108 鐵路特考高員三級 電子工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查含有脈衝源的串並聯電路時域分析。假設電路在 $t<0$ 時未儲存能量，因此電感、電容的初始條件皆為零。

令串聯支路電流 $i(t)$ 由左向右流入節點 $a$，並以 $v(t)=V_{ab}(t)$ 表示端電壓。依節點 $a$ 的 KCL：

其中右側是 $1\,\Omega$ 電阻與 $1\,\mathrm F$ 電容的電流總和。沿上方支路套用 KVL，脈衝電壓源右端為正，因此：

解題方法

對上式作拉普拉斯轉換。由零初始條件，電感電壓轉換為 $sI(s)$，電容電流轉換為 $sV(s)$；並使用 $\mathcal L\{\delta(t)\}=1$：

由第一式得 $I(s)=(s+1)V(s)-8$，代入第二式：

將它拆成兩部分：

第一部分的部分分式展開為：

第二部分改寫為：

核心觀念

本題用拉普拉斯轉換分析零初始條件下的線性電路。圖中電壓源 $6\cos 6t\,u(t)$ 經 $1\,\Omega$ 電阻、$4\delta(t)$ 電壓源及 $1\,\text{H}$ 電感，接到 $a$ 點；$a,b$ 之間並聯 $1\,\Omega$ 電阻、$1\,\text{F}$ 電容，以及方向由 $b$ 指向 $a$ 的 $8\delta(t)\,\text{A}$ 電流源。

所用轉換關係為

題目未給電感或電容的初始條件，依此類題目的慣例採零初始條件。

解題方法

令 $V(s)=\mathcal{L}\{V_{ab}(t)\}$，並令 $I_1(s)$ 為左側串聯支路流入 $a$ 點的電流。左側電壓源的拉氏轉換為

沿串聯支路套用 KVL。脈衝電壓源的極性為左負右正，因此由左向右通過時是電壓上升 $4$：

所以

在 $a$ 點套用 KCL：左側支路電流與向上的脈衝電流源都注入 $a$ 點，流經電阻與電容的電流則由 $a$ 流向 $b$：

代入 $I_1$ 並整理：

核心觀念

本題旨在測驗電路學最基礎卻至關重要的「基本物理量定義」、「能量傳遞方向」以及「元件特性與符號慣例」。主要涉及的核心觀念包含：

1. 電壓（Voltage / Electric Potential Difference）的定義：電荷移動時所涉及的能量變化量，微分數學定義為 $v = \frac{dw}{dq}$。
2. 被動符號慣例（Passive Sign Convention, PSC）：用以規範電路元件吸收能量或供應能量的電壓、電流參考方向準則。
3. 電阻器的耗能本質與歐姆定律：載流子通過阻礙結構時將電位能轉換為熱能（焦耳熱），造成電位下降。
4. 電感器的儲能本質與法拉第—冷次定律：電流變化引發磁通變化，產生阻礙電流變化的感應反電動勢（Back EMF），外加端電壓需克服此電動勢以注入能量。

解題方法

一、電壓的定義

電壓（亦稱電位差）定義為：單位正電荷在電場中由一點移動至另一點時，所獲得或失去的能量（做功）。 若一微小正電荷 $dq$ 穿過兩端點，其能量變化量為 $dw$，則兩端點間的瞬時電壓 $v$ 為： $v = \frac{dw}{dq}$

• 國際單位制（SI）：電壓單位為伏特（$\text{V}$），能量單位為焦耳（$\text{J}$），電荷單位為庫侖（$\text{C}$），即 $1\text{ V} = 1\text{ J/C}$。
• 物理意涵：若移動正電荷需要外界做功（能量增加），則電荷移動的方向是朝向電位較高的端點；反之，若正電荷自然釋放能量，則其移動方向是從高電位端點朝向低電位端點。

二、電流流入電阻器端為正、流出端為負之理由

1. 能量轉換視角（物理機制）：

• 電阻器為「純耗能元件」（Passive Dissipative Element）。
• 當正電荷由外界電路流經電阻材料時，會與導體內部的晶格、原子發生碰撞，將所攜帶的電位能轉換為熱能（焦耳熱 $P = i^2 R$）散逸至環境中。
• 由於正電荷在穿過電阻器後損失能量，流出點的電位能必定低於流入點的電位能，即流入端為高電位（$+$）、流出端為低電位（$-$）。

2. 電路規範視角（被動符號慣例）：

• 在電路分析中，規範「電流自標示為正極性的端點流入、自負極性端點流出」的系統稱為被動符號慣例。
• 此慣例下，元件所吸收的瞬時功率定義為 $p = v \cdot i$。
• 歐姆定律在此參考方向下表示為 $v = iR$。因電阻值 $R > 0$，故電壓與電流同號；電流 $i > 0$（正向流入）時，端電壓必定為正（$v > 0$），保證吸收功率 $p = i^2 R \ge 0$，完全符合能量守恆。

三、電流流入電感器端為正、流出端為負之理由

1. 電磁感應與儲能視角（物理機制）：

• 電感器為「儲能元件」（Energy Storage Element），其所儲存的能量形式為磁場能量 $w_L = \frac{1}{2} L i^2$。
• 依據法拉第電磁感應定律與冷次定律（Lenz's Law），當電流 $i(t)$ 流入電感線圈並增加時，穿過線圈的磁通量隨之增加，線圈內部會產生一個反抗磁通變化、阻礙電流增長的感應反電動勢（Back EMF）。
• 外界電路若要推動正電荷克服此反抗力繼續流入電感器以建立磁場，外加電源必須對電荷做正功。這意味著流入端必須維持在較高電位，電荷克服逆向電場由高電位（$+$）移向低電位（$-$），從而將電能轉化為電感內部的磁場能量。

核心觀念

無實功率耗損的阻抗轉換器可由理想電感、電容及理想變壓器組成。電抗元件不消耗平均實功率，但能改變阻抗的虛部；並聯電抗可改變等效阻抗的實部與虛部，串聯電抗則可補足剩餘的虛部。

本題可用兩個電感設計：在負載兩端並聯一個電感，再於該並聯組合與輸出端之間串聯一個電感。

解題方法

將左側負載換成直角座標：

其導納為：

目標阻抗為：

先在負載兩端並聯電感，使並聯後阻抗的實部成為目標實部 $4330.13\ \Omega$。並聯電感只改變導納的虛部，因此令總導納為 $G+jB$，則：

代入 $G=0.0001\ \text{S}$，取正的總電納虛部：

因此並聯電感須提供的電納虛部為：

這相當於並聯電感的感抗：

此時負載與並聯電感的等效阻抗為：

核心觀念

本題旨在測驗線性系統之頻率響應（Frequency Response）​與波德圖（Bode Plot）​的標準漸近線繪圖能力。核心觀念與定義包含：

1. 頻率響應定義：在轉移函數中令 $s = j\omega = j2\pi f$，可求得振幅響應 $|T(j\omega)|$ 與相位響應 $\angle T(j\omega)$。
2. 振幅響應（以分貝 $\text{dB}$ 表示）： $|T(j\omega)|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|T(j\omega)|$

• 低頻增益（直流增益）：當 $\omega \to 0$ 時之增益常數。
• 轉折頻率（Corner Frequency / Break Frequency）：一階極點 $\left(1+\frac{s}{\omega_p}\right)$ 的轉折角頻率為 $\omega_p$（或轉折頻率 $f_p = \frac{\omega_p}{2\pi}$）。
• 斜率變化法則：每通過一個位於分母的一階極點，漸近線斜率增加 $-20\text{ dB/decade}$（或 $-6\text{ dB/octave}$）。

3. 相位響應： $\angle T(jf) = \sum \angle(\text{分子項}) - \sum \angle(\text{分母項})$

• 一階極點在極低頻（$< 0.1 f_p$）貢獻 $0^\circ$；在轉折頻率處（$f = f_p$）貢獻 $-45^\circ$；在極高頻（$> 10 f_p$）趨近 $-90^\circ$。
• 漸近線通常在 $[0.1 f_p, 10 f_p]$ 區間內以 $-45^\circ/\text{decade}$ 的斜率作直線近似。

解題方法

步驟一：改寫為頻率 $f$ 的標準型式，確認轉折頻率與直流增益

令 $s = j2\pi f$，代入題目給定的轉移函數 $T(s)$： $T(jf) = \frac{10^5}{\left(1+j\frac{f}{10^5}\right)\left(1+j\frac{f}{10^6}\right)\left(1+j\frac{f}{10^7}\right)}$

• 直流增益（$f \to 0$）： $|T(0)| = 10^5 \implies |T(0)|_{\text{dB}} = 20\log_{10}(10^5) = 100\text{ dB}$
• 三個一階極點的轉折頻率：
• 第一個極點：$f_{p1} = 10^5\text{ Hz} = 100\text{ kHz}$（對應 $\omega_{p1} = 2\pi\times10^5\text{ rad/s}$）
• 第二個極點：$f_{p2} = 10^6\text{ Hz} = 1\text{ MHz}$（對應 $\omega_{p2} = 2\pi\times10^6\text{ rad/s}$）
• 第三個極點：$f_{p3} = 10^7\text{ Hz} = 10\text{ MHz}$（對應 $\omega_{p3} = 2\pi\times10^7\text{ rad/s}$）

步驟二：振幅頻率響應圖（Magnitude Plot）推導

依頻率區間計算漸近線斜率及轉折點增益：

1. 區間 $f < 10^5\text{ Hz}$：

• 尚未抵達轉折頻率，斜率為 $0\text{ dB/decade}$。
• 增益維持在 $|T(jf)|_{\text{dB}} = 100\text{ dB}$。

2. 區間 $10^5\text{ Hz} \le f < 10^6\text{ Hz}$：

• 通過第一個極點 $f_{p1} = 10^5\text{ Hz}$，斜率變為 $-20\text{ dB/decade}$。
• 在 $f = 10^6\text{ Hz}$ 時之漸近線增益： $|T(j10^6)|_{\text{dB}} = 100 - 20\log_{10}\left(\frac{10^6}{10^5}\right) = 100 - 20 = 80\text{ dB}$

3. 區間 $10^6\text{ Hz} \le f < 10^7\text{ Hz}$：

• 通過第二個極點 $f_{p2} = 10^6\text{ Hz}$，斜率疊加 $-20\text{ dB/decade}$，成為 $-40\text{ dB/decade}$。
• 在 $f = 10^7\text{ Hz}$ 時之漸近線增益： $|T(j10^7)|_{\text{dB}} = 80 - 40\log_{10}\left(\frac{10^7}{10^6}\right) = 80 - 40 = 40\text{ dB}$

4. 區間 $f \ge 10^7\text{ Hz}$：

• 通過第三個極點 $f_{p3} = 10^7\text{ Hz}$，斜率再降 $-20\text{ dB/decade}$，成為 $-60\text{ dB/decade}$。
• 單位增益頻率（$0\text{ dB}$ 頻率 $f_{0\text{dB}}$）： $40 - 60\log_{10}\left(\frac{f_{0\text{dB}}}{10^7}\right) = 0 \implies \log_{10}\left(\frac{f_{0\text{dB}}}{10^7}\right) = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ $f_{0\text{dB}} = 10^7 \times 10^{\frac{2}{3}} \approx 4.64\times10^7\text{ Hz} = 46.4\text{ MHz}$

步驟三：相位頻率響應圖（Phase Plot）推導

相位角之嚴格數學關係式為： $\angle T(jf) = -\tan^{-1}\left(\frac{f}{10^5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{f}{10^6}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{f}{10^7}\right)$

1. 關鍵頻率點之精確相位：

• $f \to 0$ 時：$\angle T(j0) = 0^\circ$
• $f = 10^5\text{ Hz}$ 時：$\angle T(j10^5) = -45^\circ - \tan^{-1}(0.1) - \tan^{-1}(0.01) \approx -45^\circ - 5.71^\circ - 0.57^\circ = -51.28^\circ$
• $f = 10^6\text{ Hz}$ 時：$\angle T(j10^6) = -\tan^{-1}(10) - 45^\circ - \tan^{-1}(0.1) = -84.29^\circ - 45^\circ - 5.71^\circ = -135^\circ$（幾何對稱中心）
• $f = 10^7\text{ Hz}$ 時：$\angle T(j10^7) = -\tan^{-1}(100) - \tan^{-1}(10) - 45^\circ \approx -89.43^\circ - 84.29^\circ - 45^\circ = -218.72^\circ$
• $f \to \infty$ 時：$\angle T(j\infty) = -90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = -270^\circ$

2. 工程波德圖之漸近線直線近似法（每個極點在其轉折頻率前一個十倍頻至後一個十倍頻區間，以 $-45^\circ/\text{decade}$ 下降）：

• $f \le 10^4\text{ Hz}$：$0^\circ$