111 捷運招考北捷新進人員 技術員(電機維修類) 行車類組 A02 -基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查楞次定律（Lenz's law）及法拉第電磁感應定律。

楞次定律指出：感應電流所產生的磁場方向，必定反抗原磁通量的變化，而不是單純反抗磁通量本身。

法拉第電磁感應定律可表示為：

其中負號即代表楞次定律：

• 當原磁通量增加時，感應磁場必須反方向，以抵抗增加。
• 當原磁通量減少時，感應磁場必須同方向，以阻止減少。

本題已說明線圈的磁通量增加，因此感應電流所產生的磁場，應與原磁場方向相反。

解題方法

判斷楞次定律可依下列兩步：

1. 先判斷磁通量的變化：本題為「增加」。
2. 感應磁場必須反抗此變化，因此要「反方向」產生磁場，以「反抗磁通之增加」。

因此正確敘述為：

「產生反方向之磁場以反抗磁通之增加」。

選項分析

(A) 產生同方向之磁場以阻止磁通之減少

核心觀念

本題考查基本電學中的：

• 熱量與能量單位換算
• 導電率、電阻率與電導的關係
• 導體電導值與幾何尺寸的關係
• 電阻溫度係數的正負意義

重要公式如下：

其中：

• $\rho$：電阻率
• $\sigma$：導電率
• $G$：電導
• $A$：導體截面積
• $\ell$：導體長度

電阻溫度係數的關係式為：

其中 $\alpha$ 為電阻溫度係數。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合定義與公式：

1. 檢查卡與焦耳的換算值。
2. 判斷導電率與電導相關物理量的關係。
3. 由 $G=\sigma A/\ell$ 判斷截面積對電導的影響。
4. 由 $\alpha<0$ 判斷溫度下降時電阻的變化。

選項分析

(A) 錯誤

卡是熱量單位，焦耳是能量單位，兩者可以換算，但換算關係為：

並非約等於 $1$ 焦耳。因此本選項的數值敘述錯誤。

補充而言，工程上常見的「卡」是小卡（cal）；若是食品熱量使用的「大卡」（kcal），則：

(B) 錯誤

導電率 $\sigma$ 與電阻率 $\rho$ 互為倒數：

電導 $G$ 則為電阻 $R$ 的倒數：

核心觀念

本題評量基本電學中電阻定律（導體電阻與尺寸關係）、體積守恆原則以及歐姆定律的綜合應用：

1. 電阻定律： $R = \rho \frac{L}{A}$ 其中 $R$ 為電阻值（$\Omega$）、$\rho$ 為電阻率（$\Omega\cdot\text{m}$）、$L$ 為導體長度（$\text{m}$）、$A$ 為導體截面積（$\text{m}^2$）。
2. 均勻拉長與體積守恆： 電阻線在拉長過程中，材質與質量不變，體積 $V = A \times L$ 保持恆定。若長度變為 $n$ 倍，則截面積必變為原來的 $\frac{1}{n}$ 倍，使得電阻值變為原來的 $n^2$ 倍： $R \propto \frac{L}{A} \propto \frac{L}{\frac{V}{L}} \propto L^2$
3. 歐姆定律： $I = \frac{V}{R}$ 在端電壓 $V$ 固定不變時，通過導體的電流 $I$ 與電阻值 $R$ 成反比（$I \propto \frac{1}{R}$）。

解題方法

步驟一：分析拉長後的電阻變化 設原電阻線之長度為 $L_1$、截面積為 $A_1$、電阻為 $R_1$。 拉長後長度 $L_2 = 2L_1$。 由於體積固定（$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$），拉長後之截面積變為： $A_2 = \frac{A_1 L_1}{L_2} = \frac{A_1 L_1}{2L_1} = \frac{1}{2}A_1$

將 $L_2$ 與 $A_2$ 代入電阻定律，求出新電阻 $R_2$： $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{2L_1}{\frac{1}{2}A_1} = 4 \times \left(\rho \frac{L_1}{A_1}\right) = 4R_1$ 即電阻值變為原來的 $4$ 倍。

核心觀念

1. 電機效率與功率轉換關係： 馬達之額定功率通常標示為「輸出功率」（$P_{out}$）。輸入電功率（$P_{in}$）、輸出機械功率（$P_{out}$）與運轉效率（$\eta$）的關係式為： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \implies P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta}$ 運轉過程中所造成的「損失功率」（$P_{loss}$）為： $P_{loss} = P_{in} - P_{out} = P_{out} \left( \frac{1 - \eta}{\eta} \right)$

2. 電能（用電度數）與電費定義：

• $1\text{ 度電} = 1\text{ 千瓦} \cdot \text{小時} = 1\text{ kWh}$
• 損失電能 $W_{loss} = P_{loss} \times \text{總運轉時數 } T \quad (\text{單位：kWh 或度})$
• 損失電費 $= W_{loss} \times \text{每度電費單價}$

解題方法

步驟一：求出輸入功率與損失功率 馬達額定輸出 $P_{out} = 10\text{ kW}$，滿載效率 $\eta = 80\% = 0.8$： $P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{10\text{ kW}}{0.8} = 12.5\text{ kW}$ 因效率問題產生的損失功率為： $P_{loss} = P_{in} - P_{out} = 12.5\text{ kW} - 10\text{ kW} = 2.5\text{ kW}$

步驟二：求出每月損失之總用電度數 已知每度電費 $4$ 元，每月因效率問題損失之電費為 $600$ 元： $W_{loss} = \frac{\text{損失電費}}{\text{每度電費}} = \frac{600\text{ 元}}{4\text{ 元/度}} = 150\text{ 度} = 150\text{ kWh}$

步驟三：求出全月總運轉時數與每日平均運轉時數 設全月滿載運轉總時數為 $T$ 小時： $W_{loss} = P_{loss} \times T \implies 150\text{ kWh} = 2.5\text{ kW} \times T$ $T = \frac{150}{2.5} = 60\text{ 小時}$ 全月運轉 $20$ 天，每日平均使用時數 $t$ 為： $t = \frac{T}{20\text{ 天}} = \frac{60\text{ 小時}}{20\text{ 天}} = 3\text{ 小時/天}$

選項分析

核心觀念

本題考查磁路中磁通密度的連續性，以及氣隙中的磁場強度公式：

$B=\mu H$

氣隙為空氣，磁導率可取真空磁導率：

$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{H/m}$

因鐵心與氣隙截面積相同，且忽略邊緣效應，通過鐵心與氣隙的磁通相同，因此氣隙中的磁通密度等於鐵心中的磁通密度。

解題方法

磁通量為

$\Phi=B_cA_c=B_gA_g$

題目給定

$B_c=1.0\ \text{Wb/m}^2$

且

$A_c=A_g$

所以

$B_g=B_c=1.0\ \text{Wb/m}^2$

在氣隙中：

$B_g=\mu_0H_g$

因此

$H_g\approx7.96\times10^5\ \text{At/m}$

所以氣隙中的磁場強度為

$\boxed{7.96\times10^5\ \text{At/m}}$

選項分析

• (A) $1.78\times10^5\ \text{At/m}$：錯誤。

核心觀念

本題考查迴路電流法（Mesh Analysis）中係數矩陣的組成方式：

• 對角線係數 $c_{11},c_{22},c_{33}$：等於該迴路內所有電阻值的總和。
• 非對角線係數：等於兩個迴路共用電阻的負值。
• 方程式右側：依迴路方向整理各電壓源的代數和。

本題只要求 $c_{11}+c_{22}+c_{33}$，因此只需計算三個迴路的自有電阻總和。

解題方法

由圖可得三個迴路的電阻配置如下。

迴路 $I_1$ 包含：

• 上方 $1\Omega$
• 中間左側 $10\Omega$
• 中間右側 $10\Omega$

因此：

迴路 $I_2$ 包含：

• 左側 $9\Omega$
• 中間左側 $10\Omega$
• 中央支路 $1\Omega$

因此：

迴路 $I_3$ 包含：

• 右側 $9\Omega$
• 中間右側 $10\Omega$
• 中央支路 $1\Omega$

因此：

所以：

核心觀念

本題考查：

• Kirchhoff 電流定律（KCL）：節點流入電流總和等於流出電流總和。
• Ohm 定律：$I=\dfrac{V}{R}$。
• 電路中間的導線視為理想導線，左右兩個中間節點電位相同，但導線中仍可能有電流 $I=3\text{ A}$ 流過。

設電源上端電位為 $V$、下端為 $0$，左右中間節點電位皆為 $x$。

解題方法

依圖示，中央導線電流由右節點流向左節點，大小為 $3\text{ A}$。

在左側中間節點套用 KCL：

由上方 $6\Omega$ 電阻流入左節點的電流，加上導線流入的 $3\text{ A}$，等於流經下方 $6\Omega$ 電阻流出的電流：

整理得：

再於右側中間節點套用 KCL。由上方 $3\Omega$ 電阻流入的電流，扣除經下方 $12\Omega$ 電阻流出的電流，等於流入中央導線的 $3\text{ A}$：

乘以 $12$：

核心觀念

本題考查：

• 並聯電路各支路電壓相等。
• 歐姆定律：$V=IR$。
• 串聯電路電流相等，且總電壓為各元件電壓降之和。

解題方法

$6\Omega$ 電阻中的電流為 $I=1\text{ A}$，因此並聯兩端電壓為：

由於 $3\Omega$ 與 $6\Omega$ 並聯，$3\Omega$ 電阻兩端電壓同樣為 $6\text{ V}$，其電流為：

流經上方 $4\Omega$ 串聯電阻的總電流為兩支路電流之和：

$4\Omega$ 電阻的電壓降為：

輸入電壓為串聯電阻與並聯組合的電壓總和：

選項分析

核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的電壓電流關係，以及歐姆定律：

$V=IR$

圖中 $6\Omega$ 與 $3\Omega$ 電阻並聯，因此兩者端電壓相同；該並聯組合再與上方的 $4\Omega$ 電阻串聯。

解題方法

已知流經 $3\Omega$ 電阻的電流為：

$I=4\text{ A}$

因此 $3\Omega$ 電阻兩端電壓為：

$V_{3\Omega}=IR=4\times 3=12\text{ V}$

由於 $6\Omega$ 與 $3\Omega$ 並聯，故：

$V_{6\Omega}=12\text{ V}$

流經 $6\Omega$ 電阻的電流為：

$I_{6\Omega}=\frac{V}{R}=\frac{12}{6}=2\text{ A}$

流經上方 $4\Omega$ 電阻的總電流，等於流入兩個並聯支路的電流總和：

$I_{4\Omega}=4+2=6\text{ A}$

所以 $4\Omega$ 電阻上的電壓降為：

$V_{4\Omega}=I_{4\Omega}R=6\times 4=24\text{ V}$

核心觀念

本題考查直流 RC 串聯電路達到穩態時的特性：

• 電容器在直流穩態相當於開路。
• 電路穩態電流為 $0$。
• 電阻上的電壓降為 $V_R=IR=0$
• 因此電源電壓全部加在電容兩端。

解題方法

圖中電源為 $10\text{ V}$，電阻為 $5\Omega$，電容為 $3\text{ F}$。

當電路達到穩態時，電容器充電完成，電流為：

$I=0$

因此 $5\Omega$ 電阻上的電壓降為：

$V_R=I R=0\times 5=0\text{ V}$

依 Kirchhoff 電壓定律：

$10=V_R+V_C$

代入 $V_R=0$：

$V_C=10\text{ V}$

所以電容兩端的電壓為 $10\text{ V}$。

選項分析

• (A) $10\text{ V}$：正確。 穩態時電流為零，電阻無電壓降，電容承受全部 $10\text{ V}$。

核心觀念

本題考查：

• 歐姆定律：$I=\dfrac{V}{R}$
• 節點電流定律（KCL）：流入節點的電流總和等於流出節點的電流總和。
• 理想電流源串聯電阻時，該支路電流由電流源固定為 $10\text{ A}$。

令下方導線為接地，設右上方節點電壓為 $V_A$。

解題方法

左側電壓源使 $9\Omega$ 電阻左端電位為 $30\text{ V}$。

由圖可知，$10\text{ A}$ 電流源方向向上，將 $10\text{ A}$ 電流注入節點 $A$。節點 $A$ 的電流經由 $9\Omega$ 與 $6\Omega$ 電阻流出，因此依 KCL：

兩邊乘以 $18$：

整理得：

右側 $6\Omega$ 電阻中的電流 $I$ 向下，因此：

中間的 $3\Omega$ 電阻與理想 $10\text{ A}$ 電流源串聯，該支路電流已固定為 $10\text{ A}$；其電阻上的電壓會自行調整，不影響上述節點電流方程式。

核心觀念

本題考查並聯電路的電壓特性、歐姆定律與電阻消耗功率公式。

圖中 $20\text{ V}$ 電壓源、$10\text{ A}$ 電流源及 $5\,\Omega$ 電阻，皆跨接於同一對上下節點，因此三個支路的端電壓相同。故 $5\,\Omega$ 電阻兩端電壓為

解題方法

依歐姆定律，流經 $5\,\Omega$ 電阻的電流為

電阻消耗的功率為

亦可直接使用

因此流經 $5\,\Omega$ 電阻的電流為 $4\text{ A}$，消耗功率為 $80\text{ W}$。

選項分析

• (A) $4\text{ A}$、$80\text{ W}$：正確。 電阻端電壓為 $20\text{ V}$，所以電流為 $4\text{ A}$，功率為 $80\text{ W}$。

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

當負載電阻 $R$ 消耗最大功率時，必須滿足：

最大功率為：

其中 $V_{\mathrm{th}}$ 為負載端的戴維寧等效電壓，$R_{\mathrm{th}}$ 為戴維寧等效電阻。

解題方法

以 $R$ 兩端為負載端，先求戴維寧等效電壓。

移除 $R$ 後，右側 $3\Omega$ 電阻沒有電流，因此其兩端沒有電壓降。負載端電壓等於左側 $3\Omega$ 與 $6\Omega$ 分壓後，中間節點對下端的電壓：

接著將理想電壓源短路，求負載端所看到的等效電阻。此時：

再與右側的 $3\Omega$ 串聯，因此：

依最大功率傳輸定理：

最大功率為：

核心觀念

本題考查最大功率傳輸定理：

當負載電阻 $R_L$ 消耗最大功率時，必須滿足

其中 $R_{\text{th}}$ 為負載端看到的戴維寧等效電阻。

原電路為 $10\text{ A}$ 電流源與 $10\Omega$ 電阻並聯，因此可直接轉換為戴維寧等效電路：

解題方法

最大功率傳輸時：

負載最大功率為

代入數值：

亦可用並聯電路驗算。當 $R_L=10\Omega$ 時，兩個 $10\Omega$ 電阻並聯，等效電阻為 $5\Omega$，端電壓為

因此

選項分析

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路：

• $E_{th}$：端點 $a$、$b$ 開路時的端電壓。
• $R_{th}$：將獨立源關閉後，由端點 $a$、$b$ 看入的等效電阻。
• 理想電壓源以短路取代。
• 理想電流源以開路取代。

圖中的 $8\Omega$ 電阻為外接負載，求戴維寧等效時必須移除。

解題方法

一、求戴維寧等效電壓 $E_{th}$

移除 $8\Omega$ 負載後，設 $V_a=V_{ab}$，並以 $b$ 點為接地。

左側 $12\text{ V}$ 電壓源使左上節點電壓為 $12\text{ V}$。對節點 $a$ 寫 KCL：

兩邊乘以 $6$：

因此：

二、求戴維寧等效電阻 $R_{th}$

關閉獨立源：

• $12\text{ V}$ 電壓源短路。
• $2\text{ A}$ 電流源開路。

此時由 $a$、$b$ 看入，可看到兩個 $6\Omega$ 電阻並聯：

所以：

選項分析

核心觀念

本題考查諾頓等效電路：

• 諾頓等效電流 $I_N$：端點 $a、b$ 短路時流過短路線的電流。
• 諾頓等效電阻 $R_N$：將獨立電壓源失效後，由端點 $a、b$ 看入的等效電阻。
• 理想電壓源失效時，以短路取代。

解題方法

1. 求諾頓等效電流 $I_N$

將 $a、b$ 短路後，右側水平 $4\,\Omega$ 電阻與中間垂直 $4\,\Omega$ 電阻並聯：

電源迴路總電阻為：

因此電源輸出的總電流為：

此 $10\,\text{A}$ 會平均分流至兩個相同的 $4\,\Omega$ 電阻，因此流經右側通往短路端的電流為：

2. 求諾頓等效電阻 $R_N$

將 $60\,\text{V}$ 電壓源以短路取代。

由端點 $a、b$ 看入，右側水平 $4\,\Omega$ 電阻與中央的兩個 $4\,\Omega$ 電阻並聯結果串聯：

所以：

因此：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋的平衡條件、串並聯等效電阻及歐姆定律。

圖中上方支路由兩個 $6\Omega$ 電阻串聯，下方支路由兩個 $3\Omega$ 電阻串聯，中間以 $30\Omega$ 電阻連接兩支路的中點。

兩支路比例為

因此電橋平衡，中間 $30\Omega$ 電阻兩端電位相等，流過該電阻的電流為 $0$，可視為不影響整體等效電阻。

解題方法

上方支路等效電阻：

下方支路等效電阻：

兩支路並聯，因此全電路等效電阻為：

電源電壓為 $20\text{ V}$，依歐姆定律：

所以總電流為 $5\text{ A}$。

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 基爾霍夫電流定律（KCL）：節點流入電流總和等於流出電流總和。
• 歐姆定律：$I=\dfrac{V}{R}$。
• 節點電壓法：以底部導線為接地點，求出右側節點電壓，再計算 $2\,\Omega$ 電阻電流。

解題方法

以下端電壓皆以底部節點為參考點，設中央節點電壓為 $V_1$，右側節點電壓為 $V_2$。

左側 $24\text{ V}$ 電源使 $6\,\Omega$ 電阻左端電位為 $24\text{ V}$。

在中央節點套用 KCL：

整理得：

其中 $2\text{ A}$ 電流源方向由中央節點流向右側節點。

在右側節點套用 KCL：

整理得：

聯立式 $(1)$、$(2)$：

解得：

因此流經右側 $2\,\Omega$ 電阻的電流為：

核心觀念

本題考查「最大功率傳輸定理」：

負載電阻 $R$ 獲得最大功率時，負載電阻必須等於負載端所看到的戴維寧等效電阻。

即：

因此，重點是求出右側端點對地的等效電阻。

解題方法

將獨立電壓源 $30\text{ V}$ 短路，則左側上端節點與下端公共節點等電位。

此時由負載端向左看：

1. 上方有一個 $3\Omega$ 電阻直接接地。
2. 中間支路為右端經 $3\Omega$ 到中央節點。
3. 中央節點到地有兩個 $6\Omega$ 並聯：

因此，中間支路等效為：

負載端所見的等效電阻為：

依最大功率傳輸定理：

核心觀念

本題考查：

• 節點電壓法
• Kirchhoff 電流定律（KCL）
• 歐姆定律 $I=\dfrac{V}{R}$

以下端點電位以底部公共節點為 $0\text{ V}$。

由電壓源可知：

• 左側節點電壓為 $24\text{ V}$
• 右側節點電壓為 $36\text{ V}$

設中間節點電壓為 $V$。

解題方法

對中間節點套用 KCL，流出中間節點的電流代數和為零：

兩邊同乘以 $6$：

整理得：

因此，$3\,\Omega$ 電阻兩端電壓為：

流經 $3\,\Omega$ 電阻的電流大小：

電流方向是由右側 $36\text{ V}$ 節點流向中間節點，但題目只問電流大小。

圖上方的 $8\,\Omega$ 電阻直接跨接在 $24\text{ V}$ 與 $36\text{ V}$ 節點之間，並不改變兩個理想電壓源所固定的節點電壓，因此不影響本題 $3\,\Omega$ 電阻的電流計算。

核心觀念

求 $a、b$ 二端看入的戴維寧等效電阻 $R_{\text{th}}$，必須將電路中的獨立源失效：

• 獨立電壓源以短路取代。
• 獨立電流源以開路取代。
• 電阻值保持不變。

解題方法

將左側 $3\text{ V}$ 電壓源短路後，菱形電路的上端節點與下端 $b$ 短接，因此：

1. $6\Omega$ 與 $3\Omega$ 皆接在左側節點與 $b$ 端之間，形成並聯：

2. 中間的 $3\text{ A}$ 電流源失效後開路，只留下與其並聯的 $2\Omega$ 電阻。

3. 從 $a$ 端到 $b$ 端共有三條並聯支路：

• 右上方：$4\Omega$
• 中間及左側路徑：$2\Omega+(6\Omega\parallel3\Omega)=2+2=4\Omega$
• 右下方：$2\Omega$

因此：

核心觀念

1. 交流電路中純電容的阻抗與容抗（Capacitive Reactance）： 電容器對交流電所呈現的阻抗為純虛數，其容抗大小 $X_C$ 為： $X_C = \frac{1}{\omega C}$ 其中 $\omega$ 為交流電源角頻率（$\text{rad/s}$），$C$ 為電容量（$\text{F}$）。
2. 純電容電路之相位關係： 在純電容電路中，電流的相位超前（領先）電壓 $90^\circ$（即 $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$）。
3. 電容器時域特性公式： 電容電流與端電壓的瞬時關係為微分形式： $i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$

解題方法

本題可採用「相量／容抗法」或「時域微分法」求解：

方法一：容抗與相位分析法（考場推薦速解法）

1. 提取已知條件： 由電壓瞬時式 $v(t) = 10\sin(10t)\text{ V}$ 可得：

• 電壓最大值（振幅）$V_m = 10\text{ V}$
• 角頻率 $\omega = 10\text{ rad/s}$
• 電壓初相角 $\theta_v = 0^\circ$
• 電容值 $C = 0.02\text{ F}$

2. 計算容抗 $X_C$： $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10 \times 0.02} = \frac{1}{0.2} = 5\ \Omega$

3. 計算電流最大值 $I_m$： $I_m = \frac{V_m}{X_C} = \frac{10}{5} = 2\text{ A}$

4. 判定電流相位與瞬時方程式： 純電容電路中，電流相位領先電壓 $90^\circ$，故電流初相角為： $\theta_i = \theta_v + 90^\circ = 0^\circ + 90^\circ = +90^\circ$ 綜合上述，電流瞬時式為： $i(t) = 2\sin(10t + 90^\circ)\text{ A}$

方法二：時域微分法（物理基本定義）

核心觀念

1. 正弦交流電壓的瞬時值表示式： 一般正弦交流電壓的時域數學式為： $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$ 其中：

• $V_m$ 為電壓的最大值（峰值，Peak value）
• $\omega$ 為角頻率（$\text{rad/s}$）
• $\theta$ 為初相角（相位）

2. 弦波的有效值（RMS 值）： 對於正弦波，其電壓有效值 $V_{\text{rms}}$ 與最大值 $V_m$ 的關係為： $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$

3. 純電阻電路的平均功率（實功率）： 在純電阻交流電路中，電阻消耗的平均功率 $P$ 必須使用有效值計算： $P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R} = I_{\text{rms}}^2 R = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$

解題方法

步驟一：求出交流電壓的有效值 $V_{\text{rms}}$ 由題目給定的電壓瞬時表示式： $v(t) = 100\sqrt{2}\sin(377t + 90^\circ)\text{ V}$ 可對照出電壓的最大值： $V_m = 100\sqrt{2}\text{ V}$

進一步求得電壓的有效值： $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100\text{ V}$