110 中央印製廠分類職 生產管理員 統計學與抽樣計畫 考古題詳解

核心觀念

本題檢定臺灣都市居民每人每年花費在書籍雜誌的母體平均數 $\mu$，是否高於全國平均數 $1,520$ 元。

已知全國母體標準差 $\sigma=600$ 元，且樣本數 $n=16$，因此採用「單一母體平均數之 $Z$ 檢定」。由於研究問題具有方向性「高於」，採右尾單尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

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（一）適當的假設檢定

解題方法

設定假設如下：

$$H_0:\mu\leq 1520$$ $$H_1:\mu>1520$$

實務計算時，將虛無假設的邊界值寫成：

$$H_0:\mu=1520$$

這是右尾單尾 $Z$ 檢定，因為：

1. 檢定標的是單一母體平均數。
2. 母體標準差 $\sigma=600$ 已知。
3. 研究目的在判斷都市居民平均花費是否「高於」全國平均值，具有明確方向性。

檢定統計量為：

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} =\frac{\bar X-1520}{600/\sqrt{16}}$$

在 $\alpha=0.05$ 的右尾檢定下，臨界值為：

$$z_{0.95}=1.645$$

因此拒絕域為：

$$Z>1.645$$

若計算所得的 $Z$ 值大於 $1.645$，即表示都市居民平均花費顯著高於全國平均值。

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（二）抽樣分配標準差

解題方法

樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配標準差稱為標準誤，公式為：

$$SE_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

代入題目資料：

$$SE_{\bar X} =\frac{600}{\sqrt{16}} =\frac{600}{4} =150$$

因此，本次抽樣平均數的抽樣分配標準差為：

$$\boxed{150\text{ 元}}$$

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核心觀念

本題考查：

1. Pearson 積差相關係數及其顯著性檢定。
2. 一元線性迴歸方程式。
3. 利用迴歸方程式進行新觀測值的推估。
4. 迴歸預測區間公式與 $t$ 分配臨界值。

令：

• $X$：學習信心
• $Y$：學習成果
• $n=15$
• $\bar{x}=54.13$
• $\bar{y}=63.26$
• $s_x=6.35$
• $s_y=6.98$

題目相關表中的「焦慮指數」應視為表格誤植，依題意採用「學習信心」解題。

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（一）相關係數及顯著性判斷

解題方法

由 Pearson 相關表可直接讀得：

$$r_{XY}=0.821$$

因此，學習信心與學習成果呈現高度正相關。也就是說，學習信心越高者，學習成果通常也越高。

檢定假設為：

$$H_0:\rho=0$$ $$H_1:\rho>0$$

因為題目提供單尾顯著性為 $0.000$，故：

$$p<0.001<0.05$$

在 $95\%$ 信心水準下，拒絕虛無假設，表示學習信心與學習成果之間具有統計上顯著的正相關。

亦可利用檢定統計量驗算：

$$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$$

代入：

$$t=\frac{0.821\sqrt{15-2}}{\sqrt{1-0.821^2}} =\frac{0.821\sqrt{13}}{\sqrt{1-0.674041}} \approx 5.190$$

自由度為：

$$df=n-2=13$$

而 $t=5.190$ 對應的 $p$ 值小於 $0.05$，結論與表格相同。

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（二）直線迴歸方程式

解題方法

一元線性迴歸方程式為：

$$\hat{Y}=a+bX$$

由迴歸係數表可得：

• 常數項 $a=14.422$
• 學習信心之迴歸係數 $b=0.902$

因此迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat{Y}=14.422+0.902X}$$

其中：

• $\hat{Y}$ 為預測的學習成果分數；
• $X$ 為學習信心分數。

斜率 $0.902$ 的意義是：學習信心每增加 $1$ 分，預測的學習成果平均增加約 $0.902$ 分。

在只有一個自變項的一元迴歸中，標準化迴歸係數 $\beta$ 等於相關係數：

$$\beta=r=0.821$$

可作為結果合理性的驗算。

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（三）學習信心為 $63$ 時的 $95\%$ 區間

解題方法

先計算預測值：

$$\hat{Y}_0=14.422+0.902(63)$$ $$\hat{Y}_0=14.422+56.826=71.248$$

因此，該員工預測的學習成果分數為 $71.248$ 分。

由於題目問的是「這位同事」單一新受訓者的學習成果，應採用單一新觀測值的 $95\%$ 預測區間：

$$\hat{Y}_0\pm t_{0.025,13}s_e \sqrt{1+\frac{1}{n}+ \frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{xx}}}$$

其中：

$$S_{xx}=(n-1)s_x^2 =14(6.35)^2 =564.515$$

核心觀念

本題考查二因子變異數分析中的「混合設計」：

• 因子一：客戶規模，分為大型、中小型，共 2 組。
• 因子二：滿意度面向，分為服務品質、印刷品質、價格合理程度，共 3 個面向。
• 研究目的：

1. 比較不同客戶規模的滿意度是否有差異。
2. 比較三種滿意度面向的平均滿意度是否有差異。
3. 判斷客戶規模與滿意度面向之間是否存在交互作用。

變異數分析表中各欄位的基本關係為：

$$MS=\frac{SS}{df}$$ $$F=\frac{MS_{\text{效果}}}{MS_{\text{誤差}}}$$

本題誤差均方為：

$$MS_E=0.449$$

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（一）計算 $A,B,C,D,E,F$

1. 計算 $A$

客戶規模的均方為：

$$A=MS_{\text{客戶規模}} =\frac{SS}{df} =\frac{7.347}{1} =7.347$$

因此：

$$\boxed{A=7.347}$$

2. 計算 $B$

$$B=F_{\text{客戶規模}} =\frac{MS_{\text{客戶規模}}}{MS_E} =\frac{7.347}{0.449} \approx 16.362$$

因此：

$$\boxed{B\approx16.362}$$

3. 計算 $C$

滿意度面向的均方為：

$$C=MS_{\text{滿意度面向}} =\frac{8.493}{2} =4.2465$$

因此：

$$\boxed{C=4.2465}$$

4. 計算 $D$

$$D=F_{\text{滿意度面向}} =\frac{4.2465}{0.449} \approx 9.457$$

因此：

$$\boxed{D\approx9.457}$$

5. 計算 $E$

客戶規模與滿意度面向交互作用的均方為：

$$E=MS_{\text{交互作用}} =\frac{1.258}{2} =0.629$$

因此：

$$\boxed{E=0.629}$$

6. 計算 $F$

$$F=F_{\text{交互作用}} =\frac{0.629}{0.449} \approx1.401$$

因此：

$$\boxed{F\approx1.401}$$

（一）答案整理

欄位	數值
$A$	$7.347$
$B$	$16.362$
$C$	$4.2465$
$D$	$9.457$
$E$	$0.629$
$F$	$1.401$

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（二）滿意度面向兩兩比較

核心判斷原則

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若平均值差異的 $95\%$ 信賴區間不包含 $0$，表示兩個面向之間具有顯著差異。

若信賴區間包含 $0$，表示差異未達統計顯著。

1. 服務品質（1）與印刷品質（2）

核心觀念

本題比較兩種不同學習風格員工的「教育訓練滿意度平均數」是否有顯著差異：

• 場地獨立組：$n_1=15$
• 場地依賴組：$n_2=10$
• 依變項「滿意度」視為連續數值資料
• 兩組員工彼此獨立

因此應採用「獨立樣本 $t$ 檢定」（independent-samples $t$ test），進行雙尾檢定。

虛無假設與對立假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$ $$H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

其中，$\mu_1$ 為場地獨立員工的平均滿意度，$\mu_2$ 為場地依賴員工的平均滿意度。

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解題方法

（一）應進行何種假設檢定？

本題只有兩個相互獨立的群體，欲比較兩組教育訓練滿意度的平均數，因此使用：

$$\boxed{\text{獨立樣本 }t\text{ 檢定}}$$

由於題目問「是否有影響之顯著性」，沒有指定哪一組滿意度較高，因此採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_{\text{場地獨立}}=\mu_{\text{場地依賴}}$$ $$H_1:\mu_{\text{場地獨立}}\ne\mu_{\text{場地依賴}}$$

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（二）自變項與依變項

自變項

自變項為「學習風格」，分為兩個類別：

1. 場地獨立
2. 場地依賴

依變項

依變項為「教育訓練滿意度」，通常以滿意度量表分數表示。

因此：

$$\boxed{\text{自變項：學習風格}}$$ $$\boxed{\text{依變項：教育訓練滿意度}}$$

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（三）自由度

獨立樣本 $t$ 檢定在假設兩組母體變異數相等時，自由度為：

$$df=n_1+n_2-2$$

代入本題資料：

$$df=15+10-2=23$$

因此：

$$\boxed{df=23}$$

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（四）$95\%$ 信賴區間的臨界值

本題為雙尾檢定，顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

因此兩側各分配：

核心觀念

本題考查「百分位數」（Percentile, $P_k$）與「百分位數排名」（Percentile Rank, $PR$）的計算。

總人數為：

$$N=20+42+68+175+135+95+5=540$$

由於考績分數以整數分組，計算時採用連續組界：

• $85\sim89$ 分的組界為 $84.5\sim89.5$
• 組距為 $5$
• 85～89 分組的人數為 $42$ 人

對於組距資料，某分數 $X$ 的百分位排名公式為：

$$PR_X= \frac{ \text{低於該組的累積人數} + \frac{X-\text{組下界}}{\text{組距}}\times\text{該組人數} }{N} \times100\%$$

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解題方法

（一）87 分之百分位數排名與年終獎金

87 分落在 $85\sim89$ 分組。

低於 $85$ 分的人數為：

$$540-62=478$$

在 $85\sim89$ 分組中，從組下界 $84.5$ 分至 87 分的比例為：

$$\frac{87-84.5}{5}=\frac{2.5}{5}=0.5$$

因此，估計低於 87 分的人數為：

$$478+0.5\times42=499$$

所以 87 分的百分位數排名為：

$$PR_{87} = \frac{499}{540}\times100\% \approx92.41\%$$

因為：

$$90\%\le92.41\%<95\%$$

故甲員可領：

$$\boxed{1.5\text{ 個月年終獎金}}$$

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（二）領取 2 個月年終獎金之最低分數

領取 2 個月獎金的條件為：

$$PR\ge95\%$$

先求第 $95$ 百分位數的位置：

$$0.95\times540=513$$

依分數由低至高累計：

核心觀念

本題考查 MIL-STD-105E（以計數值抽樣檢驗為主）的三項基本概念：

1. 抽樣計畫的型式。
2. 檢驗嚴格程度的轉換。
3. AQL 的定義及其數值意義。

MIL-STD-105E 的抽樣計畫，主要依批量、檢驗水準及 AQL，查表決定樣本數與允收數 $Ac$、拒收數 $Re$。

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（一）抽樣型式與檢驗種類

1. 三種抽樣型式

MIL-STD-105E 包含下列三種抽樣型式：

（1）單次抽樣（Single Sampling Plan）

自一批產品中抽取一個樣本，依樣本中的不良品數決定允收或拒收。

設樣本中發現的不良品數為 $d$：

• 若 $d \leq Ac$，允收該批。
• 若 $d \geq Re$，拒收該批。

通常單次抽樣具有程序簡單、判定快速的優點。

（2）雙次抽樣（Double Sampling Plan）

先抽取第一個樣本，依結果作成三種判定：

• 達到允收條件：立即允收。
• 達到拒收條件：立即拒收。
• 結果介於兩者之間：再抽取第二個樣本。

最後將第一、第二次樣本的不良品數合計，再與第二階段的 $Ac$、$Re$ 比較，決定允收或拒收。

（3）多次抽樣（Multiple Sampling Plan）

分成數個階段抽樣，每一階段依累計檢驗結果判定：

• 可允收時即允收。
• 可拒收時即拒收。
• 尚無法判定時，進入下一次抽樣。

多次抽樣可在部分批次較早作成判定，平均樣本數可能較少，但操作及管理較為複雜。

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2. 每種抽樣型式的三種檢驗

上述三種抽樣型式，每一種均可採用下列三種檢驗嚴格程度：

（1）正常檢驗（Normal Inspection）

在一般生產及品質狀況下使用，為最基本、最常用的檢驗方式。

（2）加嚴檢驗（Tightened Inspection）

當供應商近期品質表現不佳，達到標準規定的轉換條件時使用。

加嚴檢驗通常具有較嚴格的允收條件，使品質不良的批次較不容易被允收。

（3）減量檢驗（Reduced Inspection）

當供應商品質穩定、批次通過情形良好，且符合轉換規則時使用。

減量檢驗通常抽取較少樣本，以降低檢驗成本與時間，但仍須依規定維持品質監控。

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答題整理

MIL-STD-105E 的三種抽樣型式為：

• 單次抽樣
• 雙次抽樣
• 多次抽樣

每一種抽樣型式又可分為：

• 正常檢驗
• 加嚴檢驗
• 減量檢驗

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（二）AQL 的定義

1. AQL 的全名

AQL 是 Acceptable Quality Level 的縮寫，中文通常譯為「允收品質水準」或「可接受品質水準」。

2. AQL 的正式意義

AQL 是買賣雙方約定後，作為抽樣檢驗基準的品質水準，表示在連續生產過程中，所能接受的製程平均不良率上限水準。

以計件不良率表示時：

$$\text{不良率} = \frac{\text{不良品件數}}{\text{檢驗總件數}} \times 100\%$$

AQL 並不是指每一批產品都必須恰好達到該不良率，也不是表示只要不良率低於 AQL 就必然允收。實際允收結果仍須依抽樣計畫、樣本數及允收數 $Ac$ 判定。

3. AQL 的抽樣檢驗角色

AQL 主要具有下列作用：

核心觀念

本題有兩個類別變數：

• 地區：甲、乙，共 $2$ 類。
• 對勞動基準法態度：支持、反對、無意見，共 $3$ 類。

欲判斷「地區」與「支持度」是否有關聯，適用卡方獨立性檢定（$\chi^2$ test of independence）。此方法也可視為比較兩地區態度分布是否相同的卡方同質性檢定。

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（一）應使用何種假設檢定？

使用「卡方獨立性檢定」。

設：

• $H_0$：地區與居民態度相互獨立，亦即甲、乙兩地區對勞動基準法的態度分布相同。
• $H_1$：地區與居民態度不相互獨立，亦即兩地區的態度分布不同。

卡方檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中：

• $O$：觀察次數（Observed frequency）
• $E$：期望次數（Expected frequency）

期望次數公式為：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總人數}}$$

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（二）$\alpha=.05$ 時的臨界值

自由度為：

$$df=(r-1)(c-1)$$

本題有 $r=2$ 列、$c=3$ 欄，因此：

$$df=(2-1)(3-1)=2$$

在顯著水準 $\alpha=.05$ 下，卡方分配採右尾檢定，臨界值為：

$$\chi^2_{.05,2}=5.991$$

拒絕域為：

$$\chi^2>5.991$$

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（三）選擇 $H_0$ 或 $H_1$

1. 計算各列、欄合計

	支持	反對	無意見	列合計
甲地區	158	105	37	300
乙地區	119	94	37	250
欄合計	277	199	74	550

2. 計算期望次數

甲地區支持：

$$E_{11}=\frac{300(277)}{550}=151.091$$

甲地區反對：

$$E_{12}=\frac{300(199)}{550}=108.545$$

甲地區無意見：

$$E_{13}=\frac{300(74)}{550}=40.364$$

乙地區支持：

核心觀念

本題比較甲、乙、丙三個獨立社區的平均所得，屬於「三個以上母體平均數是否相等」的問題，應使用單因子變異數分析（One-way ANOVA）。

設三個社區平均所得分別為 $\mu_甲,\mu_乙,\mu_丙$：

$$H_0:\mu_甲=\mu_乙=\mu_丙$$ $$H_1:\text{至少有一個社區的平均所得不同}$$

樣本數為：

$$N=6+5+8=19,\qquad k=3$$

單因子變異數分析的自由度為：

• 組間自由度：$k-1$
• 組內自由度：$N-k$
• 總自由度：$N-1$

因此：

$$df_B=3-1=2$$ $$df_W=19-3=16$$ $$df_T=19-1=18$$

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（一）應使用何種檢定？

應使用「單因子變異數分析」，亦即單因子 ANOVA 的 $F$ 檢定。

選用理由是：

1. 自變數為社區，具有甲、乙、丙三個類別。
2. 依變數為家庭平均年收入，屬於連續型數值。
3. 目的在比較三個以上獨立群體的平均數是否相等。

基本假設包括：

• 各觀察值彼此獨立。
• 各群體母體近似常態分配。
• 各群體母體變異數相等。

【答案】單因子變異數分析（One-way ANOVA）。

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（二）$\alpha=0.05$ 時的臨界值

ANOVA 使用右尾 $F$ 檢定，分子自由度為組間自由度，分母自由度為組內自由度：

$$df_1=2,\qquad df_2=16$$

因此臨界值為：

$$F_{0.05;(2,16)}=F_{0.95}(2,16)\approx 3.634$$

判斷規則為：

$$F>3.634$$

則拒絕虛無假設。

【答案】臨界值為 $F_{0.05;(2,16)}\approx 3.634$。

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（三）變異數分析表的錯誤與修正

1. 先由樣本數判斷自由度

總樣本數為 $19$，群組數為 $3$，所以：

$$df_B=3-1=2$$ $$df_W=19-3=16$$ $$df_T=19-1=18$$

因此原表中的自由度：

• 群組之間 $df=3$：錯誤，應為 $2$。
• 群組內 $df=19$：錯誤，應為 $16$。
• 總計 $df=22$：錯誤，應為 $18$。

2. 修正均方

組間均方：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{2449.913}{2} =1224.9565\approx1224.956$$

組內均方：