111 捷運招考北捷新進人員 技術員(土木維修類-一般類組) 一般類組 B02技術員(土木維修類)-土木工程學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面梁的「結構穩定性」與「靜定性」判斷。

圖中梁由三個滾動支承支撐。每個滾動支承只能提供垂直方向反力，因此三個支承反力均為彼此平行的垂直力：

$R_A,\ R_B,\ R_C$

平面結構要穩定，支承必須能限制剛體的水平、垂直平移及轉動。若所有支承反力線彼此平行，便無法抵抗水平方向的外力，結構會產生剛體水平位移，屬於不穩定結構。

解題方法

將梁視為平面剛體，檢查支承能否提供三個必要的約束：

1. 垂直方向：三個滾動支承均可提供垂直反力。
2. 水平方向：沒有任何支承可提供水平反力。
3. 轉動：垂直反力的作用線雖可對轉動形成抗力矩，但無法補足水平方向的約束。

整體平衡式為：

$\sum F_x=0$

$\sum F_y=0$

$\sum M=0$

由於三個未知反力全為垂直分量，$\sum F_x=0$ 並不能提供有效的反力平衡條件；梁仍可沿水平方向自由移動。因此，結構首先已經不穩定，不能判定為穩定的靜定或靜不定結構。

選項分析

• (A) 不穩定：正確

核心觀念

本題考查桁架節點法與二力桿件軸力判定。

桁架各桿件均視為二力桿件，桿件軸力沿桿件中心線作用。取節點 $E$ 分析時，節點 $E$ 僅連接桿件 $CE$、$DE$，並承受向下集中力 $8\text{ kN}$，因此可直接利用節點平衡求桿件 $CE$ 軸力。

由圖得：

• $CD=4\text{ m}$
• $DE=3\text{ m}$
• 因此桿件 $CE$ 為 $3$-$4$-$5$ 三角形，故 $\sin\theta=\frac{4}{5},\qquad \cos\theta=\frac{3}{5}$

解題方法

取節點 $E$ 作受力分析。假設桿件 $CE$ 為拉力，則桿件 $CE$ 對節點 $E$ 的作用力沿 $EC$ 方向，具有向左、向上的分力；桿件 $DE$ 為水平桿，僅提供水平方向分力。

對節點 $E$ 取鉛直方向平衡：

代入 $\sin\theta=\frac{4}{5}$：

計算結果為正，且方向符合原先假設，故桿件 $CE$ 為拉力。

因此：

選項分析

核心觀念

本題考查桁架節點法與桿件軸力判定：

• 節點均符合靜力平衡： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$
• 桿件受拉時為拉力（T），受壓時為壓力（C）。
• 由圖可知三角桿件 $BC$、$CE$ 的水平、垂直尺寸分別為 $3\text{ m}$、$4\text{ m}$，故桿長為 $5\text{ m}$，方向餘弦為： $\frac{3}{5},\qquad \frac{4}{5}$

解題方法

採用節點法，先由自由端節點 $E$ 求出 $CE$，再由節點 $D$ 求出 $CD$，最後在節點 $C$ 求 $BC$。

一、節點 $E$

節點 $E$ 受向下 $8\text{ kN}$ 外力，假設 $CE$ 為拉力，則其垂直分力為：

$\frac{4}{5}F_{CE}$

由垂直方向平衡：

$\frac{4}{5}F_{CE}-8=0$

因此：

$F_{CE}=10\text{ kN}$

所以 $CE$ 為拉力。

二、節點 $D$

由節點 $E$ 的水平方向平衡，可得 $DE$ 的水平軸力為：

$\frac{3}{5}F_{CE}=6\text{ kN}$

在節點 $D$，外力為向下 $12\text{ kN}$。由於 $BD$、$DE$ 均為水平桿件，垂直方向僅由 $CD$ 平衡，因此：

$F_{CD}-12=0$

$F_{CD}=12\text{ kN}$

故 $CD$ 為拉力，於節點 $C$ 對節點施加向下 $12\text{ kN}$ 的作用力。

三、節點 $C$ 求 $BC$

在節點 $C$：

• $CE=10\text{ kN}$ 為拉力，其垂直分力向下： $\frac{4}{5}(10)=8\text{ kN}$
• $CD=12\text{ kN}$ 為拉力，作用力向下。
• 設 $BC$ 為拉力，則其垂直分力向下： $\frac{4}{5}F_{BC}$

由垂直方向平衡：

核心觀念

本題考查分布載重的合力。分布載重圖的合力大小，等於載重圖形的面積；其作用方向與載重方向相同。

圖中為長度 $6\text{ m}$ 的梯形分布載重，兩端載重強度分別為 $20\text{ N/m}$ 與 $40\text{ N/m}$。

解題方法

梯形分布載重的合力為梯形面積：

代入：

因此，外力的合力大小為 $180\text{ N}$，方向向下。

簡支梁的支承反力會影響梁的受力平衡與彎矩計算，但不影響外加分布載重合力的大小。

選項分析

• (A) $180\text{ N}$：正確。 由梯形載重圖面積計算，合力為

核心觀念

本題考查平面力系的合力分量。合力在水平 $x$ 方向的分量，等於所有力量之 $x$ 分量的代數和：

圖中兩個斜向力皆為 $10\text{ kN}$，其方向三角形為 $3$–$4$–$5$，因此水平分量比例為：

垂直向下的 $16\text{ kN}$ 力沒有水平分量。

解題方法

右上方的 $10\text{ kN}$ 力，其水平分量向右：

左上方的 $10\text{ kN}$ 力雖然方向向右下方，但其水平分量仍向右：

垂直向下的 $16\text{ kN}$ 力：

所以合力的水平分量為：

因此合力向 $x$ 軸正方向的分量為 $12\text{ kN}$。

選項分析

核心觀念

本題考查平面共點力系的合力，以及利用合力分量判斷其與 $x$ 軸的夾角。

合力分量為各力在 $x$、$y$ 方向分量的代數和：

合力與正 $x$ 軸的夾角可由：

判斷旋轉方向時，$R_y>0$ 表示逆時針，$R_y<0$ 表示順時針。

解題方法

圖中兩個斜向力皆為 $10\text{ kN}$，其方向三角形為 $3$-$4$-$5$，因此：

• 水平分量：$10\times\frac{3}{5}=6\text{ kN}$
• 垂直分量：$10\times\frac{4}{5}=8\text{ kN}$

左側斜力方向為右下方：

右側斜力方向為右上方：

另有一個向下的 $16\text{ kN}$ 垂直力：

因此合力分量為：

合力位於第四象限，與正 $x$ 軸的夾角為：

核心觀念

本題考查鋼板受軸向拉力時的平均正向應力：

其中：

• $\sigma$：正向應力
• $P$：軸向力
• $A$：垂直於受力方向的有效截面積

題目特別指出 $A$ 處「遠離開孔及集中力 $P$」，因此該處不受鉚釘孔削弱及孔洞附近應力集中影響，採用鋼板的完整毛截面積。

解題方法

鋼板寬度與厚度分別為：

$A$ 處的完整截面積為：

已知軸向力：

因此平均正向應力為：

因為：

所以：

選項分析

核心觀念

本題考查鉚釘的剪應力：

其中：

• $\tau$：鉚釘剪應力
• $V$：鉚釘所承受的剪力
• $A_s$：鉚釘受剪面積

因鋼板間無摩擦力，外力 $P$ 必須完全由鉚釘傳遞。由圖可判定鉚釘 $B$ 為單剪，因此只有一個剪切面。

解題方法

鉚釘直徑為 $d=20\text{ mm}$，其受剪面積為圓形截面：

代入 $\pi=3.14$：

鉚釘所受剪力：

因此：

又因為：

所以：

選項分析

核心觀念

本題考查靜定梁的支承反力與剪力圖。梁左端為支承點，距左支承 $2L$ 處有第二支承，右端外伸 $L$，右端承受集中力 $P$。

梁中任一截面的剪力，等於該截面左側所有垂直外力的代數和；梁中最大剪力取剪力絕對值的最大者。

解題方法

設左支承反力為 $R_A$，中間支承反力為 $R_B$。

由左支承點取力矩：

因此：

再由垂直方向力平衡：

負號表示左支承反力方向向下。

接著判斷各區段剪力：

1. 左支承至中間支承之間：

剪力大小為：

2. 中間支承至右端集中力之前：

剪力大小為：

核心觀念

本題考查：

1. 剛性梁受支點約束後，僅能繞固定點 $A$ 轉動。
2. 剛性梁轉動時，各點的垂直位移與其到轉動中心的水平距離成正比。
3. 鋼線的應變定義為

其中 $\Delta L$ 為鋼線伸長量，$L$ 為原始長度。

本題要求鋼線 $CE$ 的應變，只需使用 $C$ 點位移與鋼線 $CE$ 的原長，不必先求外力 $P$ 或鋼線 $BD$ 的內力。

解題方法

由圖可知：

• 鋼線 $CE$ 原長為 $4\text{ m}$
• $C$ 點向下位移為 $28\text{ mm}$
• 上端 $E$ 固定不動

因此，鋼線 $CE$ 的伸長量即為 $C$ 點的向下位移：

將鋼線長度換算為毫米：

鋼線 $CE$ 的應變為

所以正確選項為 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查剛性梁的幾何變形與鋼線應變：

其中：

• $\varepsilon$：鋼線應變
• $\Delta L$：鋼線伸長量
• $L$：鋼線原長

剛性梁 $AC$ 受力後繞鉸支承點 $A$ 轉動，因此梁上各點的垂直位移與其到 $A$ 點的距離成正比。

解題方法

由圖可知：

• $AB=3\text{ m}$
• $BC=2+2=4\text{ m}$
• $AC=7\text{ m}$
• 鋼線 $BD$ 長度為 $4\text{ m}$
• $C$ 點向下位移為 $28\text{ mm}$

因為剛性梁繞 $A$ 點轉動，$B$ 點位移依相似三角形求得：

因此：

$B$ 點向下位移會使鋼線 $BD$ 伸長 $12\text{ mm}$，故鋼線應變為：

將 $4\text{ m}$ 換算為 $4000\text{ mm}$：

核心觀念

本題考查軸向構件的靜力平衡，以及「截面軸力等於該截面一側所有外力的代數和」。

圖中鋼柱承受上方外力 $2P$，另有向下外力 $P$ 作用於鋼柱下方，因此：

• 鋼柱的軸力為上方荷載：$N_{\text{鋼}}=2P$
• 鋁柱承受鋼柱傳遞下來的總荷載：$N_{\text{鋁}}=2P+P=3P$

題目所給的面積與彈性模數，會影響軸向變形量，但不影響本題由靜力平衡決定的軸力。

解題方法

取鋼柱與鋁柱的接觸界面以下部分作受力分析：

鋼柱上方截面只需承受頂端的 $2P$：

因此鋼柱與鋁柱的軸力比為：

所以正確選項為 (A)。

選項分析

核心觀念

本題考查兩段軸向串聯構件的軸向變形。各段柱體的縮短量為

其中：

• $N$：該段構件所承受的軸力
• $L$：構件長度
• $A$：截面積
• $E$：彈性模數

兩段柱體串聯時，總縮短量等於各段縮短量之和：

解題方法

依圖示，鋼柱上端承受向下 $2P$，鋼、鋁柱交界處另有向下 $P$ 的外力。

因此：

• 鋼柱內力為 $2P$
• 鋁柱須承受上方鋼柱傳遞的 $2P$，以及交界處外加的 $P$

所以鋁柱內力為

鋼柱的截面積為 $A$、彈性模數為 $3E$；鋁柱的截面積為 $2A$、彈性模數為 $E$。

鋼柱縮短量：

鋁柱縮短量：

因此總縮短量為

選項分析

核心觀念

本題考查粗糙面與光滑面的接觸力，以及梯子即將滑動時的極限靜摩擦力。

• 地面 $A$ 點粗糙，具有正向力 $N_A$ 與摩擦力 $F_A$。
• 牆面 $B$ 點光滑，因此只有水平正向力 $N_B$，沒有摩擦力。
• 梯子處於滑動臨界狀態時：

梯子重量為：

解題方法

對梯子進行靜力平衡分析。

垂直方向平衡：

因此地面正向力必須平衡梯子重量：

滑動臨界狀態下，地面摩擦力達到最大值：

水平方向平衡時，$A$ 點摩擦力與 $B$ 點牆面正向力大小相等：

所以 $B$ 點之正向力為：

核心觀念

本題考查「梯子靜力平衡」與「極限靜摩擦」：

• 光滑牆面 $B$ 點只有水平正向力。
• 粗糙地面 $A$ 點有垂直正向力 $N_A$ 與水平摩擦力 $F_A$。
• 梯子即將滑動時，摩擦力達最大值：

梯子重力為

解題方法

設牆面正向力為 $N_B$，地面正向力為 $N_A$，梯長為 $L=4\text{ m}$。

由垂直方向力平衡：

因此

在即將滑動的臨界狀態，地面摩擦力為：

由水平方向力平衡，牆面正向力與地面摩擦力大小相等：

再以地面接觸點 $A$ 為力矩中心。梯子重心位於中點，重力作用線至 $A$ 點的水平力臂為 $\dfrac{L}{2}\cos\theta$；牆面正向力的垂直力臂為 $L\sin\theta$。

取力矩平衡：

約去 $L$：

代入 $N_B=30\text{ N}$、$W=100\text{ N}$：

因此

所以

核心觀念

本題考查構件截面內力的求法。截面 $A$ 的軸向內力，是沿該構件在 $A$ 處軸線方向（$y$ 方向）的內力分量。

依圖，$B$ 點所受之外力為 $500\ \text{lb}$，且力的方向與 $y$ 軸平行，因此其 $y$ 向分量為

解題方法

在截面 $A$ 處將構件切開，取右側 $A$ 至 $B$ 的部分作自由體圖。

沿 $y$ 方向列平衡方程式：

設截面 $A$ 的軸向內力大小為 $N_A$，則

因此

截面 $A$ 的軸向內力大小為 $500\ \text{lb}$。若採拉力為正，左、右兩側自由體所畫出的內力方向相反，但內力大小相同。

圖中的 $8\ \text{in}$、$10\ \text{in}$、$14\ \text{in}$ 是構件幾何尺寸，計算截面 $A$ 的軸向力時不需使用；這些尺寸主要會在求彎矩或扭矩時發揮作用。

選項分析

核心觀念

本題考查「質點靜力平衡」與「二力構件」的受力分析。節點 $A$ 受到三個力：

• 鋼線 $AC$ 的張力 $T_{AC}$，方向沿鋼線指向 $C$。
• 彈簧 $AB$ 的力，方向為水平方向。
• 重物所施加的垂直向下力 $80\text{ N}$。

靜力平衡時，節點 $A$ 必須滿足：

圖中鋼線 $AC$ 的方向三角形為水平 $3$、垂直 $4$，因此斜邊為 $5$，其方向比例為 $3:4:5$。

解題方法

設鋼線 $AC$ 的內力（張力）為 $T_{AC}$。

鋼線張力的垂直分量為：

在垂直方向平衡：

因此：

水平方向則由彈簧力平衡鋼線張力的水平分量：

但題目詢問的是鋼線 $AC$ 的內力，因此答案為 $100\text{ N}$。

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 結點的平面靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$
• 鋼線張力方向的分解
• 虎克定律： $F=k\delta$

圖中鋼線 $AC$ 的水平、垂直方向比例為 $3:4$，因此為 $3$-$4$-$5$ 三角形。

解題方法

取結點 $A$ 進行受力分析：

• 物體重量向下：$80\text{ N}$
• 鋼線 $AC$ 的張力為 $T$
• 彈簧 $AB$ 水平受壓，壓縮力為 $F_s$

鋼線張力的垂直分量需平衡物體重量：

因此：

鋼線張力的水平分量為：

此水平分量由彈簧的壓縮力平衡，因此：

依虎克定律：

代入彈簧勁度 $k=300\text{ N/m}$：

所以彈簧的縮短量為 $0.2\text{ m}$。

選項分析

核心觀念

本題考查力對固定點的彎矩，以及力的分解。

對水平構件 $AB$ 而言，造成彎曲的主要是力量 $30\text{ kN}$ 的垂直分量：

其作用線至 $A$ 點的水平距離為 $8\text{ m}$，因此對 $A$ 點所產生的彎矩為：

解題方法

將 $30\text{ kN}$ 分解為水平與垂直分量：

水平構件 $AB$ 的彎矩為：

題目給定 $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$，其中：

當：

時，$\sin\theta=1$，因此最大彎矩為：

故選擇 (B)。

選項分析

• (A) $90\text{ kN-m}$：錯誤。 此數值為 $30\times3$，是將力量與 $3\text{ m}$ 高度直接相乘，未取水平構件 $AB$ 的 $8\text{ m}$ 力矩臂，也未依題意求最大彎矩。

• (B) $240\text{ kN-m}$：正確。 當力量垂直向上，即 $\theta=90^\circ$ 時，垂直分量最大為 $30\text{ kN}$，

核心觀念

本題考查平面力對指定點的力矩。力對 $A$ 點的力矩為：

其中：

• $x=8\text{ m}$：$C$ 點距離 $A$ 點的水平距離
• $y=3\text{ m}$：$C$ 點高於 $A$ 點的垂直距離
• $F=30\text{ kN}$

力的分量為：

解題方法

對 $A$ 點取力矩：

題目指定彎矩為零，因此：

約去 $30$：

兩邊同除以 $\cos\theta$：

因此：

由題目限定 $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$，符合力矩為零且方向合理的角度為第一象限角，故選：

選項分析

核心觀念

本題考查普通 Portland 水泥熟料的四種主要礦物成分，通常以水泥化學簡寫表示：

• $C=\text{CaO}$：氧化鈣
• $S=\text{SiO}_2$：二氧化矽
• $A=\text{Al}_2\text{O}_3$：氧化鋁
• $F=\text{Fe}_2\text{O}_3$：氧化鐵

水泥熟料的主要成分包括：

其中 $C_3S$、$C_2S$ 與水泥早期、後期強度發展密切相關；$C_3A$ 反應較快，與凝結及硫酸鹽反應有關；$C_4AF$ 則主要影響熟料顏色及燒成特性。

解題方法

逐一比對選項是否屬於水泥熟料的主要礦物成分：

1. 若為 $C_2S$、$C_3S$、$C_4AF$ 等水泥化學常用代號，屬於主要熟料礦物。
2. 若不屬於上述主要礦物，且化學式也不是水泥熟料的典型成分，即為本題所問的「不是」。

因此，選項中只有 $\text{Cr}_2\text{O}_7$ 不屬於水泥的主要成分。

選項分析

(A) $C_2S$

$C_2S$ 即：

稱為矽酸二鈣，常記為 belite，屬於水泥熟料的主要礦物之一。其水化速度較慢，主要貢獻水泥的後期強度。

本選項為水泥主要成分，正確列舉，非答案。

(B) $C_3S$

$C_3S$ 即：

核心觀念

本題考查水泥水化反應中的「凝結」階段及其與機械強度發展的關係。

水泥加水後，水泥熟料礦物開始水化，逐漸形成水化矽酸鈣凝膠等水化產物，使水泥漿體由可塑狀態逐漸失去流動性，並開始具有強度。凝結通常分為：

• 初凝：水泥漿體開始失去可塑性，施工及拌合操作時間即將結束。
• 終凝：水泥漿體大致失去可塑性，開始進入硬化階段，機械強度開始具有明顯發展的代表性。
• 硬化：終凝後，水化產物持續生成，強度及耐久性逐漸增加。

本題官方答案以「終凝」作為水泥開始發展機械強度的代表階段。

解題方法

判斷重點在於分辨「凝結時間」與「硬化、強度發展」的意義：

1. 初凝代表水泥漿體開始失去可塑性，重點是施工性與操作時間。
2. 終凝代表水泥漿體已大致失去可塑性，開始由凝結階段進入硬化階段。
3. 機械強度的發展與硬化有關，因此以終凝作為開始發展機械強度的代表。

因此選擇：

選項分析

（A）速凝：錯誤

核心觀念

本題考的是波特蘭水泥依耐久性與使用環境所作的分類。港口及工業區建築物常受海水、地下水或工業污染物中的硫酸鹽侵蝕，因此宜選用具有中度抗硫酸鹽侵蝕能力的第 $\text{II}$ 型水泥。

依常見 ASTM C150 水泥分類：

• $\text{I}$ 型：普通型水泥。
• $\text{II}$ 型：中度抗硫酸鹽型，且具有中度水化熱。
• $\text{III}$ 型：高早強型水泥。
• $\text{V}$ 型：高度抗硫酸鹽型水泥。

解題方法

判斷此題可從「港口或工業區」所代表的環境侵蝕條件切入：

1. 港口建築物可能接觸海水、潮濕環境及含硫酸鹽的水分。
2. 工業區可能存在較一般環境嚴重的化學侵蝕。
3. 在一般工程材料分類題中，這類環境通常對應「中度硫酸鹽侵蝕」。
4. 具中度抗硫酸鹽能力的水泥為 $\text{II}$ 型。

因此本題依官方答案選擇 $\text{(B)}$。

選項分析

(A) $\text{I}$ 型：錯誤

$\text{I}$ 型為普通型水泥，適用於一般無特殊耐久性要求的混凝土工程。其抗硫酸鹽侵蝕能力並非本題所要求的重點，因此不宜作為港口或工業區建築物的優先選擇。

(B) $\text{II}$ 型：正確

核心觀念

本題考查「新拌混凝土工作性（workability）」及其影響因素。

新拌混凝土的工作性，是指混凝土在拌合、運輸、澆置及搗實過程中，能夠容易施工，且在不發生嚴重離析、泌水的情況下，形成均勻密實混凝土的性質。

影響新拌混凝土工作性的因素相當多，常見者包括：

• 水泥的種類、細度及用量
• 拌合水量及水灰比
• 骨材的粒徑、級配、形狀與表面質地
• 外加劑種類與用量
• 拌合時間
• 混凝土溫度與環境溫度
• 運輸及澆置時間

因此，題目列出的水泥特性、時間與溫度、拌合水量，均屬於會影響新拌混凝土工作性的因素。

解題方法

本題屬於「多個正確敘述集合」的判斷題。解題時逐一檢查各選項是否確實會影響新拌混凝土的流動性、黏聚性、易施工性及抗離析能力：

1. 水泥特性會影響混凝土漿體的黏度與需水量。
2. 時間與溫度會影響坍度損失及水化反應速度。
3. 拌合水量會影響混凝土的流動性與工作程度。

A、B、C 均正確，因此選擇「以上皆是」。

選項分析

(A) 水泥特性

正確。

水泥的細度、種類、化學成分及凝結特性，均會影響新拌混凝土的工作性。

例如：

• 水泥顆粒越細，通常比表面積越大，需水量可能增加。
• 水泥用量及漿體黏度會影響混凝土的流動性與黏聚性。
• 凝結速度較快時，混凝土在施工期間容易產生坍度損失。
• 不同種類水泥與外加劑的相容性，也會改變混凝土的工作表現。

因此，水泥特性確實會影響新拌混凝土的工作性。