核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. 叢集式系統（Cluster System）：將多部獨立電腦透過高速網路與叢集軟體連結，使其共同提供運算、儲存或服務功能。
2. 雲端運算系統（Cloud Computing System）：透過網路，以隨需、彈性、可擴充的方式提供運算資源與資訊服務。

判斷兩者關係時，必須區分：

• 叢集是系統架構或建置方式。
• 雲端運算是資源提供與服務交付模式。

雲端系統經常使用叢集作為底層硬體架構，但雲端運算本身不等同於叢集式系統。

解題方法

本題適合分成兩個層次回答：

• 第一小題先說明叢集由哪些元件組成，再說明常見架構與系統特性。
• 第二小題比較「叢集」與「雲端」的定義，判斷兩者是包含關係、實作關係，還是完全相同。

答題時不可只寫「雲端就是叢集」或「雲端不是叢集」，必須說明：雲端可以採用叢集建置，但雲端的核心還包括虛擬化、資源池化、自動配置、彈性伸縮與服務化等機制。

（一）叢集式系統的架構及其特性

1. 叢集式系統的定義

叢集式系統是由兩部以上的獨立電腦所組成，各節點通常具有自己的：

• 處理器
• 主記憶體
• 作業系統
• 輸入輸出裝置
• 網路介面

各節點透過高速互連網路連結，並由叢集管理軟體協調工作，使多部電腦能共同提供服務。

叢集中的每一部電腦稱為一個 Node（節點）。對使用者而言，整個叢集通常被視為一個整體服務平台。

2. 常見的叢集式系統架構

（1）節點層

叢集由多個運算節點組成。每個節點通常可以獨立執行作業系統與應用程式，節點之間透過高速網路交換資料、分派工作及偵測彼此狀態。

節點可以是：

• 一般伺服器
• 多核心伺服器
• 工作站
• 專用運算節點
• 虛擬機器所在的主機

近年常見的叢集多採用大量標準化伺服器組成，以降低建置成本並方便擴充。

（2）互連網路層

節點之間需要透過互連網路進行：

• 工作分派
• 節點狀態偵測
• 資料交換
• 故障通知
• 叢集控制訊息傳遞

互連網路的效能會直接影響叢集的整體表現。高效能叢集通常使用低延遲、高頻寬的網路，以減少節點間通訊成本。

（3）儲存層

叢集可採取下列儲存方式：

• 各節點使用本機儲存設備
• 多個節點共用儲存設備
• 使用分散式檔案系統
• 使用儲存區域網路提供共用資料存取

若叢集用於高可用性服務，通常需要考慮資料同步、共用儲存及故障切換問題。

（4）叢集管理與中介軟體層

叢集軟體負責將多個節點整合成一個可管理的系統，主要功能包括：

• 節點註冊與管理
• 工作分派
• 負載平衡
• 節點健康狀態監控
• 故障偵測
• 服務重新啟動
• 故障切換
• 資源分配
• 資料同步

此層是叢集能夠正常運作的關鍵。若只有多部電腦透過網路連接，而沒有叢集管理機制，通常只能稱為分散式電腦群組，不能充分發揮叢集的整合功能。

3. 常見的叢集分類

（1）高可用性叢集

高可用性叢集的重點是避免單一節點故障造成服務中斷。

常見架構包括：

• Active-Active：多個節點同時提供服務，故障時由其他節點繼續處理工作。
• Active-Standby：主要節點平時提供服務，備援節點處於待命狀態；主要節點故障時，由備援節點接手。

叢集會利用心跳訊號監測節點狀態。當系統偵測到節點失效時，便進行故障切換（Failover）。

（2）負載平衡叢集

負載平衡叢集將使用者要求分配到多個節點，以避免單一伺服器過載。

其基本流程如下：

1. 使用者提出服務要求。
2. 負載平衡器或叢集控制元件接收要求。
3. 系統依節點負載、連線數或服務狀態選擇適當節點。
4. 由選定節點處理服務。
5. 節點故障時，系統將要求轉送至其他正常節點。

此架構常用於網站、資料庫、郵件服務及企業應用系統。

（3）高效能運算叢集

高效能運算叢集又稱 HPC Cluster，將大型工作分割成多個子工作，再分派給不同節點平行執行。

例如一項工作包含 $n$ 個可平行處理的子工作，可分配至 $p$ 個節點。理想情況下，執行時間可接近原本的：

但實際效能會受到下列因素影響：

• 工作是否能完全平行化
• 節點間通訊時間
• 工作分割與合併成本
• 負載是否平均
• 共用資源競爭

因此，節點數增加不代表效能一定按比例增加。

（4）儲存叢集

儲存叢集將多個儲存節點整合，提供較大的容量、較高的存取效能與資料備援能力。

核心觀念

本題考查資料庫正規化，以及由函數相依性繪製第二正規化、第三正規化與 ER Diagram。

• 全相依（F.D.）：非鍵屬性完全依賴候選鍵，不能只依賴候選鍵的一部分。
• 部分功能相依（P.D.）：非鍵屬性只依賴複合鍵的一部分。
• 遞移功能相依（T.D.）：存在 $A \rightarrow B$、$B \rightarrow C$，使得 $A \rightarrow C$，且 $C$ 並非直接依賴候選鍵。
• 第二正規化（2NF）：消除部分功能相依。
• 第三正規化（3NF）：在符合 2NF 的基礎上，再消除遞移功能相依。

依圖二可讀得：

• 複合候選鍵為 $(A,C)$。
• $A \rightarrow B$，屬部分功能相依。
• $C \rightarrow D$，屬部分功能相依。
• $E \rightarrow F$，屬遞移功能相依。
• $(A,C) \rightarrow E,G,H$，屬全相依。

因此原始關係可表示為：

其中主鍵為 $(A,C)$。

（一）繪製第二正規化

原關係中：

表示 $B$ 只依賴複合鍵 $(A,C)$ 中的 $A$；另有：

表示 $D$ 只依賴複合鍵中的 $C$。

因此必須將部分功能相依拆出，形成下列三個關係：

1. $R_1(A,B)$

• 主鍵：$A$

2. $R_2(C,D)$

• 主鍵：$C$

3. $R_3(A,C,E,F,G,H)$

• 主鍵：$(A,C)$

分解後：

分解為：

此時，$B$ 完全依賴 $A$，$D$ 完全依賴 $C$，而 $E,F,G,H$ 完全依賴複合鍵 $(A,C)$，故已消除部分功能相依，符合第二正規化。

（二）繪製第三正規化

在第二正規化後的關係 $R_3(A,C,E,F,G,H)$ 中，存在：

且：

因此產生：

這是遞移功能相依，必須將 $E \rightarrow F$ 拆出。

第三正規化後的關係為：

1. $R_1(A,B)$

• 主鍵：$A$

2. $R_2(C,D)$

• 主鍵：$C$

3. $R_3(A,C,E,G,H)$

• 主鍵：$(A,C)$
• 外來鍵：$E$

4. $R_4(E,F)$

• 主鍵：$E$

因此第三正規化結果為：

此時：

• $B$ 依賴 $A$；
• $D$ 依賴 $C$；
• $E,G,H$ 完全依賴 $(A,C)$；
• $F$ 依賴 $E$；
• 不存在非鍵屬性間的遞移功能相依。

故各關係均符合第三正規化。

核心觀念

本題考查：

1. 乘法原理與加法原理。
2. 事件獨立下的機率計算。
3. 單淘汰賽的晉級結構。
4. 期望值公式： $E(X)=\sum \text{結果金額}\times \text{該結果機率}$
5. 完美配對數與比賽結果數的計算。

丙、丁實力相當，因此：

$P(\text{丙勝丁})=P(\text{丁勝丙})=\frac12$

又因甲勝其他選手的機率為 $\frac45$，所以乙勝甲的機率為：

$P(\text{乙勝甲})=1-\frac45=\frac15$

（一）甲與丙對決冠亞軍賽的機率

甲與丙進入決賽，必須同時滿足：

• 甲第一輪擊敗乙；
• 丙第一輪擊敗丁。

因此：

【答案】$\boxed{\frac25}$

（二）甲或丙只有一人進入決賽的機率

「甲或丙只有一人進入決賽」表示兩種互斥情況：

情況一：甲晉級、丙淘汰

情況二：甲淘汰、丙晉級

甲淘汰的機率為 $\frac15$，因此：

兩種情況相加：

【答案】$\boxed{\frac12}$

（三）乙獲得獎金的期望值

乙要獲得獎金，首先必須在第一輪擊敗甲：

進入決賽後，乙與丙或丁比賽。題目設定乙勝過其他對手的機率皆為 $\frac15$，因此：

• 乙獲得冠軍的機率：

• 乙獲得亞軍的機率：

所以乙的期望獎金為：

核心觀念

天平每次有三種結果：左盤較重、右盤較重、兩盤平衡。解題關鍵是：

1. 先利用已知正常球作為基準。
2. 每次秤重都要讓不同假設產生不同結果。
3. 不僅要找出異常球，還要判定異常球是較重或較輕。
4. 若第一次不平衡，必須同時追蹤「哪些球可能較重」及「哪些球可能較輕」。

（一）五顆球，兩次內找出異常球並判定輕重

已知 1 號球正常，異常球只可能是 2、3、4、5 號球。

第一次秤重：2 號球對 3 號球

情況一：天平平衡

表示 2 號、3 號均正常，異常球只可能是 4 號或 5 號。

第二次秤重：4 號球對 1 號球。

• 若平衡：4 號正常，因此 5 號球是異常球；但因 4 號、1 號正常，需以 5 號球和任一正常球比較才能判定輕重。此分支若嚴格要求第二次同時完成輕重判定，第一次配置需改採下述策略。

因此採用更適合本題的配置如下。

正確策略

第一次秤重：2 號球對 3 號球。

若第一次平衡

第二次秤重：4 號球對 5 號球。

• 若左盤較重：4 號球較重。
• 若右盤較重：5 號球較重。
• 若平衡：異常球不在 4、5 號，與已知 1 號正常矛盾。

此處顯示原配置不足以在兩次內處理「異常球為 4 或 5 且未知輕重」的全部情況，因此需採用一次能同時保留正常基準球的設計。

最佳作法

第一次秤重：2 號球、3 號球分別與 1 號球比較，實際上天平一次只能比較兩組，因此採用：

第一次秤重：2 號球對 3 號球。

若第一次不平衡

以左盤較重為例：

• 2 號球較重；
• 或 3 號球較輕。

第二次秤重：2 號球對 1 號球。

• 若 2 號球較重：2 號球為異常且較重。
• 若平衡：3 號球為異常且較輕。

若第一次為右盤較重：

• 2 號球較輕；
• 或 3 號球較重。

第二次仍秤 2 號球對 1 號球。

• 若 2 號球較輕：2 號球為異常且較輕。
• 若平衡：3 號球為異常且較重。

若第一次平衡

此時 2 號、3 號均正常，異常球在 4 號、5 號中。由於 1 號、2 號、3 號皆為正常球，第二次秤重必須將其中一顆異常球與正常球比較，才能同時判定輕重；但單次天平比較只能處理 4 號、5 號其中一顆，無法在兩次總秤重內同時區分「4 號異常」「5 號異常」及「較輕、較重」四種狀態。

因此，依題目給定條件，不存在保證在兩次內完成全部要求的天平策略。

結論

五顆球中已知 1 號正常、異常球不為 1 號時，若要求同時找出異常球並確認其輕重，最少需要三次秤重。題目所給「兩次（含）之內」的條件不足。

（二）十二顆球，三次內找出異常球並判定輕重

核心設計

十二顆球中，異常球有 12 種位置，且每顆異常球有「較重」或「較輕」兩種狀態，因此共有：

種可能情況。

三次秤重最多產生：

種結果組合，因此可以設計策略完成辨識。

第一次秤重

將 1、2、3、4 號球放左盤，5、6、7、8 號球放右盤：

情況一：第一次平衡

表示 1 至 8 號球均正常，異常球在 9、10、11、12 號。

第二次秤重

將 9、10、11 號球放左盤，1、2、3 號正常球放右盤：

第二次平衡

表示 9、10、11 號正常，因此 12 號球為異常球。

第三次秤重：12 號球對 1 號球。

• 12 號較重：12 號球較重。
• 12 號較輕：12 號球較輕。

第二次左盤較重

表示 9、10、11 號中有一顆較重。

第三次秤重：9 號球對 10 號球。