114 地方特考離島三等 經建行政類科 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查卜瓦松分配的機率計算，以及觀察時間長度改變時，平均發生次數也須按比例調整。

若某事件在固定時間內的發生次數 $X$ 服從平均數為 $\lambda$ 的卜瓦松分配，則

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots$$

題目給定每星期平均發生 $2$ 次，因此觀察 $t$ 週時，平均發生次數為 $\lambda=2t$。

解題方法

（一）12 月第一個星期內發生 2 次及 2 次以上

觀察期間為 1 週，故 $\lambda=2\times 1=2$。所求為 $P(X\geq 2)$，利用補事件計算：

核心觀念

本題考查二項分配、二項分配的常態近似，以及負二項分配。

令每位青少年「近視」為一次成功，則成功機率為 $p=0.872$，未近視機率為 $q=1-p=0.128$。在抽樣獨立的二項分配模型下，抽取 $n$ 人時，近視人數服從 $B(n,p)$。由於全國青少年母體遠大於樣本，將抽樣視為近似獨立是常用建模方式。

（一）抽取 8 人的機率分配函數

8 人中每人是否近視可視為一次成功機率為 $0.872$ 的伯努利試驗，因此

$$X\sim B(8,0.872).$$

其機率質量函數為

$$P(X=x)=\binom{8}{x}(0.872)^x(0.128)^{8-x}, \qquad x=0,1,\ldots,8.$$

其中 $\binom{8}{x}$ 表示 8 人中恰有 $x$ 人近視的組合數。

（二）計算 $P(X>2)$

「超過 2 人」即 3 人以上，可用補事件計算：

$$P(X>2)=1-P(X\leq 2) =1-\sum_{x=0}^{2}\binom{8}{x}(0.872)^x(0.128)^{8-x}.$$

逐項代入：

$$\begin{aligned} P(X>2) &=1-\left[ (0.128)^8 +8(0.872)(0.128)^7 +\binom{8}{2}(0.872)^2(0.128)^6 \right] \\ &\approx 1-0.0000977 \\ &\approx 0.9999023. \end{aligned}$$

因此，抽到至少 3 位近視者的機率約為 $0.9999$。

（三）抽取 1000 人，剛好 880 人近視的常態近似

令 $X$ 為 1000 人中的近視人數，則

$$X\sim B(1000,0.872).$$

二項分配的平均數與變異數為

$$\mu=np=1000(0.872)=872, \qquad \sigma^2=npq=1000(0.872)(0.128)=111.616,$$

故

$$\sigma=\sqrt{111.616}\approx 10.565.$$

以常態分配近似二項分配時，因為要計算離散事件「剛好 880 人」，需使用連續性修正：

核心觀念

本題考驗單一母體比例的區間估計、單一比例的左尾檢定，以及多項分配適合度檢定。令 $p_i$ 表示臺北市第 $i$ 類姓氏的母體比例；全國比例視為檢定時給定的基準值。樣本數為 $n=2694$，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

（一）陳姓母體比例的 99% 區間估計

樣本中陳姓人數為 $x=304$，故樣本比例為

$$\hat p=\frac{304}{2694}=0.11284,\qquad 1-\hat p=0.88716.$$

以常態近似建構單一母體比例的雙尾信賴區間：

$$\hat p\pm z_{0.995}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, \qquad z_{0.995}=2.576.$$

標準誤為

$$\sqrt{\frac{0.11284(0.88716)}{2694}}=0.00610.$$

因此誤差界限為 $2.576(0.00610)=0.01572$，99% 信賴區間為

$$0.11284\pm 0.01572=(0.09712,\ 0.12856).$$

換算為百分比，臺北市陳姓母體比例的 99% 信賴區間約為 9.71% 至 12.86%。

（二）黃姓母體比例是否小於全國比例

臺北市黃姓樣本比例為

$$\hat p=\frac{143}{2694}=0.05308.$$

全國黃姓比例為 $p_0=0.06$。設定假設：

$$H_0:p=0.06,\qquad H_1:p<0.06.$$

這是單一母體比例的左尾檢定。虛無假設下的標準誤為

$$SE_0=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} =\sqrt{\frac{0.06(0.94)}{2694}} =0.00458.$$

檢定統計量為

$$z=\frac{\hat p-p_0}{SE_0} =\frac{0.05308-0.06}{0.00458} \approx -1.51.$$

左尾臨界值為 $z_{0.05}=-1.645$。因為 $-1.51>-1.645$，未落入拒絕域；等價地，$p$ 值約為 $0.065$，大於 $0.05$。

**結論：**在顯著水準 $0.05$ 下，沒有足夠證據認定臺北市黃姓母體比例小於全國的 $6\%$。

（三）臺北市各姓氏比例是否與全國一致

核心觀念

本題要比較四種辦理流程的母體平均完成時間，且各流程有一組獨立樣本，因此使用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

令 $\mu_A,\mu_B,\mu_C,\mu_D$ 分別為四種流程的母體平均完成時間，檢定假設為

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$$ $$H_1:\text{至少有一種流程的母體平均完成時間不同}$$

單因子 ANOVA 將總變異分解為「流程間變異」與「流程內變異」，並以

$$F=\frac{MS_{\text{流程間}}}{MS_{\text{流程內}}}$$

作為檢定統計量。若流程間變異相對於流程內變異夠大，$F$ 值會偏大，便有證據反對各流程平均數相等。

解題方法與計算

四組樣本數均為 $n_i=6$，總樣本數為 $N=24$。各組平均數為

$$\bar{x}_A=132.0,\quad \bar{x}_B=141.5,\quad \bar{x}_C=149.0,\quad \bar{x}_D=151.5$$

總平均數為

$$\bar{x}_{..} =\frac{132.0+141.5+149.0+151.5}{4} =143.5$$

1. 計算流程間平方和

$$SS_{\text{流程間}} =\sum_{i=1}^{4}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2$$

代入各組平均數：

$$\begin{aligned} SS_{\text{流程間}} &=6\left[(132-143.5)^2+(141.5-143.5)^2\right.\\ &\qquad\left.+(149-143.5)^2+(151.5-143.5)^2\right]\\ &=6(132.25+4+30.25+64)\\ &=1383 \end{aligned}$$

流程間自由度為 $k-1=4-1=3$，因此

$$MS_{\text{流程間}}=\frac{1383}{3}=461$$

2. 計算流程內平方和

各組表列標準差視為樣本標準差，流程內平方和為

$$SS_{\text{流程內}} =\sum_{i=1}^{4}(n_i-1)s_i^2$$