108 地方特考三等 食品衛生檢驗 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查常態分配的標準化，以及母體平均數的信賴區間。

若尿酸值 $X$ 服從平均數 $\mu=6.3$、標準差 $\sigma=1.8$ 的常態分配，標準化後：

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$

樣本平均數 $\bar X$ 的標準誤為 $\sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt n$。母體標準差已知時，母體平均數的 95% 信賴區間使用標準常態臨界值 $z_{0.975}=1.96$。

（一）單一成人尿酸值的機率

1. 尿酸值大於 9.5 mg/dL

將 $X=9.5$ 標準化：

$$z=\frac{9.5-6.3}{1.8}=\frac{3.2}{1.8}\approx1.78$$

因此：

$$P(X>9.5)=P(Z>1.78)=1-\Phi(1.78)$$

查標準常態分配表，$\Phi(1.78)\approx0.9625$，故：

$$P(X>9.5)\approx1-0.9625=0.0375$$

機率約為 0.0375，即 3.75%。

2. 尿酸值介於 4.6～8.2 mg/dL

分別標準化上下界：

$$z_1=\frac{4.6-6.3}{1.8}\approx-0.94,\qquad z_2=\frac{8.2-6.3}{1.8}\approx1.06$$

因此：

$$\begin{aligned} P(4.6<X<8.2) &=P(-0.94<Z<1.06)\\ &=\Phi(1.06)-\Phi(-0.94) \end{aligned}$$

查表得 $\Phi(1.06)\approx0.8554$、$\Phi(0.94)\approx0.8264$。利用對稱性 $\Phi(-0.94)=1-\Phi(0.94)=0.1736$，所以：

核心觀念

本題比較兩個互不重疊的獨立組別之三酸甘油脂平均值，屬於「兩獨立樣本平均數差異檢定」。令 $\mu_1$ 為有喝酒組的母體平均值，$\mu_2$ 為無喝酒組的母體平均值，檢定雙尾假說：

$$H_0:\mu_1-\mu_2=0 \qquad\text{對}\qquad H_1:\mu_1-\mu_2\ne 0$$

題目未提供兩組母體變異數相等的依據，因此採用不假設等變異數的 Welch 兩樣本 $t$ 檢定。平均數差的標準誤為

$$SE=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$

其 95% 信賴區間為「樣本平均數差 $\pm$ 臨界值 $\times SE$」。

解題方法

有喝酒組為第 1 組，無喝酒組為第 2 組。樣本平均數差為

$$\bar{x}_1-\bar{x}_2=118.4-102.5=15.9$$

標準誤為

$$SE=\sqrt{\frac{81.1^2}{215}+\frac{61.6^2}{263}} =\sqrt{\frac{6577.21}{215}+\frac{3794.56}{263}} \approx\sqrt{44.86} \approx 6.70$$

Welch 檢定的自由度以 Satterthwaite 公式估計：

$$\nu= \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \approx 370$$

檢定統計量為

$$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-0}{SE} =\frac{15.9}{6.70} \approx 2.37$$

在雙尾檢定、$\alpha=0.05$ 下，臨界值約為 $t_{0.975,\nu}\approx 1.97$。因為 $|t|=2.37>1.97$，故拒絕 $H_0$；

核心觀念

本題考二個二元類別變項的關聯檢定，以及兩個獨立樣本比例差的信賴區間。將「是否食用蛋沙拉」與「是否發生食物中毒症狀」整理成 $2\times2$ 列聯表，可用 Pearson 卡方檢定檢驗兩者是否獨立。

解題方法與計算

依題意整理資料：

	發生症狀	未發生症狀	合計
食用蛋沙拉	60	10	70
未食用蛋沙拉	35	130	165
合計	95	140	235

假說

令 $p_1$ 為發生症狀者食用蛋沙拉的比例，$p_2$ 為未發生症狀者食用蛋沙拉的比例。

$$H_0:p_1=p_2 \quad\text{（食用蛋沙拉與是否發生症狀無關）}$$ $$H_1:p_1\ne p_2 \quad\text{（食用蛋沙拉與是否發生症狀有關）}$$

採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

卡方檢定

在虛無假說下，各格期望次數為「列合計乘欄合計，再除以總人數」。四格期望次數依序為：

$$\frac{70\times95}{235}=28.30,\quad \frac{70\times140}{235}=41.70,\quad \frac{165\times95}{235}=66.70,\quad \frac{165\times140}{235}=98.30$$

各格期望次數均大於 5，適合使用 Pearson 卡方檢定。自由度為 $(2-1)(2-1)=1$。

$$\chi^2 =\sum\frac{(O-E)^2}{E} =\frac{235(60\times130-10\times35)^2} {70\times165\times95\times140} \approx 80.92$$

臨界值為 $\chi^2_{1,0.95}=3.84$。由於 $80.92>3.84$，拒絕 $H_0$。因此在 $\alpha=0.05$ 下，攝食蛋沙拉與發生食物中毒症狀有統計顯著相關。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的迴歸係數解釋、整體迴歸顯著性檢定、變異數分析表的平方和與均方關係，以及決定係數 $R^2$。

迴歸式為

$$\hat y=76.54+0.72x$$

其中 $x$ 為身體質量指數（BMI），$\hat y$ 為預測的空腹血糖值（mg/dL）。截距 $76.54$ 表示 BMI 為 0 時模型所預測的血糖值；斜率 $0.72$ 表示 BMI 每增加 1 單位，預測的空腹血糖平均增加 $0.72$ mg/dL。截距是迴歸式的數學參數，未必具有實際生理解釋。

解題方法與計算

1. BMI 為 28 時的預測值

將 $x=28$ 代入迴歸式：

$$\hat y=76.54+0.72(28)=76.54+20.16=96.70$$

因此，預測空腹血糖為 $96.70$ mg/dL。

2. 計算變異數分析表中的 (a)、(b)、(c)

總平方和可分解為迴歸平方和與殘差平方和：

$$SST=SSR+SSE$$

所以殘差平方和為

$$(a)=SSE=92901.60-2683.24=90218.36$$

迴歸均方為

$$(b)=MSR=\frac{SSR}{df_{\text{迴歸}}} =\frac{2683.24}{1}=2683.24$$

整體迴歸的 $F$ 值為迴歸均方除以殘差均方：

$$(c)=F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{2683.24}{282.82}\approx 9.49$$

殘差均方亦可用平方和驗算：

$$\frac{90218.36}{319}\approx 282.82$$

與題表相符。

3. 迴歸模式是否達統計顯著