查：

• 電阻串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 電阻並聯：$\displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 惠斯登電橋平衡條件
• 歐姆定律：$\displaystyle I=\frac{V}{R}$

圖 3 中，$10\Omega$、$5\Omega$ 與 $30\Omega$、$15\Omega$ 形成橋式電路。因為

符合電橋平衡條件，因此連接兩中間節點的 $20\Omega$ 電阻沒有電流通過，可視為開路。

解題方法

（一）求 $ab$ 端等效電阻

移除不通電流的 $20\Omega$ 電阻後，電路分成兩條由節點至 $b$ 端的支路：

第一支路：

第二支路：

兩支路彼此並聯，因此其等效電阻為

此並聯部分再與左側的 $25\Omega$ 電阻串聯，所以

因此

核心觀念

本題考察戴維寧等效電路：

• 戴維寧電壓 $V_{\mathrm{th}}$：$ab$ 端開路時的端電壓。
• 戴維寧電阻 $R_{\mathrm{th}}$：將獨立電壓源短路、獨立電流源開路後，從 $ab$ 端看入的等效電阻。
• 最大功率傳輸定理：

最大負載功率為：

解題方法

（一）求戴維寧等效電路

取 $b$ 點為接地，左側電壓源使其上端電位為 $12\text{ V}$。設中間節點電壓為 $V_c$，$a$ 點電壓為 $V_a$。

求 $V_{\mathrm{th}}$ 時，$ab$ 端開路，但圖中的 $4\Omega$ 電阻仍屬於左側電路，必須保留。

對節點 $c$ 寫 KCL：

整理得：

對節點 $a$ 寫 KCL：

乘以 $12$：

由 $V_c=V_a+18$ 代入：

因此：

接著求 $R_{\mathrm{th}}$：

• $12\text{ V}$ 電壓源短路。
• $2\text{ A}$ 電流源開路。

由 $a$、$b$ 端看入，有兩條並聯路徑：

1. 直接經過 $4\Omega$；
2. 經過上方兩個串聯電阻：

所以：

核心觀念

本題考查平衡三相負載的複數功率、功率因數、線電流，以及並聯電容器改善功率因數。

三相總複數功率為

其中：

• $P$：總有功功率
• $Q$：總無功功率，感性負載為正
• $|S|=\sqrt{P^2+Q^2}$
• 功率因數：

功率因數落後表示負載呈感性，電流落後電壓。

解題方法

（一）三相負載總合複數功率與功率因數

負載 1

已知：

因為功率因數落後，

所以

負載 1 的無功功率為

因此

且

負載 2

已知：

同樣有

因此

所以

總合複數功率

其大小為

總功率因數為

因為總無功功率為正，故為落後功率因數。

（二）電源端的線電流

平衡三相系統中，若 $220\text{ V}$ 為線電壓，則

因此線電流大小為

總功率因數角為

若以相電壓 $V_{an}$ 為相角 $0^\circ$，且電流由電源流向負載，則：

因為為 $abc$ 正相序：

若以線電壓 $V_{ab}$ 為 $0^\circ$ 參考，則各線電流相角整體減少 $30^\circ$：

（三）以 $\Delta$ 接線電容器改善功率因數

核心觀念

本題考查理想運算放大器的：

1. 負回授特性：在線性工作區內，$v_+=v_-$。
2. 輸入端不取電流：理想運算放大器輸入電流為零。
3. 非反相放大器增益： $A_v=1+\frac{R_f}{R_1}$
4. 輸出飽和限制：輸出電壓不能超過電源偏壓範圍。

右側 $27\text{ k}\Omega$ 為負載電阻，理想運算放大器可提供所需負載電流，因此不影響電壓增益。

解題方法

（一）$v_g=4\text{ V}$ 時的輸出電壓

先計算非反相端電壓。由 $12\text{ k}\Omega$ 與 $68\text{ k}\Omega$ 分壓：

代入 $v_g=4\text{ V}$：

由於運算放大器採用負回授且尚未飽和：

反相端由輸出端經 $63\text{ k}\Omega$ 回授，並經 $30\text{ k}\Omega$ 接地，因此為非反相放大器：

核心觀念

本題考查：

• 直流穩態時，電容器視為開路。
• 電容器電壓不能瞬間改變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$。
• 一階 RC 放電電路：

$v_C(t)=V_f+\left[V_C(0^+)-V_f\right]e^{-t/\tau}$

• 時間常數：

$\tau=R_{\text{eq}}C$

• 電容器儲能：

$W_C=\frac{1}{2}CV_C^2$

解題方法

（一）求 $v_C(0^-)$ 與 $i_C(0^-)$

開關在左側且已經很久，電路達到直流穩態，因此電容器相當於開路。

所以左側 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻中沒有電流，沒有壓降，電容器上端電壓等於左側節點電壓。

$10\,\text{mA}$ 電流全部流經 $20\,\text{k}\Omega$ 電阻：

$v_C(0^-)=10\,\text{mA}\times20\,\text{k}\Omega=200\,\text{V}$

穩態時電容器為開路，因此：

$i_C(0^-)=0$

（二）求 $t=0$ 時電容器的初期儲能

電容值為：

$C=400\,\text{nF}=400\times10^{-9}\,\text{F}$

電容器初始電壓為 $200\,\text{V}$，故：

（三）求 $t\geq0$ 時的 $v_C(t)$

開關切換至右側後，電容器經由 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻，接到 $50\,\text{k}\Omega$ 與 $75\,\text{k}\Omega$ 的並聯電阻。

先求並聯電阻：

核心觀念

三孔插座的三個端子分別為：

• 火線（高電位線，hot wire）：提供 $110\text{ V}$ 電位。
• 中性線（低電位線，neutral wire）：通常接回電源系統中性點。
• 接地線（ground wire）：與設備外殼連接，發生漏電時提供故障電流回路，使保護裝置動作，避免人員觸電。

判斷三孔插座位置時，依圖 8 的插座方向：

• 右側較短的插孔為火線。
• 左側較長的插孔為中性線。
• 下方半圓形或接地符號形插孔為接地線。

解題方法

先依插座孔形與位置辨認功能，再將牆上插座的三條線，分別接至家電插頭的三個電極：

1. 火線接插頭的火線端子。
2. 中性線接插頭的中性端子。
3. 接地線接插頭的接地端子，並連接家電金屬外殼。

接地線不可省略，也不可將接地線與中性線任意混接。

（一）各插孔判斷

依圖 8：

• $A$：右側短插孔，為火線（hot wire）。
• $C$：左側長插孔，為中性線（neutral wire）。
• $B$：下方接地插孔，為接地線（ground wire）。

（二）家電接地示意圖

可用下列簡圖表示：