108 地方特考五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考貝氏定理：已知零件故障後，求它來自乙供應商的條件機率。設 $A$ 表示零件來自甲、$B$ 表示零件來自乙，$F$ 表示零件故障。

題目給定：

• $P(A)=0.65$，$P(B)=0.35$
• 甲供應商正常率為 $0.98$，所以故障率 $P(F\mid A)=1-0.98=0.02$
• 乙供應商故障率 $P(F\mid B)=0.05$

解題方法

所求為 $P(B\mid F)$。依貝氏定理：

分子是「乙供應商且故障」的機率：

分母是所有零件故障的機率：

因此：

核心觀念

本題考柴比雪夫定理：對平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$ 的資料，不論分布形狀，只要 $k>1$，落在平均數上下 $k$ 個標準差內的機率至少為

因此，定理給的是「至少」的下界，並不表示實際機率恰好等於此值。

解題方法

已知 $\mu=50$、$\sigma=5$。先將各區間半寬換算成標準差倍數 $k$，再套用柴比雪夫定理：

• $30$ 至 $70$：半寬 $20=4\sigma$，故機率至少 $1-\frac{1}{4^2}=93.75\%$。
• $35$ 至 $65$：半寬 $15=3\sigma$，故機率至少 $1-\frac{1}{3^2}=88.89\%$。
• $40$ 至 $60$：半寬 $10=2\sigma$，故機率至少 $1-\frac{1}{2^2}=75\%$。
• $45$ 至 $55$：半寬 $5=1\sigma$。柴比雪夫定理要求 $k>1$，不能由此定理取得該區間的非平凡下界；已知的通用上界也不是 $95\%$。

選項分析

核心觀念

本題考測量尺度的分類。常見尺度由弱至強分為名目尺度、順序尺度、區間尺度與比例尺度。比例尺度具有等距單位，且有非任意的絕對零點，因此可以比較倍數，例如「薪資收入是另一筆收入的兩倍」。

解題方法

判斷關鍵是看數值是否代表實際數量，以及零是否表示該數量不存在。若尺度有絕對零點，且倍數比較有意義，即屬比例尺度。

選項分析

• (A) 性別：錯誤。 性別是用來區分類別的標記，數值或名稱不表示大小或距離，屬於名目尺度。
• **(B) 身分證字號：錯誤。

核心觀念

本題考查統計量對極端值（最大值或最小值）的敏感程度。平均值、變異數、標準差、全距及相關係數等，會受到資料中極端觀測值影響；眾數與中位數則較不易受極端值影響。

中位數是排序後位於中央的數值；眾數是資料中出現次數最多的數值。改變最大值或最小值，通常不會改變資料中央位置，也不會改變出現次數最多的數值，因此官方答案為眾數與中位數。

解題方法

辨認各統計量是否使用極端數值本身或其與其他數值的距離：

• 平均值會納入每筆資料，因此極端值改變時，平均值通常也會改變。
• 全距直接由最大值減最小值得出；變異數與標準差則衡量資料相對於平均數的離散程度，極端值改變時通常會受影響。
• 眾數與中位數主要反映資料的出現頻率與排序位置，對極端值較具穩健性。

選項分析

核心觀念

本題考「型 I 誤差」、「型 II 誤差」與「檢定力」的定義及關係。設虛無假設為 $H_0$，則：

• 型 I 誤差的機率為 $\alpha$：$H_0$ 為真，卻錯誤地拒絕 $H_0$。
• 型 II 誤差的機率為 $\beta$：$H_0$ 為假，卻未拒絕 $H_0$。
• 檢定力（power）為 $1-\beta$：$H_0$ 為假時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。

解題方法

直接對照選項與定義。檢定力與型 II 誤差的關係是：

因此，型 II 誤差 $\beta$ 增加時，檢定力會降低；型 II 誤差減少時，檢定力會提高。這是互補關係，並非一般所稱的「成反比」關係。

選項分析

• (A) 錯誤。 在其他條件固定時，若提高顯著水準 $\alpha$，拒絕 $H_0$ 的範圍通常擴大，型 I 誤差上升，而型 II 誤差通常下降，並非兩者都增加。

核心觀念

常態分布的經驗法則指出，約 95% 的資料會落在平均數左右 2 個標準差的範圍內，即

其中 $\mu$ 為平均數，$\sigma$ 為標準差。

解題方法

平均收入為 $\mu=64$ 萬元，而 95% 的收入介於 57 萬元至 71 萬元。此區間以 64 萬元為中心，兩端各距平均數：

依經驗法則，這段距離約為 $2\sigma$，因此

選項分析

核心觀念

機率質量函數（PMF）必須滿足兩項條件：各點機率非負，且所有可能取值的機率總和為 $1$。題目指出 $p(x)$ 與 $\frac{x+1}{4-x}$ 呈常數倍數關係，因此可設

其中 $c$ 是正規化常數。

解題方法

先計算各取值對應的函數值：

由機率總和為 $1$：

括號內通分得

所以 $c=\frac{6}{37}$。因此

核心觀念

令 $X$ 為託運行李的旅客人數。二項分配 $X\sim B(n,p)$ 的期望值與變異數為

本題給定 $E(X)=6$、$\operatorname{Var}(X)=2.4$，先由兩者求出二項分配的參數 $n$、$p$，再計算 $P(X=4)$。

解題方法

由期望值與變異數相除：

因此 $p=0.6$。再由 $np=6$ 得

所以 $X\sim B(10,0.6)$。二項分配的機率質量函數為

代入 $k=4$：

核心觀念

信賴區間的長度主要由「臨界值 × 標準誤」決定。以母體平均數的信賴區間為例，若母體標準差已知，信賴區間為

因此區間長度為

其中 $n$ 是樣本數，$\sigma$ 是母體標準差；變異數為 $\sigma^2$。

解題方法

在信賴水準固定時，臨界值 $z_{\alpha/2}$ 固定。當樣本數 $n$ 增加，標準誤 $\sigma/\sqrt{n}$ 會減小；當變異數減小，標準差 $\sigma$ 也會減小。兩者都會使區間長度 $L$ 縮短，因此信賴區間變短。

核心觀念

動差法是以樣本動差估計母體動差，再利用母體動差與參數之間的關係求出參數。使用前四階動差，提供四個動差條件，因此可估計由前四階動差決定的參數。

母體第 $r$ 階動差可寫為原點動差 $\mu'_r=E(X^r)$；中心動差則為 $\mu_r=E[(X-\mu)^r]$。常見的變異數、偏度與峰度，分別由第二、第三、第四階中心動差構成：

這些量可由前四階動差求得；但眾數、最大值與中位數一般不由前四階動差唯一決定。

解題方法

依選項檢視各統計量是否能由前四階動差表示：

• 變異數由第二階中心動差決定。
• 偏度使用第二、第三階中心動差。
• 峰度使用第二、第四階中心動差。

核心觀念

本題考統計估計量的偏誤、一致性、充分統計量與估計效率。

• 偏誤：估計量 $S(X)$ 的偏誤為 $\operatorname{Bias}(S)=E_\theta[S(X)]-\theta.$
• 一致性：樣本數 $n$ 增加時，估計量依機率收斂至真值，即對任意 $\varepsilon>0$， $P_\theta\bigl(|S_n-\theta|>\varepsilon\bigr)\to 0.$
• 充分統計量：若統計量包含樣本中與參數 $\theta$ 有關的全部資訊，則稱其對 $\theta$ 充分。
• 最小充分統計量：在充分統計量中，能以最精簡的方式保留關於 $\theta$ 的資訊者。它與其他充分統計量的關係，不是比較數值大小。

解題方法

逐一核對選項中的定義。A、B、D 分別描述偏誤、一致性與效率的常見概念；C 把「最小充分」說成統計量數值大小的比較，與其定義不符，因此為錯誤選項。

選項分析

(A) 正確。 偏誤是估計量的期望值與參數真值之差： $\operatorname{Bias}(S)=E_\theta[S(X)]-\theta.$

核心觀念

本題考驗假設檢定中型 I 誤差的定義：當虛無假設 $H_0$ 為真，卻錯誤地拒絕 $H_0$，就是型 I 誤差。

本題的虛無假設為 $H_0:\mu\leq 3{,}000$，對立假設為 $H_a:\mu>3{,}000$。因此，拒絕 $H_0$ 代表判定平均消費金額超過 $3{,}000$ 元；未拒絕 $H_0$ 則代表沒有足夠證據判定平均消費金額超過 $3{,}000$ 元。

解題方法

先看型 I 誤差的兩個條件：

1. $H_0$ 為真，也就是實際母體平均消費金額 $\mu\leq 3{,}000$ 元。
2. 檢定卻拒絕 $H_0$，判定平均消費金額 $\mu>3{,}000$ 元。

因此，型 I 誤差就是「實際平均消費金額沒有超過 $3{,}000$ 元，檢定結果卻判定超過 $3{,}000$ 元」。

選項分析

核心觀念

比較兩個母體變異數，且假設兩組樣本來自常態母體、彼此獨立時，使用 $F$ 檢定。檢定統計量為兩個樣本變異數的比值：

其中 $S_1^2$、$S_2^2$ 分別是兩組的樣本變異數；自由度依序為 $n_1-1$ 與 $n_2-1$。

解題方法

題目給的是樣本標準差，須先平方轉成樣本變異數，再代入比值：

題目設定 $H_0:\sigma_1^2\leq\sigma_2^2$，對立假設為 $H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2$，因此以較大車齡組的樣本變異數除以較小車齡組的樣本變異數，進行右尾 $F$ 檢定。

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA）。三種溫度是三個處理組，因此處理自由度為組數減一；誤差自由度為總觀測數減組數：

各均方是平方和除以對應自由度，檢定統計量為：

解題方法

共有 $k=3$ 種溫度，每種溫度各有 $5$ 筆觀測，所以總觀測數 $N=15$。因此：

代入題目給定的平方和：

核心觀念

隨機化區集設計是將實驗單位依區集分類，並在每個區集內比較所有處理。此題的檢定目標是比較 3 個處理的平均效果，因此使用「處理間均方」除以「誤差均方」形成 $F$ 統計量。

若有 $t$ 個處理、$b$ 個區集，且每個處理在每個區集各觀測一次，則處理效果檢定的自由度為：

• 分子自由度：處理自由度 $t-1$
• 分母自由度：誤差自由度 $(t-1)(b-1)$

解題方法

本題 $t=3$、$b=6$。因此：

所以處理效果檢定所用的 $F$ 分配自由度為 $(2,10)$，第一個數是分子自由度，第二個數是分母自由度。

選項分析

核心觀念

簡單線性迴歸中，決定係數為

其中 $SST=SSR+SSE$。在含截距項的簡單線性迴歸中，決定係數也等於樣本相關係數的平方：

因此，相關係數的大小可由 $R^2$ 開平方求得；正負號則由迴歸斜率判定。

解題方法

題目給定 $SST=15730$、$SSE=1530$，先計算決定係數：

故相關係數的絕對值為

核心觀念

簡單線性迴歸的變異數分析表中，迴歸自由度為 $1$，殘差自由度為 $n-2$，總自由度為 $n-1$，其中 $n$ 是觀察資料筆數。平方和關係為：

均方等於平方和除以自由度，因此誤差均方為：

解題方法

由殘差自由度 $7=n-2$，得 $n=9$，所以總自由度為：

誤差平方和為：

誤差均方為：

因此總自由度為 $8$，誤差均方為 $1485.3$，符合選項 (D)。

選項分析

核心觀念

本題考查線性模型 $y_i=\mu+e_i$ 的期望值、變異數與共變數，以及最小平方估計量。已知各誤差項兩兩獨立、$E(e_i)=0$、$\operatorname{Var}(e_i)=\sigma^2$。

解題方法

由 $y_i=\mu+e_i$，常數 $\mu$ 不影響變異數；不同觀測值的共變數則由誤差項之間的共變數決定：

對最小平方估計量，令平方誤差和為

對 $\mu$ 微分並令其為零：

且 $\frac{d^2S}{d\mu^2}=2n>0$，故 $\bar y$ 是使平方誤差和最小的 $\mu$ 估計值。

選項分析

(A) 正確。 因為

核心觀念

本題考二維列聯表的邊際合計與獨立性檢定自由度。表格中的「總和」是各列或各欄的合計；若以 $r$ 列、$c$ 欄進行獨立性檢定，自由度為

解題方法

依題目表格，只有一次婚姻的人數為該欄合計：

全體人數為 $611+825=1436$。因此可直接核對各選項的總數、自由度與比例。

選項分析

• (A) 正確。 只有一次婚姻的人數為 $550+681=1231$ 人，與表中總和一致。
• **(B) 錯誤。

核心觀念

本題考查卡方適合度檢定的檢定統計量。對 $k$ 個類別，第 $i$ 類的觀察次數為 $f_i$，在虛無假設下的期望次數為 $e_i$。卡方統計量將各類別觀察次數與期望次數的差異平方後，依期望次數加權，再加總：

差異平方可避免正負偏差互相抵銷；除以 $e_i$ 則衡量偏差相對於該類別期望次數的大小。

解題方法

辨認題目中的「觀察次數 $f_i$」與「期望次數 $e_i$」，直接套用卡方適合度檢定統計量。每一類別的貢獻為 $(f_i-e_i)^2/e_i$，再將 $k$ 個類別的貢獻相加，因此符合選項（B）。

選項分析

核心觀念

最大概似估計（MLE）是選擇參數值，使觀察到的樣本資料之概似函數最大。若 $X_1,\ldots,X_n$ 相互獨立，概似函數為各觀察值機率質量函數或密度函數的乘積：

求解時通常取對數，得到對數概似函數，再對參數微分、令導數為 $0$，並確認所得解使概似函數達到最大值。

解題方法

逐一依照題目給定的分配與參數化方式建立概似函數，求出 MLE，再和各選項的估計式比較。須特別注意二項分配中每個 $X_i$ 有 $n$ 次試驗，因此全部觀察值的總試驗次數是 $n^2$，不是 $n$。

選項分析

(A) 正確。 若 $X_i\sim\operatorname{Poi}(\lambda)$，概似函數為

取對數後，

對 $\lambda$ 微分並令其為 $0$：

因此 (A) 的估計式正確。

(B) 正確。 若 $X_i\sim N(\mu,1)$，概似函數正比於

其對數概似函數對 $\mu$ 微分並令其為 $0$：

因此 (B) 的估計式正確。

核心觀念

本題考「中央極限定理」：若母體具有有限的平均數 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$，且樣本為獨立同分布，當樣本數 $n$ 夠大時，樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分布會近似常態分布：

因此，樣本平均數的平均數為 $\mu$，標準誤為 $\sigma/\sqrt{n}$。母體本身不必服從常態分布；樣本數夠大時，樣本平均數仍可近似以常態分布描述。

解題方法

題目問樣本數夠多時「樣本平均數的分布」適合用何種分布描述，關鍵在於辨認這是中央極限定理的適用情境。依中央極限定理，樣本平均數的分布隨樣本數增加而趨近常態分布，因此選擇常態分布。

核心觀念

本題考「獨立事件」的定義，以及事件聯集的加法公式。若 $A$、$B$ 獨立，則

而任意兩事件的聯集機率為

解題方法

將獨立事件的交集公式代入聯集公式：

這正是選項（D）的敘述，因此（D）正確。

選項分析

• （A）錯誤。 獨立表示 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，交集機率不必為 $0$。例如 $P(A)=0.4$、$P(B)=0.5$ 時，$P(A\cap B)=0.2$。
• （B）錯誤。 獨立不代表兩事件的機率相加等於 $1$。

核心觀念

本題考四種衡量尺度：名目、順序、區間與比率尺度。判斷時要看數值代表的意義：是分類、排序、具有相等間距，還是另有真正的零點。

解題方法

題目將顧客對五種品牌的喜好程度由 1 到 5 排列。數字表示喜好次序，例如第 1 名比第 2 名更受喜愛；但相鄰名次之間的喜好差距不一定相等，也沒有表示「完全沒有喜好」的真正零點。因此屬於順序尺度。

選項分析

核心觀念

華氏與攝氏的換算是線性轉換：

對資料中的每一個觀測值都套用此公式時，平均數會依照完整轉換式改變；標準差則只受乘數 $\frac{9}{5}$ 影響，常數 $32$ 不會改變資料彼此之間的離散程度。一般而言，若 $Y=aX+b$，則：

解題方法

已知攝氏平均氣溫 $\bar{x}=26$ 度、標準差 $s_x=5$ 度。

先換算平均氣溫：

再換算標準差。由於加上 $32$ 只會讓所有溫度整體平移，不會改變觀測值間的差距；乘以 $\frac{9}{5}$ 則會使差距擴大為原來的 $\frac{9}{5}$ 倍：

核心觀念

本題考「敘述統計」與「統計推論」的區別：

• 敘述統計：整理、呈現或摘要已觀察到的資料。
• 統計推論：利用樣本資料，推論母體的特徵。

母體是該校全部學生；樣本是抽出的 400 位學生。

解題方法

抽樣結果顯示，400 位學生中有 80 位主修商科，因此樣本比例為

學校把樣本中觀察到的 20%，推論為全校學生的比例。這是從樣本推論母體，屬於統計推論。

選項分析

• (A) 是在說明普查的結果：錯誤。 普查是調查母體中的所有學生。本題只抽樣 400 位，並未調查全校每一位學生。

核心觀念

本題考母體標準差已知時，母體平均數的 95% 信賴區間。母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數 $n=81$，因此使用標準常態分配的臨界值 $z_{0.025}=1.96$。

母體平均數 $\mu$ 的信賴區間公式為：

其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 是樣本平均數的標準誤。

解題方法

題目給定 $\bar{x}=1{,}858$ KWH、$\sigma=450$ KWH、$n=81$。先計算標準誤：

95% 信賴區間的誤差範圍為：

因此信賴區間是：

核心觀念

本題考驗「單一母體比例的假設檢定」，重點是先確認要檢定的母體比例與研究主張，再決定虛無假設與對立假設的方向。

令 $p$ 表示已接種疫苗、且已得流感的嬰兒中，兩天內痊癒的母體比例。題目提供未接種疫苗者的兩天內痊癒率為 $0.2$，因此檢定基準是 $p=0.2$。

解題方法

「疫苗有效」在本題的操作性意義，是接種疫苗者兩天內痊癒的比例高於未接種者的 $20\%$，也就是研究主張為 $p>0.2$。

假設檢定將研究主張放在對立假設，並以包含等號的基準狀態作為虛無假設，因此：

樣本中有 $33$ 人在兩天內痊癒，故樣本比例為 $\hat p=33/120=0.275$。這個樣本比例可供後續檢定使用，但設定假設時，應依研究主張與未接種者的基準率 $0.2$ 決定，而不是用樣本比例設定假設。

選項分析

核心觀念

本題考多元迴歸模型的係數解讀、複判定係數，以及整體迴歸模型顯著性的 $F$ 檢定。

模型為

其中 $Y$ 以千元為單位，$X_1$ 是年齡，$X_2$ 為性別指標（男性 $0$、女性 $1$）。因此，迴歸係數表示在其他變數固定時，該變數改變一單位對預測年收入的影響。

整體模型顯著性檢定使用

其中 $n=30$ 為樣本數，$k=2$ 為解釋變數個數，且 $SSR=SST-SSE$。

解題方法

先由迴歸式解讀係數，再由 $SST$、$SSE$ 求複判定係數與整體 $F$ 統計量。

複判定係數為

整體模型的自由度為：迴歸自由度 $k=2$，誤差自由度 $n-k-1=30-2-1=27$。因此

核心觀念

本題考驗列聯表的獨立性檢定，以及「期望人數」的計算。在假設年齡與飲料偏好彼此獨立時，某一格的期望人數為：

解題方法

要計算「成人偏好咖啡」的期望人數：

• 咖啡這一列的合計為 $250$
• 成人這一欄的合計為 $600$
• 總人數為 $1{,}000$

代入公式：

因此，成人偏好咖啡的期望人數為 $150$ 人。

核心觀念

本題使用列聯表的 卡方獨立性檢定，檢驗「年齡（青少年、成人）」與「飲料偏好」是否相互獨立。

虛無假設為兩者獨立，也就是青少年與成人的飲料偏好分布相同；對立假設為兩者不獨立，也就是偏好分布有差異。各格在虛無假設下的期望次數為：

檢定統計量與自由度分別為：

解題方法

先依列總計、欄總計計算各格期望次數。青少年與成人的欄總計分別為 $400$、$600$，總樣本數為 $1000$：

將觀察次數 $O$ 與期望次數 $E$ 代入卡方統計量：

核心觀念

本題考查自我迴歸模型 AR(3) 的多期預測。AR(3) 表示本期數值由前三期數值及常數項線性組成：

預測下一年時，代入已知的前三年資料；預測再下一年時，則以第一年預測值替代尚未觀察到的數值，逐期遞迴計算。

解題方法

已知 $x_{2016}=867$、$x_{2017}=923$、$x_{2018}=951$。題目要求 2020 年銷售量，因此須先估計 2019 年，再用 2019 年的預測值估計 2020 年。