113 地方特考三等 測量製圖 誤差理論及實務 考古題詳解

113 年・地方特考・三等・測量製圖
試題代碼 誤差理論及實務

第 一 題25 分

假設某一部全測站儀器，其測距精度為 ±(2 mm+3 ppm)\pm(2\ \mathrm{mm}+3\ \mathrm{ppm})、測角精度為 ±10′′\pm10''。若將該儀器運用於二維導線測量，則該導線之網形應以具備何條件為最佳（例如角度範圍或邊長範圍）？

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題在考全測站儀器的測距與測角誤差，如何影響二維導線的幾何強度。導線網形應使角度觀測與邊長觀測都能有效約束點位；若角度過小或過大，或邊長相差過多，平面位置誤差容易放大。

儀器標稱測距精度為 ±(2 mm+3 ppm)\pm(2\ \mathrm{mm}+3\ \mathrm{ppm})，距離為 DD 公尺時，可近似寫成：

σD≈2 mm+3D mm\sigma_D \approx 2\ \mathrm{mm}+3D\ \mathrm{mm}

其中 3 ppm=3 mm/km3\ \mathrm{ppm}=3\ \mathrm{mm/km}。測角精度為 ±10′′\pm10''，換算為弧度約為：

σθ=10′′×π180×3600≈4.85×10−5 rad\sigma_\theta=10''\times\frac{\pi}{180\times3600} \approx 4.85\times10^{-5}\ \mathrm{rad}

解題方法

以測站至目標點的極座標觀測為例，角度誤差造成的橫向位置誤差約為 DσθD\sigma_\theta，測距誤差則主要造成徑向位置誤差。兩者大小相當時，位置誤差分配較均衡：

Dσθ≈σDD\sigma_\theta \approx \sigma_D

代入儀器精度：

D(4.85×10−5)≈0.002+3×10−6DD(4.85\times10^{-5}) \approx 0.002+3\times10^{-6}D

因此：

D≈0.0024.85×10−5−3×10−6≈47.7 mD\approx\frac{0.002}{4.85\times10^{-5}-3\times10^{-6}} \approx 47.7\ \mathrm{m}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

某人欲觀測下圖中 AA、BB、CC、DD 等四個方向之夾角，已知觀測量為 L1L_1 至 L6L_6，請說明本次測量之多餘觀測數，並列出相對應的觀測方程式。

【圖示】四個方向依序標示為 AA、BB、CC、DD，觀測量 L1L_1 至 L6L_6 表示各方向間之夾角觀測值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查「方向角觀測網」的多餘觀測數與觀測方程式。

四個方向 A、B、C、DA、B、C、D 的方向值可設為

αA, αB, αC, αD\alpha_A,\ \alpha_B,\ \alpha_C,\ \alpha_D

但方向值的基準方向可任意平移，因此四個方向中只有 4−1=34-1=3 個獨立未知數。

本圖共有六個觀測量：

  • L1L_1：方向 AA 至 BB
  • L2L_2：方向 BB 至 CC
  • L3L_3：方向 CC 至 DD
  • L4L_4：方向 AA 至 CC
  • L5L_5：方向 BB 至 DD
  • L6L_6：方向 AA 至 DD

多餘觀測數

觀測數為

n=6n=6

獨立未知方向數為

u=4−1=3u=4-1=3

因此多餘觀測數為

r=n−u=6−3=3r=n-u=6-3=3

也可由角度閉合關係理解：六個方向間夾角中，只要知道相鄰的 L1、L2、L3L_1、L_2、L_3，其餘三個角即可由其相加得到，因此有三個獨立的多餘觀測。

觀測方程式

令 viv_i 為第 ii 個觀測量的改正數，則各觀測方程式為：

αB−αA=L1+v1\alpha_B-\alpha_A=L_1+v_1 αC−αB=L2+v2\alpha_C-\alpha_B=L_2+v_2 αD−αC=L3+v3\alpha_D-\alpha_C=L_3+v_3 αC−αA=L4+v4\alpha_C-\alpha_A=L_4+v_4 αD−αB=L5+v5\alpha_D-\alpha_B=L_5+v_5 αD−αA=L6+v6\alpha_D-\alpha_A=L_6+v_6

將方向值關係展開，可得：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

請計算下圖水準網之自由度（假設高程差觀測測線如圖中所示），並列式說明如何計算出 AA、BB 兩點之高程值。

【圖示】水準網包含已知高程點 H0H_0，以及待求高程點 HAH_A、HBH_B、HCH_C、HDH_D、HEH_E；高程差觀測測線如圖中所示。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

水準網中，每一條高程差測線提供一個觀測方程。水準網自由度為

f=n−uf=n-u

其中：

  • nn：高程差觀測數
  • uu：未知點高程數

已知點 H0H_0 的高程固定，因此未知點為 HA,HB,HC,HD,HEH_A,H_B,H_C,H_D,H_E，共 55 個。

依圖中測線，觀測邊可列為：

H0A, AB, BC, CD, DH0, AC, AHE, HED, H0HE, HECH_0A,\ AB,\ BC,\ CD,\ DH_0,\ AC,\ AH_E,\ H_E D,\ H_0H_E,\ H_EC

故高程差觀測數為

n=10n=10

未知數為

u=5u=5

因此水準網自由度為

f=n−u=10−5=5f=n-u=10-5=\boxed{5}

亦可由網形公式驗算：

f=e−v+1=10−6+1=5f=e-v+1=10-6+1=5

其中 e=10e=10 為測線數，v=6v=6 為點數，+1+1 表示網形為單一連通網。

解題方法

令未知高程向量為

x=[HAHBHCHDHE]T\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} H_A&H_B&H_C&H_D&H_E \end{bmatrix}^{T}

假設各觀測高程差方向依下列方式定義：

l0A=HA−H0+v0AlAB=HB−HA+vABlBC=HC−HB+vBClCD=HD−HC+vCDlD0=H0−HD+vD0lAC=HC−HA+vAClAE=HE−HA+vAElED=HD−HE+vEDl0E=HE−H0+v0ElEC=HC−HE+vEC\begin{aligned} l_{0A}&=H_A-H_0+v_{0A}\\ l_{AB}&=H_B-H_A+v_{AB}\\ l_{BC}&=H_C-H_B+v_{BC}\\ l_{CD}&=H_D-H_C+v_{CD}\\ l_{D0}&=H_0-H_D+v_{D0}\\ l_{AC}&=H_C-H_A+v_{AC}\\ l_{AE}&=H_E-H_A+v_{AE}\\ l_{ED}&=H_D-H_E+v_{ED}\\ l_{0E}&=H_E-H_0+v_{0E}\\ l_{EC}&=H_C-H_E+v_{EC} \end{aligned}

整理為矩陣形式：

l−b=Ax+v\boldsymbol{l}-\boldsymbol{b} = A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}

其中

b=[H0000H0000H00]\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} H_0\\0\\0\\0\\H_0\\0\\0\\0\\H_0\\0 \end{bmatrix}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

請由線性化觀測方程式出發，推導間接觀測平差未知參數之估計公式，需列出完整推導過程與假設條件。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

間接觀測平差是以未知參數表示觀測量，透過最小平方法，求得使觀測殘差加權平方和最小的參數改正數。本題須從線性化觀測方程式出發，建立法方程式並推導未知參數估計公式。

設有 nn 個觀測量、uu 個未知參數，且 n≥un\geq u。令：

  • l\boldsymbol{l}：觀測值向量；
  • x\boldsymbol{x}：未知參數向量；
  • x0\boldsymbol{x}_0：未知參數近似值；
  • Δx=x−x0\boldsymbol{\Delta x}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0：參數改正數；
  • v\boldsymbol{v}：觀測殘差向量；
  • P\boldsymbol{P}：觀測權矩陣。

原觀測模型可寫成 l+v=f(x)\boldsymbol{l}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})。在近似值 x0\boldsymbol{x}_0 處作一階泰勒展開，忽略二階以上項，得到線性化觀測方程式：

l+v≈f(x0)+AΔx,\boldsymbol{l}+\boldsymbol{v} \approx \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + \boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x},

其中設

w=f(x0)−l,A=∂f∂x∣x0,\boldsymbol{w} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-\boldsymbol{l}, \qquad \boldsymbol{A} = \left. \frac{\partial\boldsymbol{f}}{\partial\boldsymbol{x}} \right|_{\boldsymbol{x}_0},

則可整理為

v=AΔx+w.\boldsymbol{v} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x} + \boldsymbol{w}.

A\boldsymbol{A} 為設計矩陣，w\boldsymbol{w} 為閉合差向量。若觀測模型原本就是線性的，以上方程式不需泰勒近似，且 A\boldsymbol{A} 為常數矩陣。

解題方法與完整推導

最小平方法要求殘差的加權平方和最小。定義目標函數

Φ=vTPv.\Phi = \boldsymbol{v}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{v}.

將 v=AΔx+w\boldsymbol{v}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w} 代入：

Φ=(AΔx+w)TP(AΔx+w).\Phi = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w})^{T} \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w}).

對 Δx\boldsymbol{\Delta x} 微分並令一階導數為零。若 P\boldsymbol{P} 對稱，則

∂Φ∂Δx=2ATP(AΔx+w)=0.\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{\Delta x}} = 2\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Delta x}+\boldsymbol{w}) = \boldsymbol{0}.

因此得到法方程式：

ATPA Δx^=−ATPw.\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\, \widehat{\boldsymbol{\Delta x}} = -\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{w}.

令法矩陣 N=ATPA\boldsymbol{N}=\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}，且右端向量 b=−ATPw\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{w}。當 N\boldsymbol{N} 可逆時，參數改正數的估計值為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題