110 中華郵政招考營運職 數據分析 數據分析及演算法運用 考古題詳解

核心觀念

本題考查「關聯規則分析」的基本定義、三項衡量指標，以及 Apriori 演算法如何由頻繁項目集產生關聯規則。

設交易資料庫為 $D$，每筆交易包含若干商品項目。關聯規則通常表示為：

$$X \Rightarrow Y$$

其中 $X$、$Y$ 為項目集，且須滿足：

$$X \cap Y = \varnothing$$

其意義是：在交易中出現項目集 $X$ 的顧客，也具有購買項目集 $Y$ 的傾向。

---

（一）關聯規則分析之定義【5 分】

關聯規則分析（Association Rule Mining）是一種從大量交易資料中，挖掘不同項目之間共現關係與依存程度的資料探勘方法。

其目的在於找出具有足夠支持度與可信度的規則，例如：

$$\{\text{麵包}\} \Rightarrow \{\text{牛奶}\}$$

表示購買麵包的交易中，有相當比例也購買牛奶。此規則反映的是項目之間的統計關聯，並不代表因果關係。

關聯規則分析通常包含兩個階段：

1. 找出滿足最低支持度的頻繁項目集。
2. 從頻繁項目集中產生滿足最低可信度的關聯規則。

---

（二）關聯規則分析的三項衡量指標【10 分】

對規則 $X \Rightarrow Y$，常用的三項衡量指標為支持度、信賴度（可信度）與提升度。

1. 支持度（Support）

支持度表示同時包含 $X$ 與 $Y$ 的交易，占全部交易的比例：

$$\operatorname{support}(X \Rightarrow Y) = \operatorname{support}(X \cup Y) = \frac{\left|\{t \in D \mid X \cup Y \subseteq t\}\right|}{|D|}$$

其中：

• $D$：全部交易資料庫。
• $t$：其中一筆交易。
• $|D|$：交易總筆數。

支持度用來衡量該規則在整體資料中的普遍程度。支持度越高，表示 $X$ 與 $Y$ 同時出現得越頻繁。

---

2. 信賴度或可信度（Confidence）

信賴度表示在已知交易包含 $X$ 的條件下，同時包含 $Y$ 的條件機率：

$$\operatorname{confidence}(X \Rightarrow Y) = \frac{\operatorname{support}(X \cup Y)} {\operatorname{support}(X)}$$

亦可表示為：

$$\operatorname{confidence}(X \Rightarrow Y) = P(Y \mid X)$$

信賴度越高，表示購買 $X$ 的交易中，越常同時出現 $Y$。

須注意，信賴度具有方向性：

$$\operatorname{confidence}(X \Rightarrow Y) \neq \operatorname{confidence}(Y \Rightarrow X)$$

因此 $X \Rightarrow Y$ 與 $Y \Rightarrow X$ 是兩條不同的規則。

---

3. 提升度（Lift）

提升度用來比較「在出現 $X$ 的情況下出現 $Y$ 的比例」，與「不考慮 $X$ 時 $Y$ 的原始出現比例」之差異：

$$\operatorname{lift}(X \Rightarrow Y) = \frac{\operatorname{confidence}(X \Rightarrow Y)} {\operatorname{support}(Y)}$$

代入信賴度公式可得：

$$\operatorname{lift}(X \Rightarrow Y) = \frac{\operatorname{support}(X \cup Y)} {\operatorname{support}(X)\operatorname{support}(Y)}$$

提升度的判讀如下：

• $\operatorname{lift} > 1$：$X$ 與 $Y$ 呈正相關，出現 $X$ 時，$Y$ 出現的機率高於一般情況。
• $\operatorname{lift} = 1$：$X$ 與 $Y$ 可視為相互獨立。
• $\operatorname{lift} < 1$：$X$ 與 $Y$ 呈負相關。

提升度可避免單看信賴度所造成的誤判。例如某項商品本身就非常熱門，即使它與 $X$ 沒有特殊關聯，規則的信賴度仍可能很高；此時應搭配提升度判斷實際關聯程度。

---

指標計算示例

假設共有 $1,000$ 筆交易，其中：

• 同時購買 $X$ 與 $Y$ 的交易有 $120$ 筆。
• 購買 $X$ 的交易有 $300$ 筆。
• 購買 $Y$ 的交易有 $400$ 筆。

則：

$$\operatorname{support}(X \Rightarrow Y) = \frac{120}{1000} = 0.12$$ $$\operatorname{confidence}(X \Rightarrow Y) = \frac{120}{300} = 0.4$$ $$\operatorname{lift}(X \Rightarrow Y) = \frac{0.4}{0.4} = 1$$

因此，雖然該規則的信賴度為 $40\%$，但提升度等於 $1$，表示 $X$ 的出現並未提高 $Y$ 的出現機率，兩者沒有明顯的正向關聯。

---

（三）Apriori 演算法流程【10 分】

1. 核心原理：Apriori 性質

Apriori 演算法的基礎是「向下封閉性質」（downward closure property）：

若一個項目集是頻繁項目集，則其所有非空子集合也必定是頻繁項目集。

核心觀念

本題考查深度學習中兩類重要神經網路：

1. CNN（Convolutional Neural Network，卷積神經網路）：主要處理影像、圖形等具有空間結構的資料。
2. RNN（Recurrent Neural Network，循環神經網路）：主要處理文字、語音、時間序列等具有順序性的資料。

答題重點包括 CNN 的卷積運算、特徵擷取、池化、參數共享，以及其相較於傳統機器學習的優勢，並比較 CNN 與 RNN 的資料結構與運作方式。

---

（一）卷積神經網路（CNN）之基本概念【10 分】

1. CNN 的定義與用途

CNN 是一種適合處理網格狀資料的深度神經網路。影像可視為由像素組成的二維網格，每個像素具有灰階值或 RGB 色彩值，因此 CNN 能直接利用影像的空間結構進行特徵學習。

以郵局業務為例，CNN 可應用於：

• 郵件或包裹條碼辨識
• 手寫地址辨識
• 身分證件影像辨識
• 表單及文件分類
• 郵件影像瑕疵檢測
• 人臉或物件辨識

CNN 通常由多層卷積層、啟動函數、池化層及全連接層所組成。

---

2. 卷積層

卷積層使用一個小型矩陣，稱為濾波器或卷積核，在輸入影像上逐區域滑動，計算局部加權總和，以擷取影像特徵。

若輸入影像為 $X$，卷積核為 $K$，則輸出特徵圖可表示為：

$$S(i,j)=\sum_m\sum_n X(i+m,j+n)K(m,n)+b$$

其中：

• $X(i+m,j+n)$：輸入影像局部區域的像素值
• $K(m,n)$：卷積核中的權重
• $b$：偏差值
• $S(i,j)$：特徵圖在位置 $(i,j)$ 的輸出值

卷積核的權重不是人工指定，而是透過訓練資料及反向傳播法學習而得。

不同卷積核可學習不同特徵，例如：

• 淺層卷積核：邊緣、線條、角點
• 中層卷積核：紋理、形狀、局部構造
• 深層卷積核：物件部位及整體語意

---

3. 局部感受野與參數共享

CNN 具有兩項重要設計：

（1）局部感受野

每個神經元只連接輸入影像中的一小塊區域，而非連接全部像素，因此能保留影像的局部空間關係。

例如辨識文字時，局部區域可先辨識筆畫和邊緣，再逐步組合成字元與文字。

（2）參數共享

同一個卷積核會套用在影像不同位置，表示相同特徵不論出現在左側、右側、上方或下方，都能被同一組參數偵測。

此設計可大幅減少模型參數量，降低計算成本，也增強模型對物件位置變化的適應能力。

---

4. 啟動函數

卷積運算後通常會套用非線性啟動函數，常見的是 ReLU：

$$\operatorname{ReLU}(x)=\max(0,x)$$

ReLU 可增加模型的非線性表達能力，使神經網路能學習複雜的影像關係，並有助於減少深層網路訓練時的梯度消失問題。

---

5. 池化層

池化層會將特徵圖縮小，以降低資料維度及計算量，並保留重要特徵。

常見方式包括：

• 最大池化（Max Pooling）：取區域中的最大值
• 平均池化（Average Pooling）：取區域中的平均值

例如 $2\times2$ 最大池化會從每個 $2\times2$ 區域中取最大值，使特徵圖的長寬縮小，同時保留最明顯的特徵。

池化也可使模型對小幅度的平移、旋轉或變形具有較好的容忍度。

---

6. 全連接層與輸出層

經過多層卷積與池化後，模型將特徵圖展平，輸入全連接層，整合前面擷取的特徵，最後由輸出層進行分類。

多分類問題常使用 Softmax：

$$P(y=k\mid x)=\frac{e^{z_k}}{\sum_{j=1}^{C}e^{z_j}}$$

其中 $C$ 為類別數，輸出結果代表輸入影像屬於各類別的機率。

---

7. CNN 的訓練方式

CNN 以標記資料進行監督式學習，流程如下：

1. 輸入影像。
2. 經過卷積、啟動及池化層擷取特徵。
3. 由輸出層產生預測結果。
4. 使用損失函數衡量預測值與正確答案的差異。
5. 透過反向傳播計算梯度。
6. 使用梯度下降法更新卷積核及其他網路參數。

---

（二）CNN 相較於傳統機器學習能提升圖像辨識正確率之原因【10 分】

1. 傳統機器學習依賴人工特徵工程

傳統圖像辨識通常分為兩個階段：

1. 由專家人工設計特徵。
2. 將特徵輸入分類器，例如 SVM、決策樹或類神經網路。

人工特徵可能包括：

• 邊緣
• 角點
• 顏色
• 紋理
• 形狀
• HOG、SIFT 等影像描述子

其限制在於：特徵品質高度依賴設計者經驗，人工特徵未必能完整描述複雜影像，且不同任務常需重新設計特徵。

CNN 則能直接由原始像素中自動學習適合該任務的特徵，形成端到端的訓練流程。

---

2. 能學習階層式特徵

CNN 會由淺入深地學習特徵：

$$\text{像素}\rightarrow\text{邊緣}\rightarrow\text{局部形狀}\rightarrow\text{物件部位}\rightarrow\text{完整物件}$$

淺層負責辨識簡單構造，深層逐步組合為複雜語意。此種階層式特徵學習，能比單純依賴人工特徵更充分地表達影像內容。

---

3. 保留影像的空間結構

核心觀念

本題考查選擇排序法（Selection Sort）的操作流程。

題目指定的規則是：

1. 每一回合只處理尚未完成排序的範圍。
2. 從該範圍中找出最大元素。
3. 將最大元素與該範圍最右端的元素交換。
4. 每完成一回合，最右端的位置即確定為正確的排序結果。
5. 陣列共有 $6$ 個元素，因此需要進行 $6-1=5$ 回合。

由小至大排序時，選出的最大值會依序放到陣列右側：

$$a[5],a[4],a[3],a[2],a[1]$$

---

解題方法與逐回合操作

原始陣列為：

$$[36,60,19,40,24,2]$$

第 1 回合

處理範圍為 $a[0]$ 至 $a[5]$：

$$[36,60,19,40,24,2]$$

其中最大值為 $60$，位於 $a[1]$。將 $60$ 與最右端的 $a[5]=2$ 交換：

$$[36,2,19,40,24,60]$$

此時 $a[5]=60$ 已完成定位。

第 2 回合

處理範圍縮小為 $a[0]$ 至 $a[4]$：

$$[36,2,19,40,24]$$

其中最大值為 $40$，位於 $a[3]$。將 $40$ 與範圍最右端的 $a[4]=24$ 交換：

$$[36,2,19,24,40,60]$$

此時 $a[4]=40$ 已完成定位。

第 3 回合

處理範圍為 $a[0]$ 至 $a[3]$：

$$[36,2,19,24]$$

其中最大值為 $36$，位於 $a[0]$。將 $36$ 與範圍最右端的 $a[3]=24$ 交換：

$$[24,2,19,36,40,60]$$

此時 $a[3]=36$ 已完成定位。

第 4 回合

處理範圍為 $a[0]$ 至 $a[2]$：

$$[24,2,19]$$

核心觀念

矩陣乘法 $A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$ 的計算規則如下：

• $A$ 的第 $i$ 列共有 $n$ 個元素。
• $B$ 的第 $j$ 行共有 $n$ 個元素。
• $C$ 的第 $i$ 列、第 $j$ 行元素，為 $A$ 第 $i$ 列與 $B$ 第 $j$ 行的內積。

因此：

$$c_{ij}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{ik}b_{kj}$$

其中：

• $i=0,1,\ldots,m-1$
• $j=0,1,\ldots,p-1$
• $k=0,1,\ldots,n-1$

陣列採用 C/C++ 的「從 $0$ 開始編號」，所以索引範圍分別為：

• $a[i][k]$：$0\le i<m$，$0\le k<n$
• $b[k][j]$：$0\le k<n$，$0\le j<p$
• $c[i][j]$：$0\le i<m$，$0\le j<p$

解題方法

矩陣乘法需要三層迴圈：

1. 最外層迴圈控制結果矩陣 $C$ 的列索引 $i$，共 $m$ 列。
2. 中間迴圈控制結果矩陣 $C$ 的行索引 $j$，共 $p$ 行。
3. 最內層迴圈控制內積的累加索引 $k$，共 $n$ 項。

對每一個 $c[i][j]$，必須先設定為 $0$，再依序累加：

$$c[i][j] = a[i][0]b[0][j] +a[i][1]b[1][j] +\cdots +a[i][n-1]b[n-1][j]$$

因此程式中的空格應填入：

• 第一空：i < m
• 第二空：j < p
• 第三空：c[i][j]
• 第四空：k < n
• 第五空：c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]

完整演算法如下：