113 地方特考離島四等 測量製圖 誤差理論概要 考古題詳解

**核心觀念：**精密度描述觀測值彼此的一致程度；準確度描述觀測結果接近真值的程度。精密度高，不代表準確度一定高。

**解題方法：**比較一組觀測值的分散情形與其相對於真值的位置。觀測值聚集得越緊密，精密度越高；觀測結果越接近真值，準確度越高。

例如，同一距離的真值為 $100.00\,\mathrm{m}$：

• 觀測值為 $100.20、100.21、100.20\,\mathrm{m}$：彼此很接近，精密度高，但整體偏離真值，準確度較低。
• 觀測值分散在 $99.8$ 至 $100.2\,\mathrm{m}$，平均值接近 $100.00\,\mathrm{m}$：平均結果準確度高，但單次觀測精密度較低。

**解題技巧：**記住「精密度看分散，準確度看偏差」。若觀測值受固定系統誤差影響，仍可能彼此接近而精密度高，卻整體偏離真值。

（二）多餘觀測（redundancy）

**核心觀念：**多餘觀測是指超出解算未知數所需最低觀測數的額外觀測。額外觀測可用來檢核觀測資料、提高成果可靠度，並估計觀測誤差。

**解題方法：**設觀測方程可解的獨立未知數有 $u$ 個，獨立觀測數為 $n$，則多餘觀測數（自由度）為

以平差常見的線性模型 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{l}$ 為例，若設計矩陣 $A$ 的秩為 $u$，則 $r=n-\operatorname{rank}(A)$。當 $r=0$ 時，沒有多餘觀測，無法由觀測間的矛盾充分檢核模型；當 $r>0$ 時，可利用觀測殘差進行精度估計及粗差檢查。

**解題技巧：**多餘觀測的數量不是單純「觀測數減未知數」即可一概而論；若觀測方程彼此不獨立，應以矩陣的秩計算可解的獨立未知數。

（三）絕對誤差（absolute error）與相對誤差（relative error）

**核心觀念：**絕對誤差表示觀測值與真值之間的差；相對誤差則以絕對誤差相對於被測量值的比例表示。

**解題方法：**設觀測值為 $x$、真值為 $X$，則誤差為

絕對誤差常指誤差的大小，即 $|e|=|x-X|$，具有與被測量相同的單位。相對誤差通常定義為

也可依題目或測量慣例以觀測值或估計值作為分母，並常以百分比或比例表示。誤差的正負可用來表示偏差方向；「絕對誤差」若採上述大小定義，則不帶正負號。

例如，量得距離 $100\,\mathrm{m}$，絕對誤差為 $0.01\,\mathrm{m}$，相對誤差約為 $0.01/100=1/10{,}000$。

核心觀念

半徑測量值為 $r=15.38\ \mathrm{m}$，其中誤差為 $m_r=0.03\ \mathrm{m}$。本題以誤差傳播定律，將半徑的中誤差傳遞至圓周長與面積。

若函數 $y=f(r)$，且 $r$ 的中誤差為 $m_r$，一階誤差傳播公式為

解題方法

（一）圓周長 $L$ 的最或是值及其中誤差

圓周長公式為 $L=2\pi r$。代入半徑最或是值：

對 $r$ 微分，得到

因此，圓周長的最或是值及其中誤差為 $96.6327\pm0.1885\ \mathrm{m}$。

（二）面積 $A$ 的最或是值及其中誤差

圓面積公式為 $A=\pi r^2$。代入半徑最或是值：

核心觀念

本題考線性函數的變方－協變方傳播。令觀測向量為

若兩個線性函數寫成 $X=\mathbf a^T\mathbf S+c_X$、$Y=\mathbf b^T\mathbf S+c_Y$，則

常數項只平移函數值，不影響變方或協變方。本題因此取

解題方法

先計算 $D_S\mathbf a$ 與 $D_S\mathbf b$，再分別與係數向量作內積：

因此

再計算 $Y$ 的變方：

核心觀念

本題考查水準網的間接觀測平差矩陣法。由於 $A$、$B$ 均為已知高程點，且各自對 $C$ 進行水準測量，可分別得到 $C$ 點高程：

兩條水準路線測得結果不完全相同，須依水準路線長度 $L$ 配置權，通常水準測量之方差與路線長度成正比，因此：

路線越短，權越大。

解題方法

1. 依箭頭方向建立觀測高程

圖中箭頭方向為 $A\to C$ 及 $B\to C$，所以觀測高程差均為終點高程減起點高程：

將已知高程加入觀測高程差，可得兩個對 $H_c$ 的間接觀測值：

因此觀測方程式為：

矩陣形式為：

其中：

2. 建立權矩陣

因為權與路線長度成反比：

比例常數不影響平差結果，因此可直接使用上述權矩陣。

3. 套用間接觀測平差公式

未知高程之最小二乘解為：

先計算：