113 原住民特考四等 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查一階 $RC$ 濾波器對步升（矩形脈波）輸入的暫態響應。

圖一(a)輸入電壓為：

• $t<0$：$v_i(t)=0$
• $0\le t<t_1$：$v_i(t)=1\text{ V}$
• $t\ge t_1$：$v_i(t)=0$

且 $t_1\gg RC$，因此脈波寬度遠大於電路時間常數，輸入下降前電容已接近完全充電或放電狀態。

兩種電路的轉移函數分別為：

圖一(b)：輸出取在電阻 $R$ 兩端

此電路為串聯電容、並聯電阻，轉移函數為

這是高通濾波器，能通過輸入電壓的突變部分，阻擋直流成分。

圖一(c)：輸出取在電容 $C$ 兩端

此電路為串聯電阻、並聯電容，轉移函數為

這是低通濾波器，能通過低頻及直流成分，抑制快速變化的成分。

解題方法與波形推導

令時間常數為

一、圖一(b)之輸出電壓 $v_{ob}(t)$

在 $t=0$ 時，輸入由 $0$ V 突升至 $1$ V。由於電容電壓不能瞬間改變，突升瞬間電容相當於短路，因此電阻兩端立即出現 $1$ V：

之後電容逐漸充電，電阻兩端電壓以指數形式衰減至零：

因為 $t_1\gg RC$，所以在 $t=t_1^-$ 時，

在 $t=t_1$ 時，輸入由 $1$ V 突降至 $0$ V，相當於輸入產生 $-1$ V 的階躍。高通電路會對此下降沿產生負脈波：

之後負脈波再以時間常數 $RC$ 衰減至零：

因此，圖一(b)輸出為「先正脈波、後負脈波」，兩個脈波皆隨時間衰減至零。

精確表示式為

二、圖一(c)之輸出電壓 $v_{oc}(t)$

核心觀念

瓦特計以兩個測量電路取得負載端電壓 $V_L$ 與流經負載的電流 $I_L$，再以 $P=V_LI_L$ 計算負載功率。量電壓的電路須跨接在負載兩端；量電流的電路則須讓負載電流流經其中。

實際儀表的電壓電路具有有限輸入電阻，電流電路具有非零內阻，因此接線後會對待測電路造成負載效應，影響計算所得功率。

解題方法

先依電路 A、B 的測量目的決定接法，再比較儀表接入後所量得的 $V_L$、$I_L$ 與原本負載的電壓、電流。題目指定不計電路 A、B 的功耗，因此只需考慮儀表造成的負載效應，不把儀表自身消耗的功率計入讀值。

（一）電路 A：與負載並聯

電路 A 測量負載兩端電壓，因此應與待測負載並聯，使電路 A 的兩端分別接至負載的兩個接線端。並聯時電路 A 與負載兩端具有相同電壓，電路 A 才能量得負載端電壓 $V_L$。

（二）電路 B：與負載串聯

電路 B 測量流經負載的電流，因此應與待測負載串聯，使負載電流也流經電路 B。串聯支路中的電流相同，電路 B 才能量得 $I_L$。

（三）計算功率與實際負載功耗的比較

電路 A 並聯在負載兩端，會分流；電路 B 串聯在負載電流路徑中，會增加串聯電阻。把負載等效為電阻 $R_L$，電路 A 的輸入電阻為 $R_A$，電路 B 的內阻為 $R_B$。以電源電壓 $V_s$ 供電時，接妥儀表後的量測功率為

核心觀念

本題比較三部儀器的三種性能：

• 精確度（precision）：量測值彼此間的集中程度，離散越小，精確度越高。
• 正確度（trueness）：量測平均值接近真實值的程度。本題電阻真實值為 $10\,\mathrm{k}\Omega$，平均值越接近 $10\,\mathrm{k}\Omega$，正確度越高。
• 準確度（accuracy）：綜合考慮正確度與精確度，亦即量測值須同時接近真實值且彼此集中。

解題方法

觀察圖二中各儀器的四次量測結果：

• X：量測值集中在 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 右側，彼此有一定分散。
• Y：量測值分散程度較大，但平均值約在 $10\,\mathrm{k}\Omega$。
• Z：量測值集中在 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 附近，且彼此最接近。

判斷時分別比較：

1. 各組數據的分布寬度：判斷精確度。
2. 各組數據的平均位置與 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 的距離：判斷正確度。
3. 同時考慮分布寬度與平均位置：判斷準確度。

（一）精確度最高與最低

精確度取決於量測值的離散程度，可用極差或標準差表示：

量測值分布越集中，極差越小，精確度越高。

由圖可見：

• Z 的四個量測值最集中，離散程度最小。
• Y 的四個量測值分布範圍最大，離散程度最大。

因此：

• 精確度最高：Z 儀器
• 精確度最低：Y 儀器

（二）正確度最高與最低

正確度是比較量測平均值與真實值 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 的接近程度：

並比較：

此差值越小，正確度越高。

由圖判斷：

核心觀念

本題考查示波器輸入阻抗對被測電路的負載效應，以及 $R\!-\!C$ 電路對不同頻率波形的影響。

示波器輸入端標示 $1\,\mathrm{M}\Omega$、$1\,\mathrm{pF}$，表示其等效輸入阻抗為：

其中電阻提供直流負載，電容則對高頻成分形成低阻抗，造成波形失真。

（一）示波器輸入端的等效電路

由示波器輸入端看入，其等效電路為 $1\,\mathrm{M}\Omega$ 電阻與 $1\,\mathrm{pF}$ 電容並聯，且與負載 $R_L$ 並聯。

等效電路如下：

 ┌── RL ──┐
信號輸入端 ──┤ ├── 返回端
 ├─ 1 MΩ ─┤
 └─ 1 pF ─┘

因此，被測電路實際看到的總負載為：

若只討論示波器本身，則：

其中：

（二）直流輸入時，$R_L$ 對觀察結果的影響

對直流信號而言，電容在穩態時相當於開路，因此示波器只呈現 $1\,\mathrm{M}\Omega$ 的電阻性輸入負載。

示波器與 $R_L$ 的等效負載為：

若信號產生器的輸出為題目所稱的理想直流電壓源，則其內阻為零，輸出端電壓不會因負載改變。因此：

所以在理想信號源假設下，改變 $R_L$ 的大小不會改變示波器所觀察到的直流電壓值。

但是，$R_L$ 會影響電路中的總電流：

以及信號源所輸出的功率。$R_L$ 越小，總負載電阻越小，所需輸出電流越大。

實際信號產生器具有輸出內阻 $R_s$ 時，則會產生分壓：

此時 $R_L$ 越小，負載電壓下降越明顯。但本題指定為理想輸出，主要結論為直流觀測值與 $R_L$ 無關。

（三）最容易觀察到失真的波形與條件

1. 等效電路與時間常數

本小題取：

因此只剩示波器的 $1\,\mathrm{M}\Omega$ 與 $1\,\mathrm{pF}$ 並聯負載。

其時間常數為：

對信號源而言，示波器輸入形成一階低通電路，其截止頻率為：

其轉移函數為：

振幅比為：