112 高普考高考二級 水土保持工程 集水區經營學與水文學 考古題詳解

112 年・高普考・高考二級・水土保持工程
試題代碼 集水區經營學與水文學

第 一 題20 分

某一集水區有一延時 4 小時的豪雨事件，其所造成之洪水歷線（flood hydrograph）如下表所示：

時間（hr）012345678910
流量（cms）5256510012016015585453015

該豪雨事件前 2 小時降雨強度為 1.4 cm/hr1.4\ \mathrm{cm/hr}，後 2 小時降雨強度為 0.9 cm/hr0.9\ \mathrm{cm/hr}。若此集水區河川基流量在洪水歷線前 4 個小時（0～4 小時）為 5 cms5\ \mathrm{cms}，後 6 個小時（5～10 小時）為 10 cms10\ \mathrm{cms}。已知其入滲 ϕ\phi 指數為 4 mm/hr4\ \mathrm{mm/hr}，試推求該流域 1 小時有效降雨之單位歷線？

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核心觀念

本題用洪水歷線分離與有效降雨—單位歷線的卷積關係求解。

單位歷線是集水區在單位深度、指定延時的有效降雨作用下所產生的直接逕流歷線。本題要求 1 小時單位歷線，因此先扣除基流、計算各小時有效降雨，再以離散卷積逐時反算單位歷線：

Qt=∑i=0tPiUt−iQ_t=\sum_{i=0}^{t}P_iU_{t-i}

其中 QtQ_t 為直接逕流量（cms），PiP_i 為第 ii 小時有效降雨深度（cm），UtU_t 為 1 小時單位歷線流量（cms/cm）。

解題方法

先以總雨量強度扣除 ϕ\phi 指數，得到有效降雨強度：

  • 前 2 小時：1.4−0.4=1.0 cm/hr1.4-0.4=1.0\ \mathrm{cm/hr}。
  • 後 2 小時：0.9−0.4=0.5 cm/hr0.9-0.4=0.5\ \mathrm{cm/hr}。

因此各小時有效降雨深度為

P0,P1,P2,P3=(1, 1, 0.5, 0.5) cmP_0,P_1,P_2,P_3=(1,\ 1,\ 0.5,\ 0.5)\ \mathrm{cm}

接著扣除基流，得到直接逕流歷線。0～4 小時扣除 5 cms5\ \mathrm{cms}；5～10 小時扣除 10 cms10\ \mathrm{cms}。

時間（hr）012345678910
直接逕流量（cms）02060951151501457535205

依序代入卷積式反算：

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第 二 題20 分

臺灣因地形陡峻、地質脆弱及地震頻繁等特性，豪雨時間容易挾帶巨量泥砂入庫，造成水庫淤積，因而經常造成枯水期供水的短缺。面對大自然越來越嚴峻的考驗，水庫的保育與管理已成為集水區經營重要的一個議題。

試述可經由哪些治理措施來達到減少水庫淤積之目的？

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核心觀念

本題考查集水區經營中的「水庫減淤」策略。治理重點是從泥砂來源、輸送途徑與水庫庫區三方面著手：在上游減少土砂產生與入流，在河道中攔阻或疏導泥砂，並在水庫內清除已淤積土砂或降低其沉積量。答題時宜依治理位置分類，並說明各措施如何發揮作用。

解題方法

依泥砂由集水區坡面產生、經溪流輸送、最後進入水庫沉積的流程，分成「源頭控制」、「河道攔砂與輸砂管理」及「水庫庫區減淤」三類，逐項說明其功能。實務上須依集水區地質、坡度、崩塌與土砂來源、河川輸砂特性、水庫運轉條件及生態影響，選擇並搭配措施。

治理措施

一、集水區源頭治理

  1. 崩塌地與裸露地治理 針對崩塌地、裸露坡面及沖蝕溝進行坡面穩定、排水、植生復育及適當的工程防護，減少坡面沖蝕與崩塌土砂進入溪流。治理應以穩定坡面、改善排水與恢復植生為主，避免只做局部構造物而忽略整體坡地排水。

  2. 溪流上游土砂源治理 對土砂供應量大的支流、野溪及沖蝕溝，辦理溪床穩定、岸坡保護、植生及必要的固床措施，減少溪床下切、岸坡崩塌與溝蝕所產生的土砂。

  3. 土地利用與開發管理 管制不當開發、濫墾及高風險坡地利用，落實水土保持計畫與施工期間的排水、裸露地防護和沉砂設施，避免人為活動增加泥砂產量。

  4. 集水區保育與監測 持續調查崩塌地、土砂來源及地形變化，結合雨量、河川水位與濁度監測，掌握高土砂輸出區域，作為治理排序及災後復建依據。

二、河道攔砂與輸砂管理

  1. 防砂壩、固床工及攔砂設施 於適當河段設置防砂壩或攔砂設施，攔蓄部分土砂、抑制溪床下切及穩定河床，降低下游輸砂量。設施須配合土砂清疏與維護；攔砂空間淤滿後，攔砂效果會降低，且須評估對河川連續性及生態的影響。

  2. 沉砂池與沉砂設施 在支流匯入口或適當位置設置沉砂池，降低流速，使較粗顆粒沉降後再定期清除，避免大量泥砂直接進入水庫。

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第 三 題20 分

掌握地下水流動特性對集水區的經營與管理是重要的工作之一。假設有一非拘限含水層（unconfined aquifer），其為一維 xx 方向之地下水穩態（steady-state）流動，且滿足 Dupuit assumption 條件。

該含水層其水力傳導係數（hydraulic conductivity）KK 與 xx 方向的座標滿足：

K=x−1K=x^{-1}

已知在座標 x=0 mx=0\ \mathrm{m} 其水力水頭（hydraulic head）為 h=1 mh=1\ \mathrm{m}；在座標 x=10 mx=10\ \mathrm{m} 其水力水頭為 h=11 mh=11\ \mathrm{m}。試推算此含水層水力水頭與 xx 方向之關係方程式？

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核心觀念

本題考查非拘限含水層在 Dupuit 假設下的穩態地下水流動方程。Dupuit 假設將流線視為近似水平，因此達西定律中的水力坡降可用水頭沿 xx 方向的梯度表示。對單位寬度含水層，流量為

q=−Khdhdxq=-Kh\frac{dh}{dx}

其中 KK 為水力傳導係數，hh 為水頭。穩態且沒有沿程補注或抽水時，qq 為常數，因此

ddx(Khdhdx)=0\frac{d}{dx}\left(Kh\frac{dh}{dx}\right)=0

解題方法

已知 K=x−1K=x^{-1}，代入穩態方程式：

ddx(hxdhdx)=0\frac{d}{dx}\left(\frac{h}{x}\frac{dh}{dx}\right)=0

積分一次，得

hxdhdx=C\frac{h}{x}\frac{dh}{dx}=C

其中 CC 為常數。整理並再次積分：

h dh=Cx dxh\,dh=Cx\,dx h22=Cx22+C1\frac{h^2}{2}=\frac{Cx^2}{2}+C_1
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第 四 題20 分

某一集水區由過去的調查得知，其入滲的水文過程可由 Horton 潛勢入滲（potential infiltration）公式合理推估。

假設此集水區在某一降雨事件，其延時為 5 小時及 10 小時的入滲量分別為 70.5 mm70.5\ \mathrm{mm} 和 98 mm98\ \mathrm{mm}，已知其入滲衰減係數 kk 值為 0.2 hour−10.2\ \mathrm{hour}^{-1}。試計算該集水區在此降雨事件中第 8 個小時的入滲率？

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核心觀念

Horton 潛勢入滲率公式描述入滲率隨時間衰減的過程：

f(t)=fc+(f0−fc)e−ktf(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}

其中，f(t)f(t) 為時間 tt 的入滲率，f0f_0 為初始入滲率，fcf_c 為最終入滲率，kk 為入滲衰減係數。本題給的是不同延時的累積入滲量，因此須先對入滲率積分，再利用兩筆累積入滲量求出 f0f_0 與 fcf_c。

解題方法

時間 TT 內的累積入滲量為：

F(T)=∫0Tf(t) dt=fcT+f0−fck(1−e−kT)F(T)=\int_0^T f(t)\,dt =f_cT+\frac{f_0-f_c}{k}\left(1-e^{-kT}\right)

令 A=(f0−fc)/kA=(f_0-f_c)/k，則 f0−fc=kAf_0-f_c=kA，累積入滲量可改寫為：

F(T)=fcT+A(1−e−kT)F(T)=f_cT+A(1-e^{-kT})

代入 k=0.2 hour−1k=0.2\ \mathrm{hour}^{-1}，以及 F(5)=70.5 mmF(5)=70.5\ \mathrm{mm}、F(10)=98 mmF(10)=98\ \mathrm{mm}：

5fc+A(1−e−1)=70.55f_c+A(1-e^{-1})=70.5 10fc+A(1−e−2)=9810f_c+A(1-e^{-2})=98

由第一式得：

A=70.5−5fc1−e−1A=\frac{70.5-5f_c}{1-e^{-1}}

代入第二式，解得：

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第 五 題20 分

試計算重現期距為 10 年的洪水，在未來 8 年發生洪水的機率？另試計算此重現期距（10 年）的洪水在 5 年內至少發生 3 次的機率？

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核心觀念

重現期距 T=10T=10 年的洪水，代表任一年發生該洪水或更大洪水的年超越機率為

p=1T=110=0.1p=\frac{1}{T}=\frac{1}{10}=0.1

因此，任一年未發生的機率為 1−p=0.91-p=0.9。假設各年洪水發生情形彼此獨立，則可用二項分配計算多年內的發生機率。

解題方法

未來 8 年發生洪水的機率

「未來 8 年發生洪水」指 8 年內至少發生一次。先計算 8 年都未發生的機率，再以 1 扣除：

P(至少發生一次)=1−P(8 年均未發生)=1−(1−p)8P(\text{至少發生一次}) =1-P(\text{8 年均未發生}) =1-(1-p)^8

代入 p=0.1p=0.1：

1−(0.9)8=1−0.43046721=0.569532791-(0.9)^8 =1-0.43046721 =0.56953279

故未來 8 年至少發生一次的機率約為 56.95%56.95\%。

5 年內至少發生 3 次的機率

令 XX 為 5 年內該洪水的發生次數，則 XX 服從二項分配：

X∼Binomial⁡(n=5,p=0.1)X\sim \operatorname{Binomial}(n=5,p=0.1)

題目要求 P(X≥3)P(X\geq 3)，可將發生 3、4、5 次的機率相加：

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