107 民航特考三等 航務管理 空氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量國際標準大氣（International Standard Atmosphere, ISA）的垂直結構與流體靜力學基礎，為民航特考「空氣動力學」的經典計算題。核心觀念包含：

1. 流體靜力平衡方程式（Hydrostatic Equation）： $\mathrm{d}P = -\rho g \mathrm{d}h$ 大氣壓力隨高度上升而下降，其變化量由該高度微小氣柱之重力平衡決定。
2. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Law）： $P = \rho R T \implies \rho = \frac{P}{RT}$ 其中 $R$ 為乾燥空氣之比氣體常數（取 $R = 287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$）。
3. 溫度垂直遞減率（Temperature Lapse Rate, $\lambda$）： $\lambda = -\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}h} = 0.0065\ \mathrm{K/m} \quad (6.5\ \mathrm{K/km})$ 在對流層內，氣溫隨高度呈線性下降： $T = T_0 - \lambda h$

解題方法

(一) 對流層與平流層內，壓力及溫度與高度之關係說明

1. 對流層（Troposphere，海平面至約 $11000\ \mathrm{m}$）

• 溫度與高度關係： 對流層主要熱源來自地表吸收太陽輻射後的長波加熱，因此距地表愈遠溫度愈低。溫度隨高度呈線性遞減，公式為： $T(h) = T_0 - \lambda h$ 在標準大氣中，海平面溫度 $T_0 = 288.15\ \mathrm{K}$（題目設定為 $288\ \mathrm{K}$），遞減率 $\lambda = 0.0065\ \mathrm{K/m}$，至對流層頂（約 $11\ \mathrm{km}$）降至約 $216.65\ \mathrm{K}$（$-56.5^\circ\mathrm{C}$）。
• 壓力與高度關係： 將理想氣體方程式 $\rho = \frac{P}{RT}$ 代入流體靜力方程式 $\mathrm{d}P = -\rho g \mathrm{d}h$： $\frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{g}{RT}\mathrm{d}h = -\frac{g}{R(T_0 - \lambda h)}\mathrm{d}h$ 兩端積分（自海平面 $h=0, P=P_0$ 積至高度 $h, P$）： $\int_{P_0}^{P} \frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{g}{R} \int_{0}^{h} \frac{\mathrm{d}h}{T_0 - \lambda h} = \frac{g}{\lambda R} \ln\left(\frac{T_0 - \lambda h}{T_0}\right)$ 解得壓力與高度之次冪關係式： $P(h) = P_0 \left(1 - \frac{\lambda h}{T_0}\right)^{\frac{g}{\lambda R}} = P_0 \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{g}{\lambda R}}$ 因指數 $\frac{g}{\lambda R} \approx 5.256 > 1$，氣壓隨高度上升呈現急遽非線性遞減。

2. 平流層（Stratosphere，約 $11000\ \mathrm{m}$ 至 $50000\ \mathrm{m}$）

• 溫度與高度關係：
• 下平流層（約 $11\ \mathrm{km} \sim 20\ \mathrm{km}$）：為等溫層（Isothermal layer），氣溫維持定值（$T \approx 216.65\ \mathrm{K}$，約 $-56.5^\circ\mathrm{C}$），溫度不隨高度改變（$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}h} = 0$）。
• 上平流層（約 $20\ \mathrm{km} \sim 50\ \mathrm{km}$）：由於臭氧層大量吸收太陽紫外線，產生光化學加熱效應，溫度隨高度增加而逆溫上升，至平流層頂（約 $50\ \mathrm{km}$）回升至約 $270\ \mathrm{K}$（接近 $0^\circ\mathrm{C}$）。
• 壓力與高度關係：
• 在下平流層等溫區間，因溫度為定值 $T_1$，對 $\frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{g}{R T_1}\mathrm{d}h$ 積分可得： $P(h) = P_1 \exp\left[-\frac{g}{R T_1}(h - h_1)\right]$ 此區間壓力隨高度呈自然指數衰減（Exponential decay）。
• 在上平流層升溫區間，雖然氣溫回升，但因重力位能與上層空氣柱質量持續減少，氣壓依然隨高度單調遞減。

(二) 試算高度 $10000\ \mathrm{m}$ 之大氣壓力與密度

題目給定條件：

• 海平面氣壓 $P_0 = 101325\ \mathrm{N/m^2}$
• 海平面溫度 $T_0 = 288\ \mathrm{K}$
• 溫度垂直遞減率 $\lambda = 0.0065\ \mathrm{K/m}$
• 目標高度 $h = 10000\ \mathrm{m}$（仍在對流層範圍 $h \le 11000\ \mathrm{m}$ 內）
• 空氣比氣體常數 $R = 287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$，標準重力加速度取 $g = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 亦列出）

步驟一：計算 $10000\ \mathrm{m}$ 處之絕對溫度 $T$

$T = T_0 - \lambda h = 288 - (0.0065 \times 10000) = 288 - 65 = 223\ \mathrm{K}$

步驟二：推導並計算 $10000\ \mathrm{m}$ 處之大氣壓力 $P$

指數項計算：

核心觀念

本題評量次音速空氣動力學中NACA 四位數字翼型（NACA 4-digit airfoil series）​的命名規則、低速流場中的薄翼理論（Thin Airfoil Theory）、邊界層分離機制以及翼型幾何外型（厚度比）對空氣動力特性的影響。

1. NACA 4 位數字命名法定義：

• 第一碼：最大彎度（Maximum camber），以翼弦長（Chord, $c$）的百分比表示。
• 第二碼：最大彎度所在位置（Position of max camber），以翼弦長之十分之一（$10\%c$）為單位。
• 第三、四碼：最大厚度（Maximum thickness），以翼弦長的百分比表示（即厚弦比 $t/c$）。

2. 升力曲線特性：

• 在未失速的線性區間內，根據薄翼理論，二維翼型的升力線斜率理論值均為： $a_0 = \frac{dC_L}{d\alpha} = 2\pi \approx 0.11 \text{ deg}^{-1}$
• 零升力攻角（Zero-lift angle of attack, $\alpha_{L=0}$）主要由翼型「彎度及其分佈」決定，與厚度關係甚微。

3. 失速型態（Stall Types）與厚度效應：

• 翼型的失速行為主要取決於前緣半徑（Leading-edge radius）與上表面逆壓力梯度（Adverse pressure gradient）之平衡，通常可分為薄翼失速（Thin-airfoil stall）、前緣失速（Leading-edge stall）與後緣失速（Trailing-edge stall）。
• 厚度比（$t/c$）直接改變前緣鈍度與翼面壓力分佈，對最大升力係數 $C_{L,\max}$ 與失速機制的漸進程度具關鍵支配作用。

解題方法

本題為經典比較分析題，切入重點在於辨識「幾何不變量」與「幾何控制變數」：

• 不變量：兩翼型前兩碼皆為「44」，代表兩者的最大彎度皆為 $4\%c$，且最大彎度位置皆位於 $40\%c$（$0.4c$）。因此兩者的外形中弧線（Mean camber line）相同，其零升力攻角 $\alpha_{L=0}$ 幾乎相同。
• 變數：後兩碼分別為「12」與「21」，代表厚弦比 $t/c$ 由中等厚度（$12\%$）劇增至厚翼（$21\%$）。解題時須從流場壓力梯度與黏性邊界層發展著手，逐項對比兩者的升力曲線、失速機制與極限升力數值。

逐小題詳細解析

(一) 兩者機翼的厚度比例各為多少？（4 分）

依據 NACA 四位數字系列命名通則：

1. NACA 4412： 後兩位數字為「12」，代表其最大厚度與翼弦長之比例（厚度比，Thickness-to-chord ratio, $t/c$）為 $12\%$（即 $0.12c$）。
2. NACA 4421： 後兩位數字為「21」，代表其最大厚度與翼弦長之比例為 $21\%$（即 $0.21c$）。

(二) 兩者升力係數與攻角之關係各為何？（4 分）

升力係數 $C_L$ 與攻角 $\alpha$ 的關係式由線性區段與非線性（失速）區段組成：

1. 零升力攻角（$\alpha_{L=0}$）： 兩者具有完全相同的中弧線幾何形狀（最大彎度 $4\%c$，位置於 $0.4c$）。依薄翼理論推導，零升力攻角僅取決於中弧線形狀： $\alpha_{L=0} = -\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{dz}{dx}(\cos\theta - 1) d\theta$ 因此兩者的 $\alpha_{L=0}$ 幾乎相同，實驗值約落在 $-4^\circ$ 附近。
2. 線性區升力線斜率（$dC_L/d\alpha$）：

• 在低攻角未分離流場下，兩者的升力線斜率均接近薄翼理論極限值 $2\pi \text{ rad}^{-1} \approx 0.11 \text{ deg}^{-1}$。
• 細部黏性效應：NACA 4421 因幾何厚度顯著，導致後緣邊界層位移厚度（Displacement thickness）較大，實測之有效升力線斜率會略低於中等厚度的 NACA 4412。

3. 高攻角偏離特性：

• NACA 4412：線性維持範圍較廣，但一旦接近失速攻角，升力曲線轉折急促。
• NACA 4421：由於厚翼後緣邊界層較早增厚，在抵達失速攻角前，其升力曲線即提早呈現彎曲偏離線性，但能持續維持升力至較大之攻角。

(三) 兩者失速現象之差異為何？（4 分）

兩者失速現象的根本差異在於氣流剝離（Separation）的起始位置與擴展模式：

1. NACA 4412 —— 前緣失速（Leading-edge stall）／混合型失速：

• 機制：$12\%$ 厚度屬於中等偏薄翼型，其前緣曲率半徑較小。

核心觀念

本題為民國 107 年民航特考三等「空氣動力學」的經典申論題，整題貫穿「高速氣動力學（High-Speed Aerodynamics）」與「熱力學基礎（Thermodynamics Foundations）」的核心骨架，測驗考生對跨音速／超音速流動、三維減阻設計以及氣體動力學基本假設的掌握程度：

1. 阻力分類與物理機制：掌握次音速、穿音速、超音速三種流況下，流場結構（如附面層分離、正震波、斜震波、膨脹波）對壓差阻力、摩擦阻力、誘導阻力與波阻的交互影響。
2. 三維流場減阻設計：機翼上下表面壓差引發翼端漩渦（Wingtip vortices）與下洗流（Downwash），造成升力傾斜形成誘導阻力；翼端小翼（Winglet）在此扮演抑制橫流與削弱渦強度的幾何控制角色。
3. 可壓縮流氣動極限（音障）：音障並非實體物理牆，而是臨界馬赫數後因震波生成引發阻力發散（Drag divergence）、流動分離與操縱性劇變之氣動力綜合現象。
4. 氣體狀態模型：熱力完全氣體（Thermal Perfect Gas）與量熱完全氣體（Calorically Perfect Gas）的數學定義、物理適用界限（溫度與自由度激發）。
5. 音速公式與推導假設：從微小擾動波動方程式出發，基於等熵關係式 $p = C \rho^\gamma$ 與狀態方程式 $p = \rho R T$ 推導 $a = \sqrt{\gamma R T}$，並完整列舉四項成立假設。

解題方法

1. (一)、(二) 阻力題型：採用「總阻力解構法」，將氣動力阻力拆解為寄生阻力（摩擦＋形狀壓差）、誘導阻力與波動阻力。穿音速著重於「局部超音速區域的正震波損失與震波誘導附面層分離」；超音速則進一步區分「體積波阻（Thickness wave drag）」與「升力波阻（Wave drag due to lift）」，並指出底部阻力（Base drag）。
2. (三) 翼端小翼題型：從「三維流動壓差產生翼端渦 $\to$ 形成下洗流 $\to$ 升力向量向後傾斜產生誘導阻力 $C_{Di} = \frac{C_L^2}{\pi e AR}$」的推導鏈切入，說明小翼如何增加有效展弦比、打散翼端渦並提供微弱前向推力分量。
3. (四) 音障題型：採取「歷史概念 vs. 物理本質」雙層結構作答，先定義名詞由來，再以空氣動力學機制（臨界馬赫數、阻力發散、氣動中心後移引發 Mach tuck）點出本質與突破技術。
4. (五) 氣體模型題型：依據狀態方程式、內能與焓的函數形式（$e(T), h(T)$）、比熱是否為定值（$c_p, c_v$）三個維度進行對比表格或分項精準陳述。
5. (六) 音速估算題型：先列出最終核心公式 $a = \sqrt{\gamma R T}$ 與參數單位；接著完整陳述「微小擾動、無黏性無熱傳、可逆等熵、量熱完全氣體」四大假設；最後寫出關鍵熱力學推導步驟以取得滿分。

選項分析

本題為申論問答題，無單選或是非選項之區分。各子題評分焦點與答題落點剖析如下：

• 第 (一) 題（5 分）：必須明確寫出「波阻（Wave drag）」與「震波引發附面層分離的壓差阻力增量」，若僅寫摩擦阻力與誘導阻力，將喪失穿音速題旨核心分數。
• 第 (二) 題（5 分）：必須明確點出「體積波阻」與「升力波阻」，並納入超音速特有的「底部阻力（Base drag）」，不可直接照抄穿音速答案。
• 第 (三) 題（5 分）：得分關鍵在於點出「誘導阻力（Induced drag）」與「削弱翼端渦（Wingtip vortices）」，若能補充說明增加有效展弦比（Effective Aspect Ratio）即達滿分標竿。
• 第 (四) 題（5 分）：切忌只寫歷史故事；必須用專業空力名詞「阻力發散（Drag divergence）」、「臨界馬赫數」、「震波失速（Shock stall）」作答。
• 第 (五) 題（10 分）：佔分較重，得分分水嶺在於能否準確區分「熱力完全（$c_p, c_v$ 是溫度的函數）」與「量熱完全（$c_p, c_v$ 是常數）」。
• 第 (六) 題（10 分）：公式佔 3 分，四大假設佔 4 分，數學推導關聯佔 3 分。漏列「微小擾動」或「等熵可逆」為考場最常見失分點。

解題技巧

1. 阻力對比速記口訣：

• 穿音速阻力關鍵字：局部正震波、波阻發散、激波分離。
• 超音速阻力關鍵字：全機震波系統、體積波阻、升力波阻、底部阻力。

2. 氣體模型判定訣竅：

• 只要符合 $p = \rho R T$，就是「熱力完全氣體（Thermal Perfect Gas）」，此時 $e = e(T)$、$h = h(T)$。
• 若比熱進一步凍結為定值（$c_p, c_v = \text{const}$），才升級為「量熱完全氣體（Calorically Perfect Gas）」。常溫常壓大氣通常直接作量熱完全氣體處理。

3. 音速推導防呆驗算：

• 聲壓是絕熱壓縮而非等溫壓縮，絕不能用牛頓等溫假設（$a = \sqrt{RT}$），必含比熱比 $\gamma$。
• 絕對溫度 $T$ 必須為克氏溫標（$\text{K}$），計算音速時切勿誤代攝氏度（${}^\circ\text{C}$）。

【答案】

(一) 穿音速（transonic speed）客機之阻力來源

當客機以穿音速（自由流馬赫數約 $M_\infty \approx 0.8 \sim 1.2$）飛行時，主要阻力來源包含：

1. 波動阻力（Wave Drag, $D_w$）：

• 當飛行馬赫數超過臨界馬赫數（$M_{cr}$）後，機翼表面局部流速超過音速，並在下游形成終止超音速區的「正震波（Normal Shock Wave）」。
• 流體通過震波產生不可逆的熵增（總壓損失），該機械能耗散在巨觀上即體現為波阻。

2. 震波誘導分離阻力（Shock-Induced Separation Drag）：

• 正震波前後伴隨強烈逆壓梯度，導致機翼附面層（邊界層）在震波後方發生劇烈流動分離，使機翼後緣壓差急遽擴大，造成形狀壓差阻力暴增。

3. 摩擦阻力（Skin Friction Drag, $D_f$）：

• 空氣黏性在機身與機翼表面附面層內產生壁面剪應力所形成的摩擦阻力。

4. 形狀壓差阻力（Form / Pressure Drag, $D_p$）：

• 未分離及分離流況下，物體前後表面幾何壓力分佈不均所產生的壓差阻力。

5. 誘導阻力（Induced Drag, $D_i$）：

• 機翼產生升力時，翼端高低壓差產生三維下洗流（Downwash）所引發的誘導阻力。

(二) 超音速（supersonic speed）客機之阻力來源

當客機以超音速（$M_\infty > 1.2$）巡航時，整機均處於超音速流場中，主要阻力來源包含：

1. 波動阻力（Wave Drag）（佔比最高）：

• 體積波阻（Thickness / Volume Wave Drag）：機身頭錐、機翼前緣及截面積變化推擠超音速氣流，形成附著斜震波（Oblique Shock）或脫體震波（Bow Shock）與膨脹波系，因震波總壓損失產生的阻力。
• 升力波阻（Wave Drag due to Lift）：超音速下機翼上下翼面壓差產生升力時，波系分佈改變所伴隨引發的額外波動阻力分量。

2. 底部阻力（Base Drag, $D_b$）：

• 超音速流體流經機身尾端截斷處（如發動機尾噴口周圍）時無法轉折，形成大面積超音速膨脹死水低壓區，造成機體前後極大的壓差阻力。

3. 摩擦阻力（Skin Friction Drag）：

• 高速超音速附面層內的強烈剪切黏性摩擦。高速氣動加熱會改變壁面氣體黏度，使摩擦阻力仍佔總阻力相當份額。

4. 渦流阻力／誘導阻力（Vortex / Induced Drag）：

• 有限翼展三維效應在機翼邊緣與尖端形成脫落渦流所造成的誘導阻力。

(三) 客機機翼端小翼（winglet）之設計原理

1. 氣動物理機制：

• 有限翼展機翼在產生升力時，下表面為高壓區、上表面為低壓區。在翼尖處，高壓氣流會繞過翼端向低壓區側向流動，形成強大的「翼端渦（Wingtip Vortices）」。

核心觀念

本題評量一維可逆絕熱（等熵）可壓縮流場（One-dimensional Steady Isentropic Flow）​中，管道截面積變化對流場熱力與動力性質的影響。核心理論依據為：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：質量守恆 $\dot{m} = \rho A V = \text{常數}$。
2. 尤拉動量方程式（Euler's Momentum Equation）：無黏性流動之動量守恆 $dp + \rho V dV = 0$。
3. 等熵狀態關係與音速定義：$a^2 = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s = \frac{\gamma p}{\rho}$。
4. 馬赫數定義與總溫守恆：$M = \frac{V}{a}$，且絕熱流動中總溫 $T_0 = T\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right) = \text{常數}$。

解題方法

1. 關係式推導（第二小題之解題核心）

由一維穩態連續方程式： $\rho A V = \text{常數}$ 取對數微分可得： $\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dA}{A} + \frac{dV}{V} = 0 \implies \frac{dA}{A} = -\frac{d\rho}{\rho} - \frac{dV}{V}$

由尤拉動量方程式： $dp = -\rho V dV \implies \frac{dV}{V} = -\frac{dp}{\rho V^2}$

結合等熵音速定義 $dp = a^2 d\rho$，得密度變化的微量關係： $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dp}{\rho a^2}$

(1) 面積變化與馬赫數變化之關係式

先求面積與速度變化之關係： $\frac{dA}{A} = -\frac{dp}{\rho a^2} - \left(-\frac{dp}{\rho V^2}\right) = \frac{dp}{\rho V^2}\left(1 - \frac{V^2}{a^2}\right) = \frac{dp}{\rho V^2}(1 - M^2)$ 代入 $\frac{dp}{\rho V^2} = -\frac{dV}{V}$，即得經典之面積－速度關係式（Area-Velocity Relation）： $\frac{dA}{A} = (M^2 - 1)\frac{dV}{V}$

將速度與馬赫數連結：$V = M a = M \sqrt{\gamma R T}$，對數微分得： $\frac{dV}{V} = \frac{dM}{M} + \frac{1}{2}\frac{dT}{T}$ 絕熱流動總溫為定值：$T_0 = T\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right) = \text{常數}$，微分得： $\frac{dT}{T} = -\frac{(\gamma - 1)M dM}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}$ 代回 $\frac{dV}{V}$： $\frac{dV}{V} = \frac{dM}{M}\left[1 - \frac{\frac{\gamma - 1}{2}M^2}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}\right] = \frac{1}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}\frac{dM}{M}$ 代入面積－速度關係式，即得面積變化與馬赫數變化之關係式： $\frac{dA}{A} = \frac{M^2 - 1}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}\frac{dM}{M} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{dM}{M} = \frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}{M^2 - 1}\frac{dA}{A}$

(2) 面積變化與壓力變化之關係式

將 $\rho V^2 = \rho a^2 M^2 = \gamma p M^2$ 代入前述推導式 $\frac{dA}{A} = \frac{dp}{\rho V^2}(1 - M^2)$： $\frac{dA}{A} = \frac{1 - M^2}{\gamma M^2}\frac{dp}{p} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{dp}{p} = \frac{\gamma M^2}{1 - M^2}\frac{dA}{A} = -\frac{\gamma M^2}{M^2 - 1}\frac{dA}{A}$

(3) 面積變化與密度變化之關係式

等熵過程中，壓力與密度滿足 $\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho}$，代入面積－壓力關係式： $\frac{dA}{A} = \frac{1 - M^2}{\gamma M^2}\left(\gamma \frac{d\rho}{\rho}\right) = \frac{1 - M^2}{M^2}\frac{d\rho}{\rho} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{d\rho}{\rho} = \frac{M^2}{1 - M^2}\frac{dA}{A} = -\frac{M^2}{M^2 - 1}\frac{dA}{A}$

表格分析與流況推演

依據上述關係式，針對次音速與超音速流動進行正負符號判定：

1. 次音速流體（Subsonic flow, $M < 1 \implies M^2 - 1 < 0$）：

• 收縮噴嘴（$dA < 0$）：