111 警專考試乙組 專41正期組 MOD- 學年度警專第41期(正期學生組)- 乙組數學 考古題詳解

核心觀念

二階方陣相加採「對應位置元素相加」的規則：

因此，等式兩側相同位置的元素必須相等。

解題方法

由題意：

依照對應位置逐一比較：

第一列第一行：

第一列第二行：

核心觀念

在空間坐標中，$yz$ 平面的方程式為

一點投影到 $yz$ 平面，表示沿著垂直於 $yz$ 平面的方向作正射影。由於 $yz$ 平面上的點，其 $x$ 坐標必須為 $0$，而投影過程中 $y$、$z$ 坐標保持不變。

因此，點 $P(x,y,z)$ 對 $yz$ 平面的投影點為

解題方法

已知

因為投影到 $yz$ 平面時：

• $x$ 坐標由 $12$ 變為 $0$
• $y$ 坐標維持 $4$
• $z$ 坐標維持 $1$

所以投影點為

選項分析

• (A) $(12,4,0)$：錯誤。 此點將 $z$ 坐標改為 $0$，且保留 $x=12$，不符合投影到 $yz$ 平面應有的 $x=0$。

核心觀念

本題考查「先計算分母，再判斷分數大小」的基本概念。分數大小不能只看分子，必須先確認分母的值。

各選項的分子皆為 $1$，因此只要計算分母即可：

解題方法

逐一化簡各選項：

核心觀念

絕對值不等式

表示 $x$ 與 $a$ 的距離不超過 $b$，可改寫為

本題要求的是符合範圍內的整數個數。

解題方法

由

可得

三邊同加 $2022$：

因此

從 $1911$ 到 $2133$ 的整數個數為

核心觀念

極座標 $P[r,\theta]$ 表示：

• $r$：原點至點 $P$ 的距離；
• $\theta$：位置向量與正 $x$ 軸的夾角。

兩點極座標距離公式為

本題中：

解題方法

先求兩位置向量的夾角：

因此兩向量互相垂直，三角形 $OAB$ 為直角三角形，且

由畢氏定理：

所以

選項分析

核心觀念

本題考查三角形的「餘弦定理」。在 $\triangle ABC$ 中，已知兩邊 $AB$、$BC$ 以及夾角 $\angle B$，要求其對邊 $AC$，可直接套用：

其中，$\angle B$ 是邊 $AB$ 與 $BC$ 的夾角，而其對邊為 $AC$。

解題方法

代入題目條件：

由餘弦定理：

因此：

因為邊長必為正值，所以取正平方根。

選項分析

核心觀念

本題考查「標準差」衡量資料分散程度的概念。

標準差越大，表示資料越分散；標準差越小，表示資料越集中。母體標準差公式為

其中 $\bar{x}$ 為平均數，$n$ 為資料筆數。

本題各組資料皆有 $5$ 個數，直接比較各數值與平均數的偏差平方和即可。即使採用樣本標準差，分母皆同為 $n-1=4$，不會改變大小順序。

解題方法

（A）$10,20,30,40,50$

平均數為

各數值與平均數的偏差為

偏差平方和為

因此母體變異數為

標準差為

（B）$99,100,100,100,101$

平均數為

偏差為

偏差平方和為

變異數為

標準差為

核心觀念

1. 相關係數的範圍與意義： 變數 $X$ 與 $Y$ 的相關係數 $r(X,Y)$ 恆滿足： $-1 \le r \le 1$
2. 完全正相關（$r = 1$）的充要條件： 若所有資料點 $(x_i, y_i)$ 皆精確落在同一條斜率為正的直線 $Y = aX + b$（其中 $a > 0$）上，則其相關係數達到最大可能值 $r = 1$。
3. 離群值對相關性的影響： 若大部分點具有極高的線性關係，偏離該直線的點（離群值）會大幅拉低相關係數的值。

解題方法

1. 觀察資料點的線性規律： 給定 5 筆資料點：$(0, 10)$、$(1, 3)$、$(2, 5)$、$(4, 9)$、$(10, 21)$。

2. 檢驗後四筆資料的共線性質：

• 取點 $(1, 3)$ 與 $(2, 5)$，計算兩點決定的直線斜率： $m = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2$ 直線方程式為： $Y - 3 = 2(X - 1) \implies Y = 2X + 1$
• 檢驗點 $(4, 9)$：代入 $X = 4$，得 $Y = 2(4) + 1 = 9$，在直線上。
• 檢驗點 $(10, 21)$：代入 $X = 10$，得 $Y = 2(10) + 1 = 21$，在直線上。

3. 檢驗第一筆資料：

• 代入點 $(0, 10)$：$X = 0 \implies Y = 2(0) + 1 = 1 \neq 10$，不在直線上。

核心觀念

本題考查二元一次不定方程式的非負整數解與極值應用：

1. 不定方程式列式：依人數限制設未知數，建立滿足總人數的二元一次方程式 $4x + 3y = 33$。
2. 極值判斷原則：在總人數固定的情況下，欲使「總組數最少」，應使「每組人數最多（即 4 人組）」的組數盡可能最大化，並滿足非負整數的整除條件。

解題方法

1. 設定未知數： 設 4 人組有 $x$ 組、3 人組有 $y$ 組，其中 $x, y$ 均為非負整數（$x, y \in \{0, 1, 2, \dots\}$）。

2. 依題意列方程式： $4x + 3y = 33$ 令總組數為 $k = x + y$。

3. 求解變數關係與整數解： 將方程式改寫以 $x$ 表示 $y$： $3y = 33 - 4x \implies y = \frac{33 - 4x}{3} = 11 - \frac{4}{3}x$

因 $y$ 必須為非負整數：

• $x$ 必須是 $3$ 的倍數。
• $33 - 4x \ge 0 \implies x \le \frac{33}{4} = 8.25$。

故 $x$ 的可能取值為 $0, 3, 6$。

4. 計算各組解與總組數 $k = x + y$：

• 當 $x = 6$ 時，$y = 11 - \frac{4}{3}(6) = 3$，總組數 $k = 6 + 3 = 9$ 組。
• 當 $x = 3$ 時，$y = 11 - \frac{4}{3}(3) = 7$，總組數 $k = 3 + 7 = 10$ 組。

核心觀念

本題測驗「計數原理：組合（Combination）」之基本概念與公式運算。 從 $n$ 個相異元素中，任選 $k$ 個元素且不計順序（不區分職務或先後）的方法數，稱為組合數，以符號 $C^n_k$ 或 $\binom{n}{k}$ 表示，其計算公式為： $C^n_k = \frac{P^n_k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}$

解題方法

1. 判斷題意性質（排列 vs. 組合）： 題目要求從小隊的 10 人中選出 2 人擔任隔天的「值日生」。因為被選出的 2 個人身分完全相同（無班長、副班長等職務差異，亦無先後順序之分，選「甲、乙」與選「乙、甲」為同一組值日生），故屬於不排順序的組合問題。

2. 代入公式計算： 自 10 人中任意選出 2 人的組合數為 $C^{10}_2$： $C^{10}_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$

故隔天值日生的組合共有 $45$ 種。

選項分析

核心觀念

本題測驗「直線排列與乘法原理」以及「有條件限制的排列問題」。

1. 相異位置判定：拍照時，前排的左、中、右座位與後排的 4 個站位，彼此皆為相異位置（共 $3 + 4 = 7$ 個相異位置）。
2. 特殊條件優先處理原則：對於有指定位置或特殊限制的元素（奶奶），應優先排定，再安排其餘無限制的元素。
3. 相異物全排列公式：$n$ 個相異物排入 $n$ 個相異位置，方法數為 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$。

解題方法

方法一：相異位置全排列法（推薦解法）

1. 優先安排有特殊限制的對象： 奶奶必須坐在前排正中央，該位置已被指定，排法只有 $1$ 種。
2. 安排剩餘人員： 扣除奶奶後，剩下 $7 - 1 = 6$ 個人，以及 $6$ 個尚未安排的相異位置（前排 $2$ 個座位、後排 $4$ 個站位）。
3. 計算排列數： 將剩下的 6 個人任意排入這 6 個相異位置，共有 $6!$ 種排法： $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
4. 依乘法原理計算總排法數： $\text{總排法數} = 1 \times 6! = 720\text{（種）}$

方法二：分步選人排列法（驗算解法）

1. 奶奶固定在前排中央：$1$ 種。
2. 從剩下 6 人中選出 2 人坐前排左、右兩側並排列：$P^6_2 = 6 \times 5 = 30$ 種。
3. 剩下 4 人全部站後排並排列：$4! = 24$ 種。

核心觀念

1. 相異物直線排列（樣本空間計算）： $n$ 個相異元素的全排列數為 $P^n_n = n!$。在手機密碼設定中，首位數字可以為 $0$。
2. 古典機率與乘法原理（條件機率／取後不放回）： 在「不重複嘗試」的前提下，連續事件發生的機率等於各階段條件機率的連乘積。若樣本空間為 $N$，僅有 $1$ 個正確解，則連續猜測錯誤的機率分子與分母會逐次遞減。

解題方法

1. 計算可能密碼總數（樣本空間 $N$）： 由「0、1、2、3、4、5」共 6 個相異數字隨意排列成 6 位數密碼，所有可能排列數為： $N = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 其中只有 $1$ 組為正確密碼，其餘 $720 - 1 = 719$ 組皆為錯誤密碼。

2. 計算連續 3 次輸入不同密碼皆失敗的機率： 阿明嘗試輸入 3 組「不同」密碼（即取後不放回）：

• 第 1 次嘗試失敗：從 720 組中選到 719 組錯誤密碼之一，機率為： $P_1 = \frac{719}{720}$
• 第 2 次嘗試失敗：已知第 1 次已排除 1 組錯誤密碼，剩下 719 組可選，其中錯誤密碼剩 718 組，機率為： $P_2 = \frac{718}{719}$
• 第 3 次嘗試失敗：已知前 2 次已排除 2 組錯誤密碼，剩下 718 組可選，其中錯誤密碼剩 717 組，機率為： $P_3 = \frac{717}{718}$

核心觀念

1. 餘式定理（Remainder Theorem）：設 $f(x)$ 為多項式，若 $f(x)$ 除以一次式 $x-c$，所得的餘式等於 $f(c)$。本題除式為 $x+1 = x-(-1)$，故 $c = -1$，餘式即為 $f(-1)$。
2. 除法原理與餘式次數：多項式相除時，餘式的次數必須嚴格小於除式的次數。因為除式 $x+1$ 為一次式，所以餘式必為常數。
3. 負數的奇數次方：負數的奇數次乘冪仍為負數，即當 $n$ 為奇數時，$(-1)^n = -1$。

解題方法

依據餘式定理，要求多項式 $f(x)=x^{111}-111x+4.1$ 除以 $x+1$ 的餘式，直接計算 $f(-1)$ 即可：

1. 將 $x = -1$ 代入 $f(x)$ 中： $f(-1) = (-1)^{111} - 111(-1) + 4.1$

2. 逐項展開推導：

• 第一項：指數 $111$ 為奇數，故 $(-1)^{111} = -1$。
• 第二項：負負得正，$-111 \times (-1) = +111$。
• 第三項：常數項維持 $+4.1$。

3. 合併計算結果： $f(-1) = -1 + 111 + 4.1 = 110 + 4.1 = 114.1$

故 $f(x) \div (x+1)$ 之餘式為 $114.1$。

核心觀念 本題考查二次函數的配方法與閉區間極值問題。

1. 二次函數標準式與頂點：將二次函數 $y = ax^2 + bx + c$ 配方成頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 為拋物線的頂點坐標。當 $a > 0$ 時，拋物線開口向上，頂點處為函數的最低點。
2. 閉區間內的最大值與最小值：若自變數範圍限定在閉區間 $[\alpha, \beta]$ 內：

• 需先判斷頂點 $x = h$ 是否落在區間內。若 $h \in [\alpha, \beta]$，則頂點處即為區間內的最小值 $m$（對開口向上的拋物線而言）。
• 比較區間端點值 $f(\alpha)$ 與 $f(\beta)$，離頂點（對稱軸）越遠的端點，其函數值越大，即為最大值 $M$。

解題方法

1. 二次函數配方： 將 $f(x) = x^2 + 2x + 2$ 進行配方： $f(x) = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1$ 此拋物線開口向上（$x^2$ 項係數 $1 > 0$），頂點坐標為 $(-1, 1)$，對稱軸為 $x = -1$。

2. 確定區間內的極值： 給定自變數範圍為 $-5 \le x \le 2$。

• 求最小值 $m$： 頂點 $x = -1$ 介於 $-5$ 與 $2$ 之間（即 $-1 \in [-5, 2]$），故當 $x = -1$ 時，$y$ 取得區間內的最小值： $m = f(-1) = 1$
• 求最大值 $M$： 分別計算兩區間端點的函數值：

核心觀念

對數符號 $\log_a b$ 在實數範圍內「有意義」（即定義明確且數值存在）的充要條件為：

1. 底數條件：底數 $a$ 必須為大於 $0$ 且不等於 $1$ 的實數，即 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。
2. 真數條件：真數 $b$ 必須為大於 $0$ 的實數，即 $b > 0$。

將對數式 $\log_a b = x$ 改寫為指數式 $a^x = b$ 後，其背後的數學限制如下：

• 若底數 $a \le 0$，對數函數無法在實數系中建立連續且唯一的運算規則。
• 若底數 $a = 1$，則方程 $1^x = b$ 在 $b \neq 1$ 時無解；在 $b = 1$ 時有無限多解，無法定義唯一的對數值。
• 若真數 $b \le 0$，由於正數的任意實數次方 $a^x$ 均恆為正數（$a^x > 0$），故不存在任何實數 $x$ 能滿足 $a^x \le 0$。

解題方法

本題旨在檢驗各選項中的對數式是否同時滿足「底數 $a > 0$ 且 $a \neq 1$」與「真數 $b > 0$」。只要底數或真數有任一條件不符，該式即為無意義；若同時滿足，則該對數式為有意義。

選項分析

• (A) $\log_0 0$：錯誤。
• 底數 $a = 0$，不符合底數條件 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。
• 真數 $b = 0$，不符合真數條件 $b > 0$。
• 底數與真數皆不符合定義，故此數值無意義。

核心觀念 本題考查對數（Logarithm）的基本運算律與性質。解題時需靈活運用以下核心對數公式：

1. 同底對數相減律（真數相除）： $\log_a M - \log_a N = \log_a \left(\frac{M}{N}\right) \quad (a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0)$
2. 同底對數相加律（真數相乘）： $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \times N) \quad (a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0)$
3. 真數次方與係數轉換性質： $r \log_a k = \log_a (k^r) \quad (a > 0, a \neq 1, k > 0)$
4. 對數基底與真數相同之性質： $\log_a a = 1 \quad (a > 0, a \neq 1)$

解題方法

切入點說明： 觀察原式，各項對數的底數皆為 $3$。化簡時優先將前兩項利用「同底對數相減，真數相除」合併，簡化真數；再處理後續項目，最後將項次依加法交換律重排以對應選項。

關鍵計算步驟與推導：

1. 化簡前兩項： 套用同底對數相減律 $\log_3 M - \log_3 N = \log_3 \left(\frac{M}{N}\right)$： $\log_3 111 - \log_3 3 = \log_3 \left(\frac{111}{3}\right) = \log_3 37$

2. 合併第三項： 利用對數次方化簡化為質因數表示（其中 $\frac{2}{3}\log_3 8 = \frac{2}{3}\log_3 2^3 = 2\log_3 2$）： $\text{原式} = \log_3 37 + 2\log_3 2$

3. 依加法交換律重排： $\text{原式} = 2\log_3 2 + \log_3 37$

此結果完全符合選項 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查二階方陣的乘法運算。

1. 二階方陣乘法定義：設 $A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ 與 $B = \begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}$，其乘積為： $AB = \begin{bmatrix} a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h \\ c \cdot e + d \cdot g & c \cdot f + d \cdot h \end{bmatrix}$
2. 矩陣次方概念：矩陣平方 $A^2 = A \times A$。矩陣次方絕非將矩陣內部各元素個別平方，必須嚴格遵循「左列乘右行」的內積運算規則。

解題方法

將二階方陣 $A = \begin{bmatrix}3&2\\1&-1\end{bmatrix}$ 與自己相乘，計算 $A^2 = A \times A$：

$A^2 = \begin{bmatrix}3&2\\1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&2\\1&-1\end{bmatrix}$

分項計算各位置元素：

• 第 1 列第 1 行元素：$3 \times 3 + 2 \times 1 = 9 + 2 = 11$
• 第 1 列第 2 行元素：$3 \times 2 + 2 \times (-1) = 6 - 2 = 4$
• 第 2 列第 1 行元素：$1 \times 3 + (-1) \times 1 = 3 - 1 = 2$
• 第 2 列第 2 行元素：$1 \times 2 + (-1) \times (-1) = 2 + 1 = 3$

組合上述各項計算結果： $A^2 = \begin{bmatrix}11&4\\2&3\end{bmatrix}$

選項分析

核心觀念

扇形面積可利用弧長與半徑直接計算：

本題已知弧長為 $2\pi$、半徑為 $8$，不必先求圓心角。

解題方法

代入公式：

因此扇形面積為 $8\pi$。

選項分析

核心觀念

螞蟻沿著正方體表面行走時，最短路徑必須將經過的表面展開，使路徑變成平面上的直線。因為正方體邊長為 $3$，需比較展開後兩頂點間的直線距離。

$A$ 與 $G$ 為正方體的對角頂點，最短表面路徑可經過兩個相鄰表面。

解題方法

取包含邊 $BF$ 的兩個相鄰面：

• 前方面 $ABFE$
• 右方面 $BCGF$

沿著公共邊 $BF$ 展開後，兩個正方形會組成一個長方形，其長為 $2\times 3=6$，寬為 $3$。

展開後，$A$ 與 $G$ 成為長方形的兩個對角頂點，因此依畢氏定理，最短路徑長為

所以最短路徑長為 $3\sqrt{5}$。

選項分析

核心觀念

本題考查遞迴數列的規律判斷與數學歸納概念。關鍵在於觀察數列前幾項，推測一般項：

若能證明

即可直接求得 $a_{110}$。

解題方法

由遞迴式

先計算前幾項：

此處直接計算可知：

再計算：

因此數列實際上為

也可用歸納法證明。已知 $a_1=1$，若 $a_{n-1}=1$，則

所以對所有正整數 $n$，皆有

因此

選項分析

(A) $a_{111}=\dfrac{110}{111}$

錯誤。由上面的推導，

核心觀念

本題考查等差級數的和。數列

是一個等差數列，其中：

• 首項 $a_1=1$
• 末項 $a_{111}=111$
• 項數 $n=111$
• 公差 $d=1$

等差級數前 $n$ 項和的公式為：

解題方法

將已知數值代入公式：

先計算括號內的數值：

因此：

所以：

也可利用首尾配對理解：

共有 $111$ 項，總和即為「項數乘以首尾平均」：

選項分析

• (A) $5050$：錯誤。 $5050$ 是 $1$ 加到 $100$ 的總和：

核心觀念

本題考查指數函數 $y=a^x$ 的單調性。

當 $0<a<1$ 時，指數函數 $y=a^x$ 為遞減函數，也就是：

本題底數為 $\frac12$，符合 $0<\frac12<1$，因此

會隨著 $x$ 增大而減小。

解題方法

已知

在此限制下，$x$ 的最大值為 $1$。由於 $y=\left(\frac12\right)^x$ 是遞減函數，當 $x$ 取最大值 $1$ 時，$y$ 取得最小值。

代入 $x=1$：

所以最小值為

選項分析

• (A) $2$：錯誤。 當 $x=-1$ 時，

$\left(\frac12\right)^{-1}=2$