核心觀念

本題考查功能相依性、候選鍵、屬性閉包，以及由 1NF 逐步分解至 2NF、3NF、BCNF。

• 若 $X\to Y$，表示只要 $X$ 相同，$Y$ 必定相同。
• 候選鍵是能決定整個關係的最小屬性集合。
• 2NF：關係須先滿足 1NF，且每一個非主屬性都完全功能相依於每一個候選鍵，不得只相依於候選鍵的一部分。
• 3NF：對每一個非平凡 FD $X\to Y$，至少符合下列一項：

1. $X$ 是超鍵；
2. $Y$ 是主屬性。

• BCNF：對每一個非平凡 FD $X\to Y$，$X$ 必須是超鍵。

其中，主屬性是出現在任一候選鍵中的屬性。

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一、找出原始關係的候選鍵

令原始關係為：

$$R(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J)$$

已知 FD：

$$C\to B$$ $$G\to H,J$$ $$A\to E,F,I$$ $$AB\to C,D,E,F,G,H,I,J$$

1. 判斷 $AB$ 是否為候選鍵

由題目直接給出：

$$AB\to C,D,E,F,G,H,I,J$$

再加上 $A,B$ 本身，可得：

$$(AB)^+=\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$$

因此 $AB$ 是超鍵。

檢查最小性：

• $A^+=\{A,E,F,I\}$，無法得到全部屬性；
• $B^+=\{B\}$，無法得到全部屬性。

所以 $AB$ 是候選鍵。

2. 判斷 $AC$ 是否為候選鍵

由：

$$C\to B$$

可先由 $AC$ 得到 $B$：

$$AC\to AB$$

再由：

$$AB\to C,D,E,F,G,H,I,J$$

得到全部屬性，因此：

$$(AC)^+=\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$$

且：

• $A^+$ 不完整；
• $C^+=\{C,B\}$，不完整。

所以 $AC$ 也是候選鍵。

因此原始關係的候選鍵為：

$$\boxed{AB,\ AC}$$

主屬性為：

$$\boxed{A,B,C}$$

非主屬性為：

$$\boxed{D,E,F,G,H,I,J}$$

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（一）分解成 2NF

判斷部分相依

原始候選鍵為 $AB$ 與 $AC$。

題目給出：

$$A\to E,F,I$$

由於 $A$ 是候選鍵 $AB$ 的真子集，也是候選鍵 $AC$ 的真子集，而 $E,F,I$ 都是非主屬性，因此：

$$A\to E,F,I$$

是部分功能相依，違反 2NF。

因此將 $A\to E,F,I$ 分離成一個關係：

$$R_1(A,E,F,I)$$

其餘屬性保留於另一關係：

$$R_2(A,B,C,D,G,H,J)$$

2NF 分解結果

$$\boxed{R_1(A,E,F,I)}$$ $$\boxed{R_2(A,B,C,D,G,H,J)}$$

為何 $R_2$ 已符合 2NF？

在 $R_2$ 中，主要相關 FD 為：

$$C\to B$$ $$G\to H,J$$ $$AB\to C,D,G,H,J$$

$R_2$ 的候選鍵仍可取為 $AB$ 與 $AC$。

• $C\to B$ 的右側 $B$ 是主屬性；
• $G\to H,J$ 中，$G$ 並非候選鍵的一部分，因此不是「候選鍵部分屬性決定非主屬性」的情形；
• 不再存在 $A\to$ 非主屬性的部分相依。

所以 $R_1$ 與 $R_2$ 均符合 2NF。

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（二）分解成 3NF

2NF 仍可能存在傳遞相依。於 $R_2$ 中有：

$$G\to H,J$$

而 $G$ 是非主屬性，$H,J$ 也是非主屬性。由於 $G$ 並非 $R_2$ 的超鍵，形成非主屬性之間的傳遞相依，必須分解。

將其分離為：

$$R_3(G,H,J)$$

原 $R_2$ 剩餘屬性形成：

$$R_4(A,B,C,D,G)$$

因此 3NF 分解為：

核心觀念

本題綜合考查：

1. WHERE 條件篩選與 NOT IN 運算子。
2. 聚合函數 AVG 與單值子查詢（scalar subquery）。
3. ORDER BY 排序。
4. JOIN 表格連結。
5. GROUP BY 分組統計。
6. COUNT 計算筆數與 SUM 計算薪資總額。

關聯式資料庫中的資料表本身沒有固定順序，因此未使用 ORDER BY 的查詢，結果排列順序在理論上不保證固定；以下依題目所列資料順序呈現。

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（一）SQL-1

SELECT *
FROM EMPLOYEE
WHERE SAL_lel NOT IN ('SAL-05', 'SAL-12');

解題方法

NOT IN 表示欄位值不得等於括號內任一值：

$$SAL\_lel \ne 'SAL-05' \quad \text{且} \quad SAL\_lel \ne 'SAL-12'$$

因此排除薪級為 SAL-05 與 SAL-12 的員工，保留其他薪級資料。

查詢結果

EMP_id	EMP_name	EMP_since	SAL_lel
EMP-001	David	2010	SAL-01
EMP-002	Jenny	2010	SAL-03
EMP-008	Evans	2012	SAL-08
EMP-032	Wayne	2015	SAL-03
EMP-033	Oliver	2018	SAL-08
EMP-064	Mike	2021	SAL-08

解題技巧與陷阱

• NOT IN ('SAL-05', 'SAL-12') 是排除兩個薪級，不是只排除其中一個。
• SELECT * 會選出 EMPLOYEE 的所有欄位。
• 若欄位值為 NULL，使用 NOT IN 時不會被判定為 TRUE；本題資料沒有 NULL，因此不影響結果。

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（二）SQL-2

SELECT SAL_lel, SAL_name, SAL_mth
FROM SALARY
WHERE SAL_mth <= (SELECT AVG(SAL_mth) FROM SALARY)
ORDER BY SAL_mth ASC;

解題方法

先計算所有薪級的平均月薪：

$$AVG(SAL\_mth) = \frac{125000+85000+68000+45000+24000}{5}$$ $$= \frac{347000}{5} = 69400$$

子查詢：

SELECT AVG(SAL_mth) FROM SALARY

所得到的結果為 $69,400$，外層查詢只保留：

$$SAL\_mth \le 69,400$$

符合的薪資為 $68,000$、$45,000$、$24,000$，最後依 SAL_mth ASC 由低至高排序。

查詢結果

SAL_lel	SAL_name	SAL_mth
SAL-12	工讀生	24,000
SAL-08	專員級	45,000
SAL-05	課長級	68,000

解題技巧與陷阱

核心觀念

本題考查兩項資料庫核心觀念：

1. 參照完整性（referential integrity）與外來鍵（foreign key）。
2. 由題目敘述判斷 ER 模型中的實體、關係、鍵值、參與限制與多重性（multiplicity）。

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（一）參照完整性

1. 定義

參照完整性是指：關聯資料庫中的外來鍵值，必須能在被參照關係的候選鍵或主鍵中找到對應值。

假設有兩個關係：

$$R(A,\ B)$$

其中 $B$ 為外來鍵，參照關係：

$$S(B)$$

則 $R.B$ 中每一個非空值，都必須存在於 $S.B$ 中：

$$\forall r\in R,\quad r.B\neq NULL\Rightarrow \exists s\in S,\ r.B=s.B$$

換言之，子表中的外來鍵不能指向不存在的父表資料，避免產生「孤兒資料」。

2. 在關聯模型中的表示方法

在關聯模型中，參照完整性透過外來鍵與參照限制表示：

Student(SID, GroupName)
Group(GroupName, ProjectName)
Project(ProjectName)

其中：

• Student.GroupName 是外來鍵，參照 Group.GroupName。
• Group.ProjectName 是外來鍵，參照 Project.ProjectName。
• 被參照的欄位必須是主鍵或候選鍵。
• 若題目要求學生必須參加分組，則 Student.GroupName 必須設定為 NOT NULL。
• 若每個分組必須製作一個專題，則 Group.ProjectName 必須設定為 NOT NULL。

基本限制可表示為：

$$Student.GroupName\subseteq Group.GroupName$$ $$Group.ProjectName\subseteq Project.ProjectName$$

資料更新時，系統也必須處理父表資料被刪除或主鍵被修改的情況，例如拒絕刪除、連鎖刪除或將外來鍵設為空值。

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（二）（1）ER 模型

1. 實體集與鍵值屬性

Student 實體集

Student(SID)

• 鍵值屬性：SID
• 每位學生由唯一的 SID 識別。

Group 實體集

Group(Name)

• 鍵值屬性：Name
• 每個分組由唯一的分組名稱識別。

Project 實體集

Project(Name)

• 鍵值屬性：Name
• 每個專題由唯一的專題名稱識別。

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2. Student 與 Group 的關係

設關係為：

Student ── Participates ── Group

題目指出：

• 每個學生必須參加分組。
• 每個學生最多只能參加一個分組。

因此，Student 端的參與限制為：

$$(1,1)$$

題目未限制每個分組最多容納幾位學生，因此 Group 端為：

$$(0,N)$$

若依一般語意認定「分組」至少須有一位學生，也可標示為 $(1,N)$；但依題目明文資訊，應採用 $(0,N)$，因題目只明確規定學生端的必要參與。

ER 關係可表示為：

Student (1,1) ── Participates ── (0,N) Group

其中 Student 為完全參與（total participation），因為每位學生都必須參加分組。

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3. Group 與 Project 的關係

設關係為：

Group ── Produces ── Project

題意表示：

• 每個分組製作一個專題。
• 同一個專題最多可由兩個分組製作。

因此：

核心觀念

本題考查：

1. 超級鍵、最小超級鍵、候選鍵與主鍵的定義。
2. 函數依賴性 $X\to Y$ 的判斷。
3. 根據題目規則與表四資料，判斷屬性集合是否能唯一識別關係中的每一筆 tuple。

函數依賴 $X\to Y$ 表示：任意兩筆資料若在 $X$ 上的值相同，則在 $Y$ 上的值也必須相同。

須注意：題目中的 $ID$ 可唯一識別「論文」，但同一篇論文可能曾出現於多個技術報告，因此同一個 $ID$ 可能對應多個 $TR\text{-}ID$。所以 $ID$ 不一定能唯一識別 Paper 關係中的完整 tuple。

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（一）四種鍵的差異

1. 超級鍵（superkey）

若屬性集合 $K$ 能唯一識別關係中的每一筆 tuple，則 $K$ 稱為超級鍵。

形式上：

$$K\to R$$

其中 $R$ 是關係的全部屬性。

超級鍵可以包含多餘屬性。例如在本題中，若 $\{ID,TR\text{-}ID\}$ 能唯一識別 tuple，則 $\{ID,TR\text{-}ID,title\}$ 也一定是超級鍵，但其中的 $title$ 可能是多餘的。

2. 最小超級鍵（minimal superkey）

最小超級鍵是「不含多餘屬性的超級鍵」，也就是刪除其中任一屬性後，就不再是超級鍵。

這裡的「最小」是指集合包含關係上的最小，不是指屬性數量最少。

3. 候選鍵（candidate key）

候選鍵就是最小超級鍵。若一個關係存在多個最小超級鍵，則每一個都稱為候選鍵。

因此：

$$\text{候選鍵}=\text{最小超級鍵}$$

4. 主鍵（primary key）

主鍵是由資料庫設計者從候選鍵中選定的一組鍵，作為識別 tuple 的主要鍵。

一個關係通常只能選定一組主鍵，但可以擁有多組候選鍵。主鍵中的屬性不得為 $NULL$，且主鍵值不可重複。

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（二）函數依賴性判斷

解題方法

判斷 $X\to Y$ 時，找出表四中 $X$ 值相同的資料列：

• 若 $Y$ 值不同，則 FD 不成立。
• 若 $Y$ 值皆相同，且題目規則支持此關係，則 FD 成立。

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(1)(a) $ID\to title$

成立。

表四中 $ID=133$ 出現兩次，但兩筆資料的 $title$ 都是 Secret Sharing。

而題目說每篇論文具有唯一的 $ID$，因此同一個 $ID$ 對應同一篇論文，也就對應同一個標題。

$$ID\to title$$

成立。

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(1)(b) $startpage\to endpage$

不成立。

表四中 $startpage=11$ 的資料有：

startpage	endpage	journal	issue
11	33	TCOMP	131
11	13	TACM	151
11	15	TCOMP	151

同一個 $startpage=11$ 對應到不同的 $endpage$，因此：

$$startpage\nrightarrow endpage$$

不成立。

題目僅說一頁面中只會出現一篇論文內容，但不同期刊或不同期別可以各自有第 11 頁，所以單獨使用 $startpage$ 不足以決定 $endpage$。

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(1)(c) $journal\ issue\to year$

成立。

題目明確指出：

各期別之期刊出版都在單一年度。

因此，給定期刊名稱與期別，即可決定其出版年度：

$$journal,\ issue\to year$$

成立。

例如：

• $(TAlg,151)\to 2014$
• $(TCOMP,151)\to 2018$
• $(TACM,151)\to 2018$

雖然不同期刊可以有相同的期別，但加入 $journal$ 後即可區分。

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(1)(d) $title\to ID$

不成立。

表四中 Elliptic Cryp 對應到兩個不同的 $ID$：

title	ID
Elliptic Cryp	177
Elliptic Cryp	178

因此同一個 $title$ 可對應不同的 $ID$：

$$title\nrightarrow ID$$

不成立。

題目只保證 $ID$ 唯一，沒有保證論文標題唯一。

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(1)(e) $ID\to startpage\ endpage\ journal\ issue$

成立。

同一個 $ID$ 代表同一篇論文，因此其發表資訊應相同。表四中 $ID=133$ 雖然出現兩次，但兩筆資料的下列欄位完全相同：

• $startpage=169$
• $endpage=185$
• $journal=TAlg$
• $issue=141$

所以：

$$ID\to startpage,\ endpage,\ journal,\ issue$$

成立。

須注意，$ID$ 不決定 $TR\text{-}ID$，因為同一篇論文可對應多個技術報告；但本選項沒有要求 $ID\to TR\text{-}ID$。

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（二）最小超級鍵判斷

解題方法

要成為超級鍵，屬性集合必須能唯一識別 Paper 關係中的完整 tuple，包括 $TR\text{-}ID$。

判斷最小超級鍵分兩步：

1. 先判斷該屬性集合是否能唯一識別每筆 tuple。
2. 再檢查刪除任一屬性後是否仍能唯一識別 tuple。