111 初等考試初等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考驗事件補集、交集與聯集的關係，主要使用德摩根定律：

$$A^c \cap B^c=(A\cup B)^c$$

因此，依補集機率公式：

$$P(A^c\cap B^c)=P\bigl((A\cup B)^c\bigr) =1-P(A\cup B)$$

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解題方法

已知：

$$P(A\cup B)=\frac{2}{3}$$

所以：

$$\begin{aligned} P(A^c\cap B^c) &=1-P(A\cup B)\\ &=1-\frac{2}{3}\\ &=\frac{1}{3} \end{aligned}$$

因此，$A^c\cap B^c$ 表示「$A$ 不發生且 $B$ 也不發生」，也就是「$A\cup B$ 不發生」。

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選項分析

• (A) $\frac{1}{6}$：錯誤。 $\frac{1}{6}$ 是由其他機率計算所產生的數值，並非本題所求的補集機率。直接由 $P(A\cup B)=\frac{2}{3}$ 取補集，結果應為 $\frac{1}{3}$。

• (B) $\frac{1}{3}$：正確。 根據德摩根定律與補集機率公式：

核心觀念

間斷隨機變數的機率函數必須滿足：

1. $f(x)\geq 0$；
2. 所有可能取值的機率總和等於 $1$。

因此，本題應利用：

$$\sum_x f(x)=1$$

已知：

$$f(x)=\frac{A}{x},\qquad x=1,2,3,4,5$$

所以：

$$\sum_{x=1}^{5}\frac{A}{x}=1$$

解題方法

將 $A$ 提出：

$$A\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)=1$$

計算括號內的值，通分為 $60$：

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15 =\frac{60+30+20+15+12}{60} =\frac{137}{60}$$

因此：

$$A\cdot\frac{137}{60}=1$$

解得：

$$A=\frac{60}{137}$$

故正確答案為：

$$\boxed{\text{(B)}\ \frac{60}{137}}$$

選項分析

• (A) $\frac{50}{128}$：錯誤。 此值並非 $\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)^{-1}$，代入後無法使所有機率總和等於

核心觀念

本題考查**連續隨機變數（Continuous Random Variable）之機率密度函數（Probability Density Function, PDF）**的數學定義與基本性質。

設 $X$ 為連續隨機變數，其機率密度函數 $f(x)$ 必須滿足以下公理化條件與性質：

1. 非負性：對所有實數 $x$，$f(x) \ge 0$。
2. 全機率為 1（全曲線下面積為 1）：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$
3. 區間機率由積分求得：對任意常數 $a < b$，$P(a < X < b) = P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) \, dx$。

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解題方法

辨析連續型隨機變數之「機率密度函數 $f(x)$」與離散型隨機變數之「機率質量函數（PMF）$p(x)$」的本質差異：

• 離散型（PMF）：函數值 $p(x) = P(X = x)$ 直接代表「單點機率」，因此必須受限於 $0 \le p(x) \le 1$。
• 連續型（PDF）：$f(x)$ 代表的是機率在該點附近的「密集程度（Density）」，而非單點機率（連續隨機變數之單點機率 $P(X = x) = 0$）。連續型的機率是由曲線下面積（定積分）計算，只要面積總和等於 1 且高（密度）為非負即可，$f(x)$ 的函數值本身可以大於 1。

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核心觀念

本題考查變異數（Variance）與共變異數（Covariance）的性質與運算公式，特別強調當兩隨機變數「非獨立（Non-independent）」時，雙變數線性組合之變異數公式中**共變異項（Covariance term）**的存在性。

關鍵數學公式：

1. 單一隨機變數變異數計算式：$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
2. 兩隨機變數共變異數定義式：$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
3. 兩隨機變數線性組合之變異數一般式：$\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\text{Cov}(X, Y)$
4. 隨機變數線性轉換之變異數性質：$\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$

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解題方法

本題欲尋找「敘述錯誤」的選項。解題切入點為檢視題目給定的前提條件：$X, Y$ 為非獨立隨機變數。

當 $X, Y$ 非獨立時，其共變異數 $\text{Cov}(X, Y)$ 一般不等於 $0$。因此在計算兩隨機變數之線性組合 $aX + bY$ 的變異數時，必須保留共變異項 $2ab\text{Cov}(X, Y)$。逐項對照各選項公式是否符合隨機變數的基本定理與推導規則即可得出答案。

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選項分析

• (A) 正確： 根據變異數的定義 $\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]$，展開後可得： $\text{Var}(X) = E[X^2 - 2X E(X) + (E(X))^2] = E(X^2) - 2[E(X)]^2 + [E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$ 此為單一隨機變數變異數的最常用計算公式，恆成立，與是否與其他變數獨立無關。

• (B) 正確： 根據共變異數的定義 $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$，展開後可得：

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的變異數。變異數衡量隨機變數各可能值與其平均數之間的離散程度，常用公式為

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$

其中：

$$E(X)=\sum x f(x), \qquad E(X^2)=\sum x^2 f(x)$$

解題方法

先計算期望值：

$$\begin{aligned} E(X) &=0\left(\frac13\right) +1\left(\frac12\right) +2(0) +3\left(\frac16\right)\\ &=\frac12+\frac12=1 \end{aligned}$$

再計算 $X^2$ 的期望值：

$$\begin{aligned} E(X^2) &=0^2\left(\frac13\right) +1^2\left(\frac12\right) +2^2(0) +3^2\left(\frac16\right)\\ &=\frac12+\frac{9}{6}\\ &=\frac12+\frac32=2 \end{aligned}$$

因此變異數為

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=2-1^2\\ &=1 \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查「母體比例結構之卡方適合度檢定」。當樣本觀察值要與假設的理論比例比較時，使用卡方檢定統計量：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$：第 $i$ 類的觀察次數
• $E_i$：第 $i$ 類在 $H_0$ 成立下的期望次數
• $k$：類別數

本題有 $3$ 種宗教，因此自由度為：

$$df=k-1=3-1=2$$

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解題方法

樣本總數為 $n=800$，虛無假設指定各宗教比例為：

$$p_1=0.12,\qquad p_2=0.54,\qquad p_3=0.34$$

先計算各類別的期望次數：

$$\begin{aligned} E_1&=800(0.12)=96,\\ E_2&=800(0.54)=432,\\ E_3&=800(0.34)=272. \end{aligned}$$

觀察次數與期望次數如下：

宗教	觀察次數 $O_i$	期望次數 $E_i$
A	$100$	$96$
B	$427$	$432$
C	$273$	$272$

代入卡方檢定統計量：

$$\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(100-96)^2}{96} +\frac{(427-432)^2}{432} +\frac{(273-272)^2}{272}\\ &=\frac{16}{96}+\frac{25}{432}+\frac{1}{272}\\ &=0.166667+0.057870+0.003676\\ &=0.228214. \end{aligned}$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$、自由度 $df=2$ 下，卡方臨界值為：

$$\chi^2_{0.05,2}=5.991$$

核心觀念

本題考「中位數」的定義。

將資料由小到大排列後：

• 若資料筆數為奇數，中位數為正中央的數值。
• 若資料筆數為偶數，中位數為中央兩個數值的平均數。

本題共有 $20$ 筆資料，屬於偶數筆，因此中位數為第 $10$ 筆與第 $11$ 筆資料的平均數。

解題方法

先將年齡資料由小到大排列：

$$13,\ 14,\ 14,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 16,\ 16,\ 16,\ 17,\ 17,\ 18,\ 18,\ 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 29,\ 30$$

共有 $n=20$ 筆資料，因此中央位置為第 $10$ 筆與第 $11$ 筆。

由排列結果可知：

$$x_{(10)}=16,\qquad x_{(11)}=17$$

所以中位數為：

$$\text{Median}=\frac{x_{(10)}+x_{(11)}}{2} =\frac{16+17}{2} =\frac{33}{2} =16.5$$

核心觀念

統計量可分為描述資料「集中位置」與「分散程度」的指標。平均數、中位數與眾數都是衡量集中位置的指標；全距則是衡量資料分散程度的指標。

全距的計算方式為：

$$\text{全距}=\text{最大值}-\text{最小值}$$

全距越大，表示資料最大值與最小值之間的差距越大，資料的分散程度也越高。

解題方法

先辨別題目問的是「分散趨勢」還是「集中趨勢」。本題詢問一群體的分散趨勢，因此應選擇反映資料差異或散布程度的統計量。四個選項中，全距是分散程度的測量指標。

選項分析

核心觀念

本題考查集合與事件的基本運算律：

• 聯集：$A\cup B$，表示事件 $A$ 或事件 $B$ 發生。
• 交集：$A\cap B$，表示事件 $A$ 與事件 $B$ 同時發生。
• 聯集與交集具有分配律、結合律及冪等律。

重要公式如下：

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$ $$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$ $$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$$ $$A\cup A=A$$

解題方法

逐一比對各選項是否符合上述事件運算律即可。尤其要注意：

$$A\cap(B\cup C)$$

與

$$A\cup(B\cap C)$$

雖然形式相似，但兩者的分配律結果不同，不能混淆。

選項分析

(A) 錯誤

選項敘述為：

$$A\cap(B\cup C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$

左側依交集對聯集的分配律：

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$

右側依聯集對交集的分配律：

$$(A\cup B)\cap(A\cup C)=A\cup(B\cap C)$$

因此選項實際上是宣稱：

$$(A\cap B)\cup(A\cap C)=A\cup(B\cap C)$$

此等式一般不成立。

例如取：

$$A=\{1\},\quad B=\varnothing,\quad C=\varnothing$$

則：

$$A\cap(B\cup C)=\{1\}\cap\varnothing=\varnothing$$

核心觀念

本題考查：

1. 等可能樣本空間下的事件機率。
2. 交集事件 $A\cap B$ 的機率。
3. 事件獨立性的判定公式：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

若等式成立，則 $A$ 與 $B$ 相互獨立；若不成立，才是不獨立。

投擲公平骰子兩次，第一次與第二次的結果互不影響，因此兩次投擲彼此獨立。

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解題方法

第一次出現偶數的結果為 $2,4,6$，共有 $3$ 種：

$$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

第二次出現 $5$ 或 $6$，共有 $2$ 種：

$$P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

事件 $A\cap B$ 表示：

• 第一次出現偶數；
• 且第二次出現 $5$ 或 $6$。

第一次有 $3$ 種選擇，第二次有 $2$ 種選擇，因此符合條件的結果共有：

$$3\times 2=6\text{ 種}$$

全部可能結果共有：

$$6\times 6=36\text{ 種}$$

所以：

$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

再檢查獨立性：

$$P(A)P(B) =\frac{1}{2}\times\frac{1}{3} =\frac{1}{6}$$

因此：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

故 $A$ 與 $B$ 為獨立事件。

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選項分析

核心觀念

本題考查「樣本平均數的不偏性」與「期望值的線性性質」。

若從母群體中抽取 $n$ 個樣本，令各樣本為 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，且每個樣本的母體期望值皆為 $\mu$，則樣本平均數為

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

其期望值為

$$E(\bar{X}) =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) =\frac{1}{n}(n\mu) =\mu$$

因此，樣本平均數是母體平均數 $\mu$ 的不偏估計量。

解題方法

題目給定：

$$\mu=30,\qquad \sigma^2=10,\qquad n=20$$

由樣本平均數期望值公式：

$$E(\bar{X})=\mu$$

代入母體期望值：

$$E(\bar{X})=30$$

所以正確選項為 $(A)$。

題目所給的變異數 $\sigma^2=10$ 與樣本數 $n=20$，主要是計算樣本平均數變異數時使用：

$$\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n} =\frac{10}{20} =\frac{1}{2}$$

核心觀念

本題考查常態母群體下「樣本平均數的抽樣分配」。

已知母群體：

• 母體平均數：$\mu=10$
• 母體變異數：$\sigma^2=441$，因此標準差為 $\sigma=\sqrt{441}=21$
• 樣本數：$n=49$

由於母群體為常態分配，不論樣本數大小，樣本平均數 $\bar X$ 皆服從常態分配：

$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$

因此：

$E(\bar X)=\mu=10$

$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n} =\frac{441}{49}=9$$

樣本平均數的標準誤為：

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{21}{\sqrt{49}} =\frac{21}{7}=3$$

解題方法

要求：

$P(4\le \bar X\le 13)$

將 $\bar X$ 標準化為標準常態變數 $Z$：

$$Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma_{\bar X}} =\frac{\bar X-10}{3}$$

下限 $4$ 所對應的 $Z$ 值為：

$Z_1=\frac{4-10}{3}=-2$

上限 $13$ 所對應的 $Z$ 值為：

$Z_2=\frac{13-10}{3}=1$

所以：

$$P(4\le \bar X\le 13) =P(-2\le Z\le 1)$$

利用標準常態分配累積機率表：

$\Phi(1)=0.8413$

$\Phi(-2)=0.0228$

因此：

核心觀念

本題旨在考查雙因子列聯表之卡方獨立性檢定（Chi-square Test of Independence）。

1. 假設設定：

• 虛無假設 $H_0$：信用狀況與所得水準相互獨立（不具相關性）。
• 對立假設 $H_1$：信用狀況與所得水準不獨立（具有顯著相關性）。

2. 期望次數（Expected Frequency）公式： $E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{n}$ 其中 $R_i$ 為第 $i$ 列合計，$C_j$ 為第 $j$ 行合計，$n$ 為總樣本數。
3. 卡方檢定量（Chi-square Test Statistic）公式： $\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \sim \chi^2_{(r-1)(c-1)}$ 其中 $O_{ij}$ 為第 $i$ 列第 $j$ 行的觀測次數（Observed Frequency），自由度 $df = (r-1)(c-1)$。
4. 決策法則： 若 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha, (r-1)(c-1)}$，則拒絕 $H_0$（代表具顯著相關性）；反之則無法拒絕 $H_0$（代表不具顯著相關性）。

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解題方法

步驟一：建立列聯表之邊界合計

信用狀況 \ 所得水準	高 ($C_1$)	中 ($C_2$)	低 ($C_3$)	列合計 ($R_i$)
良好 ($R_1$)	$18$	$22$	$12$	$R_1 = 52$
不良 ($R_2$)	$16$	$20$	$14$	$R_2 = 50$
行合計 ($C_j$)	$C_1 = 34$	$C_2 = 42$	$C_3 = 26$	總數 $n = 102$

步驟二：計算各細格期望次數 $E_{ij}$

• $E_{11} = \dfrac{52 \times 34}{102} = \dfrac{1768}{102} \approx 17.3333$
• $E_{12} = \dfrac{52 \times 42}{102} = \dfrac{2184}{102} \approx 21.4118$
• $E_{13} = \dfrac{52 \times 26}{102} = \dfrac{1352}{102} \approx 13.2549$
• $E_{21} = \dfrac{50 \times 34}{102} = \dfrac{1700}{102} \approx 16.6667$
• $E_{22} = \dfrac{50 \times 42}{102} = \dfrac{2100}{102} \approx 20.5882$
• $E_{23} = \dfrac{50 \times 26}{102} = \dfrac{1300}{102} \approx 12.7451$

步驟三：計算卡方檢定量 $\chi^2$

核心觀念

本題考查母體平均數 $\mu$ 之信賴區間估計。

當母體服從常態分配，且母體標準差 $\sigma$ 為已知時，無論樣本數 $n$ 為大或小，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配精確服從常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

其標準化統計量 $Z$ 為： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

母體平均數 $\mu$ 的 $(1-\alpha)\times 100\%$ 信賴區間公式為： $\left[\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$

其中：

• $\bar{x}$ 為樣本平均數
• $\sigma$ 為已知之母體標準差
• $n$ 為樣本數
• $z_{\alpha/2}$ 為標準常態分配之右尾臨界值（當信賴水準為 $95\%$ 時，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$）

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解題方法

步驟一：計算樣本平均數 $\bar{x}$ 題目給定 $n = 8$ 筆健保醫療給付費用數據：$614, 665, 836, 622, 506, 568, 580, 545$。 $\sum_{i=1}^{8} x_i = 614 + 665 + 836 + 622 + 506 + 568 + 580 + 545 = 4936$ $\bar{x} = \frac{4936}{8} = 617$

步驟二：確定參數與雙尾臨界值

• 已知母體標準差 $\sigma = 100$
• 樣本數 $n = 8$
• $95\%$ 信賴水準對應之臨界值 $z_{0.025} = 1.96$

步驟三：計算抽樣誤差（Margin of Error, ME） $ME = z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{100}{\sqrt{8}}$ 由於 $\sqrt{8} \approx 2.828427$： $ME = 1.96 \cdot \frac{100}{2.828427} \approx 69.2965$

步驟四：求出信賴區間上下界

• 下界（Lower Bound）： $LL = \bar{x} - ME = 617 - 69.2965 = 547.7035 \approx 547.703$
• 上界（Upper Bound）：

核心觀念

本題考查假設檢定中型 I 錯誤與型 II 錯誤的定義。

• 型 I 錯誤：虛無假設 $H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$。
• 型 II 錯誤：虛無假設 $H_0$ 為偽，卻未拒絕 $H_0$。

因此：

$$\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})$$ $$\beta=P(\text{不拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為偽})$$

其中 $\alpha$ 稱為顯著水準或型 I 錯誤機率，$\beta$ 則為型 II 錯誤機率。

解題方法

直接依照兩類錯誤的定義判斷：

$H_0$ 真實狀態	檢定決策	結果
$H_0$ 為真	拒絕 $H_0$	型 I 錯誤，機率為 $\alpha$
$H_0$ 為真	不拒絕 $H_0$	正確決策
$H_0$ 為偽	拒絕 $H_0$	正確拒絕
$H_0$ 為偽	不拒絕 $H_0$	型 II 錯誤，機率為 $\beta$

所以題目中正確的關係為：

$$\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})$$

選項分析

• (A) $\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為偽})$

錯誤。當 $H_0$ 為偽且拒絕 $H_0$，屬於正確的檢定決策，不是型 I 錯誤。此機率通常稱為檢定力（power）：

核心觀念

母體為常態分配 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，且母體變異數 $\sigma^2$ 未知。此時利用樣本標準差 $S$ 估計 $\sigma$，統計量

$$T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}$$

服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。因此，$\mu$ 的雙尾 $99\%$ 信賴區間為

$$\bar X\pm t_{0.995,n-1}\frac{S}{\sqrt n}.$$

本題樣本數為 $n=10$，故自由度為 $9$。

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解題方法

樣本資料為

$$3,7,5,13,16,12,17,8,11,14.$$

先計算樣本平均數：

$$\bar X=\frac{3+7+5+13+16+12+17+8+11+14}{10} =\frac{106}{10}=10.6.$$

計算離均差平方和：

$$\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2=198.4.$$

因此樣本變異數為

$$S^2=\frac{198.4}{10-1} =\frac{198.4}{9} =22.0444,$$

樣本標準差為

$$S=\sqrt{22.0444}\approx 4.695.$$

因為信賴水準為 $99\%$，所以

$$\alpha=1-0.99=0.01,\qquad \frac{\alpha}{2}=0.005.$$

自由度 $9$ 的 $t$ 分配臨界值為

$$t_{0.995,9}\approx 3.250.$$

誤差界限為

$$E=t_{0.995,9}\frac{S}{\sqrt{n}} =3.250\cdot\frac{4.695}{\sqrt{10}} \approx 4.824.$$

故 $\mu$ 的 $99\%$ 信賴區間為

核心觀念

本題考查「兩個母體比例差之信賴區間」。

設：

• 男性贊成廢除死刑的母體比例為 $p_m$
• 女性贊成廢除死刑的母體比例為 $p_w$

題目要求男性與女性比例差的 $95\%$ 信賴區間，即估計：

$$p_m-p_w$$

兩組樣本為獨立隨機樣本，因此使用兩獨立母體比例差的信賴區間公式：

$$(\hat p_m-\hat p_w) \pm z_{0.975} \sqrt{ \frac{\hat p_m(1-\hat p_m)}{n_m} + \frac{\hat p_w(1-\hat p_w)}{n_w} }$$

其中 $95\%$ 信賴區間的臨界值為：

$$z_{0.975}=1.96$$

解題方法

男性樣本比例為：

$$\hat p_m=\frac{125}{1000}=0.125$$

女性樣本比例為：

$$\hat p_w=\frac{120}{1200}=0.100$$

因此樣本比例差為：

$$\hat p_m-\hat p_w=0.125-0.100=0.025$$

其標準誤為：

$$SE= \sqrt{ \frac{0.125(1-0.125)}{1000} + \frac{0.100(1-0.100)}{1200} }$$ $$= \sqrt{ \frac{0.125(0.875)}{1000} + \frac{0.100(0.900)}{1200} }$$ $$= \sqrt{0.000109375+0.000075} = \sqrt{0.000184375} \approx 0.01358$$

誤差範圍為：

$$1.96(0.01358)\approx 0.02662$$

所以信賴區間為：

$$0.025\pm 0.02662$$

即：

$$(-0.00162,\ 0.05162)$$

依選項取適當位數，可寫為：

$$(-0.002,\ 0.052)$$

核心觀念

本題考查「母體變異數已知時，母平均數的單尾 $Z$ 檢定」。

已知：

$$X\sim N(\mu,20)$$

依常用統計記號，$N(\mu,20)$ 中第二個參數 $20$ 代表母體變異數，因此：

$$\sigma^2=20,\qquad \sigma=\sqrt{20}$$

檢定假設為：

$$H_0:\mu\le 12,\qquad H_1:\mu>12$$

這是右尾檢定。由於母變異數已知，使用檢定統計量：

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$$

其中 $\mu_0=12$。

解題方法

樣本資料為：

$$12,\ 10,\ 15,\ 18,\ 22,\ 19$$

樣本數：

$$n=6$$

樣本平均數：

$$\bar X=\frac{12+10+15+18+22+19}{6} =\frac{96}{6}=16$$

在虛無假設的臨界值 $\mu_0=12$ 下，計算檢定統計量：

$$Z=\frac{16-12}{\sqrt{20}/\sqrt 6}$$

整理分母：

$$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt 6} =\sqrt{\frac{20}{6}} \approx 1.826$$

因此：

$$Z=\frac{4}{1.826}\approx 2.19$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$，右尾檢定的臨界值為：

$$z_{0.95}=1.645$$

拒絕域為：

$$Z>1.645$$

由於：

$$2.19>1.645$$

故拒絕 $H_0$，支持母平均數大於 $12$ 的假設。

選項分析

(A) 檢定統計量為 $2.19$，不拒絕 $H_0$