110 中華郵政招考營運職 電機工程 電力系統與控制系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查中程輸電線的 $\pi$ 型等效電路，以及二埠網路的傳輸參數（$A$、$B$、$C$、$D$）：

$$\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}$$

$\pi$ 型等效電路可視為三個二埠網路串接：

1. 送電端並聯導納：$\dfrac{Y}{2}$
2. 中間串聯阻抗：$Z$
3. 受電端並聯導納：$\dfrac{Y}{2}$

各基本二埠網路的傳輸矩陣為：

並聯導納 $Y_p$：

$$\begin{bmatrix} 1&0\\ Y_p&1 \end{bmatrix}$$

串聯阻抗 $Z$：

$$\begin{bmatrix} 1&Z\\ 0&1 \end{bmatrix}$$

解題方法

由受電端往送電端方向進行矩陣串接，因此：

$$\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{Y}{2}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&Z\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{Y}{2}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}$$

先計算右側兩個矩陣：

核心觀念

本題考查「兩線短路故障」的對稱分量分析。由圖二可知，$b$、$c$兩相經由接觸阻抗 $Z_f$ 相碰，$a$相未故障。

兩線故障的基本條件為：

• $I_a=0$
• $I_b=-I_c$
• 零序電流 $I_0=0$
• 正、負序電流大小相等、方向相反：$I_2=-I_1$

假設故障前系統為平衡三相系統，且故障點正序等效電壓為 $E=1\angle0^\circ\ \mathrm{pu}$。

---

解題方法

故障點三序阻抗為

$$Z_1=j0.1,\qquad Z_2=j0.1$$

零序電抗 $Z_0$ 因為 $I_0=0$，不會參與本題計算。

對於 $b$-$c$ 兩線故障，正序與負序網路串聯，且接觸阻抗也串聯，因此：

$$I_1=\frac{E}{Z_1+Z_2+Z_f}$$

代入 $Z_f=j0.2$：

$$I_1=\frac{1}{j0.1+j0.1+j0.2} =\frac{1}{j0.4} =-j2.5 =2.5\angle-90^\circ\ \mathrm{pu}$$

由兩線故障條件：

$$I_2=-I_1=j2.5,\qquad I_0=0$$

令

$$a=1\angle120^\circ$$

相電流與序電流的關係為：

$$I_b=a^2I_1+aI_2$$

因為 $I_2=-I_1$，所以

$$I_b=(a^2-a)I_1$$

又

$$a^2-a=-j\sqrt{3}$$

因此：

核心觀念

本題考查狀態空間模型的四項基本分析：

1. 由 $G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$ 求轉移函數。
2. 由系統矩陣 $A$ 的特徵值判斷連續時間系統穩定性。
3. 由可觀察矩陣 $\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\ \cdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}$ 判斷系統是否可觀察。
4. 施加輸出回授 $u(t)=ky(t)$ 後，分析閉迴路系統矩陣的特徵值。

系統矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} -2&1\\ 0&-1 \end{bmatrix},\quad B= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix},\quad C= \begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix},\quad D=0$$

---

（一）求轉移函數 $G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}$

解題方法

假設初始條件為零，對狀態方程式取拉普拉氏轉換：

$$sX(s)=AX(s)+BU(s)$$

因此

$$(sI-A)X(s)=BU(s)$$

其中

$$sI-A= \begin{bmatrix} s+2&-1\\ 0&s+1 \end{bmatrix}$$

也可直接由個別狀態方程式求解。

由第二個狀態方程式：

$$\dot{x}_2(t)=-x_2(t)+u(t)$$

取拉普拉氏轉換：

$$sX_2(s)=-X_2(s)+U(s)$$

所以

$$X_2(s)=\frac{1}{s+1}U(s)$$

又因為輸出為

$$y(t)=x_2(t)$$

故

$$Y(s)=X_2(s)$$

因此轉移函數為

$$\boxed{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+1}}$$

矩陣公式驗算

由

$$(sI-A)^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{s+2}&\dfrac{1}{(s+2)(s+1)}\\ 0&\dfrac{1}{s+1} \end{bmatrix}$$

可得

$$C(sI-A)^{-1}B = \begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{s+2}&\dfrac{1}{(s+2)(s+1)}\\ 0&\dfrac{1}{s+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{s+1}$$

所以結果一致。

解題技巧

因為輸出直接等於 $x_2(t)$，且 $x_2$ 的微分方程式獨立為一階方程式：

$$\dot{x}_2=-x_2+u$$

因此可直接判斷轉移函數為 $1/(s+1)$，不必完整計算二階矩陣反矩陣。

---

（二）求特徵值並判斷穩定性

解題方法

特徵值由特徵方程式

$$\det(\lambda I-A)=0$$

求得：

$$\lambda I-A= \begin{bmatrix} \lambda+2&-1\\ 0&\lambda+1 \end{bmatrix}$$

因此

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda+2)(\lambda+1)$$

令其等於零：

$$(\lambda+2)(\lambda+1)=0$$

所以系統特徵值為

$$\boxed{\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-1}$$

穩定性判斷

連續時間線性時不變系統漸近穩定的條件是：所有特徵值的實部皆小於零。

本題中

$$\operatorname{Re}(\lambda_1)=-2<0,\qquad \operatorname{Re}(\lambda_2)=-1<0$$

因此系統為漸近穩定系統。

$$\boxed{\text{本系統為穩定系統}}$$

解題技巧

對於三角形矩陣，特徵值直接等於主對角線元素，因此本題可立即得到

$$\lambda=-2,\,-1$$

判斷連續時間系統穩定時，重點是所有特徵值實部必須為負。

---

（三）判斷系統是否可觀察

核心定義

對二階系統，可觀察矩陣為

$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C\\ CA \end{bmatrix}$$

若

$$\operatorname{rank}(\mathcal{O})=2$$

則系統完全可觀察。

計算可觀察矩陣

已知

$$C=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}$$

先計算 $CA$：

核心觀念

本題考查：

• 負單位回授系統的閉迴路轉移函數
• 閉迴路特徵方程式
• 二階系統的魯斯穩定判據
• 單位步階輸入下的穩態誤差與終值定理

由圖可知為負單位回授，因此

$$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{D(s)P(s)}{1+D(s)P(s)}.$$

---

（一）閉迴路轉移函數

前向傳遞函數為

$$D(s)P(s) =\frac{s+z}{s+p}\cdot\frac{1}{s-1} =\frac{s+z}{(s+p)(s-1)}.$$

負回授閉迴路轉移函數為

$$G(s) =\frac{\dfrac{s+z}{(s+p)(s-1)}} {1+\dfrac{s+z}{(s+p)(s-1)}}.$$

整理得

$$G(s) =\frac{s+z}{(s+p)(s-1)+(s+z)}.$$

計算分母：

$$(s+p)(s-1)+(s+z) =s^2+(p-1)s-p+s+z =s^2+ps+(z-p).$$

因此

$$\boxed{ G(s)=\frac{s+z}{s^2+ps+(z-p)} }$$

---

（二）利用魯斯定理求穩定條件

閉迴路特徵方程式為

$$s^2+ps+(z-p)=0.$$

其魯斯表為

$$\begin{array}{c|cc} s^2 & 1 & z-p\\ s^1 & p & 0\\ s^0 & z-p & \end{array}$$

若系統穩定，魯斯表第一欄必須全部同號且為正，因此需滿足

$$1>0,\qquad p>0,\qquad z-p>0.$$

所以穩定條件為

$$\boxed{p>0,\qquad z>p}$$

亦可寫成

$$\boxed{p>0,\qquad z-p>0}.$$

此時閉迴路特徵多項式的兩個係數皆為正，兩個閉迴路極點皆位於 $s$ 平面的左半部。

---

（三）單位步階輸入下的步階誤差

依控制系統慣用語，本小題的「步階誤差」指單位步階輸入下的穩態誤差。

負回授系統的誤差為

$$E(s)=R(s)-Y(s) =\frac{R(s)}{1+D(s)P(s)}.$$

由

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

可得

$$E(s) =\frac{1}{s} \frac{(s+p)(s-1)} {(s+p)(s-1)+(s+z)}.$$

因此