111 年經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員電機(一) 考古題與詳解

Question 1

有 $2$ 座火力發電廠 $P1$ 及 $P2$，其燃料成本函數（單位為元/$	ext{MWh}$）分別如下： $$C1(P1) = 400 + 6.0P1 + 0.004P1^2$$ $$C2(P2) = 500 + 6.8P2 + 0.002P2^2$$ 若忽略輸電線耗損，試求：（3 題，每題 5 分，共 15 分） (一) 當系統總負載 $P{	ext{D}} = P1 + P2 = 550	ext{ MW}$，在符合經濟調度下，$P1$ 及 $P2$ 發電廠之發電量各為多少？ (二) 假設 $P1$ 發電廠之發電量限制為 $50	ext{ MW} \le P1 \le 200	ext{ MW}$，$P2$ 發電廠之發電量限制為 $50	ext{ MW} \le P2 \le 400	ext{ MW}$，系統總負載 $P{	ext{D}} = P1 + P2 = 550	ext{ MW}$，在符合經濟調度下，$P1$ 及 $P2$ 發電廠之發電量各為多少？ (三) 請簡述電力系統經濟調度之目的？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查火力發電機組的「經濟調度」（Economic Dispatch）。在忽略輸電線耗損、且兩部機組均已投入運轉時，經濟調度的目標是：

\min \ C_1(P_1)+C_2(P_2)

並滿足功率平衡：

P_1+P_2=P_D

燃料成本函數對發電量的微分稱為「增量燃料成本」或「邊際成本」：

\frac{dC_i}{dP_i}

在沒有發電量上下限的情況下，經濟調度的必要條件為各機組邊際成本相等：

\frac{dC_1}{dP_1}=\frac{dC_2}{dP_2}

其中成本函數中的固定成本 $400$ 元及 $500$ 元不影響邊際成本，因此不影響已投入機組間的最佳發電分配。

解題方法

兩部發電廠的成本函數為：

C_1(P_1)=400+6.0P_1+0.004P_1^2

C_2(P_2)=500+6.8P_2+0.002P_2^2

其邊際成本分別為：

\frac{dC_1}{dP_1}=6.0+0.008P_1

\frac{dC_2}{dP_2}=6.8+0.004P_2

（一）無發電量限制時的經濟調度

系統負載為：

P_1+P_2=550

由經濟調度條件：

6.0+0.008P_1=6.8+0.004P_2

整理得：

0.008P_1-0.004P_2=0.8

兩邊同除以 $0.004$ ：

2P_1-P_2=200

聯立：

\begin{cases} 2P_1-P_2=200\\ P_1+P_2=550 \end{cases}

由第二式得：

P_2=550-P_1

代入第一式：

2P_1-(550-P_1)=200

3P_1=750

P_1=250\text{ MW}

因此：

P_2=550-250=300\text{ MW}

驗算兩部機組的邊際成本：

\frac{dC_1}{dP_1}=6.0+0.008(250)=8.0\text{ 元/MWh}

\frac{dC_2}{dP_2}=6.8+0.004(300)=8.0\text{ 元/MWh}

兩者相等，符合經濟調度條件。

（二）具有發電量上下限時的經濟調度

發電量限制為：

50\leq P_1\leq 200

50\leq P_2\leq 400

且：

P_1+P_2=550

Question 2

三相輸電線線路長度為 $40	ext{ 公里}$（短程輸電線路），每相輸電線路常數 $r = 0.15\ \Omega/	ext{km}$、$L = 1.3263	ext{ mH/km}$，受電端之電壓為 $220	ext{ kV}$，頻率為 $60	ext{ Hz}$，負載功率為 $381	ext{ MVA}$，功率因數為 $0.8$ 落後，試求（計算至小數點後第 1 位，以下四捨五入）：（2 題，每題 10 分，共 20 分） (一) 送電端之三相輸入功率。 (二) 電壓調整率（以百分比表示）。

Accepted Answer

核心觀念

本題為三相短程輸電線路，採用短線模型，忽略並聯電容，只考慮每相串聯阻抗：

Z=R+jX

其中：

線路電阻造成三相銅損
電感造成電壓降
負載功率因數為 $0.8$ 落後，表示受電端電流落後受電端電壓

三相負載輸入功率為：

P_R=S_R\cos\phi

三相線路損失為：

P_{\text{loss}}=3I^2R

電壓調整率定義為：

\text{電壓調整率} =\frac{|V_{R0}|-|V_R|}{|V_R|}\times 100\%

短線模型中，送電端電壓為：

\boldsymbol{V}_S=\boldsymbol{V}_R+\boldsymbol{I}Z

空載時電流為零，因此 $V_{R0}=V_S$ ，故可利用：

\text{電壓調整率} =\frac{|V_S|-|V_R|}{|V_R|}\times100\%

解題方法

一、計算每相線路阻抗

每相總電阻為：

R=0.15\times40=6.0\ \Omega

每相總電感為：

L=1.3263\times10^{-3}\times40 =0.053052\ \text{H}

電感抗為：

X_L=2\pi fL

X_L=2\pi(60)(0.053052) \approx20.0\ \Omega

因此每相線路阻抗為：

Z=6+j20\ \Omega

二、計算受電端電流

受電端三相線電流為：

I=\frac{S_R}{\sqrt{3}V_R}

代入：

I=\frac{381\times10^6} {\sqrt{3}(220\times10^3)} \approx999.9\ \text{A} \approx1000\ \text{A}

功率因數為 $0.8$ 落後，因此：

\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6

受電端電流相量可寫成：

\boldsymbol{I}=1000(0.8-j0.6) =800-j600\ \text{A}

（一）送電端之三相輸入功率

1. 受電端負載實功率

P_R=S_R\cos\phi

P_R=381(0.8)=304.8\ \text{MW}

2. 三相線路銅損

P_{\text{loss}}=3I^2R

P_{\text{loss}} =3(1000)^2(6) =18.0\times10^6\ \text{W} =18.0\ \text{MW}

3. 送電端輸入功率

送電端輸入功率等於受電端負載實功率加上線路損失：

Question 3

有一單相變壓器（$20	ext{ kVA}、8000/240	ext{ V}、60	ext{ Hz}$），其高壓側施作開路試驗及短路試驗，所得數據如下所列，試求（計算至小數點後第 6 位，以下四捨五入）：（2 題，共 15 分） 短路試驗：$P{	ext{sc}} = 240	ext{ W}、V{	ext{sc}} = 489	ext{ V}、I{	ext{sc}} = 2.5	ext{ A}$ 開路試驗：$P{	ext{oc}} = 400	ext{ W}、V{	ext{oc}} = 8000	ext{ V}、I{	ext{oc}} = 0.214	ext{ A}$ (一) 參考至高壓側等效電路之阻抗。（10 分） (二) 請繪出(一)之等效電路圖。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題利用單相變壓器的開路試驗與短路試驗，求出「折算至高壓側」的近似等效電路參數：

短路試驗：求串聯等效阻抗 $R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2',\qquad X_{\mathrm{eq}}=X_1+X_2'$
開路試驗：求並聯激磁支路參數 $R_c\parallel jX_m$

因為短路試驗電流為

$I_{\mathrm{sc}}=2.5\text{ A}=\frac{20\,000}{8000}\text{ A}$

正好等於高壓側額定電流，所以短路試驗數據可直接視為高壓側參考值。

解題方法

（一）求高壓側參考等效電路阻抗

1. 短路試驗求串聯支路

短路阻抗大小為

|Z_{\mathrm{eq}}| =\frac{V_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}} =\frac{489}{2.5} =195.600000\ \Omega

短路試驗功率主要為繞組銅損，因此串聯等效電阻為

R_{\mathrm{eq}} =\frac{P_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}^2} =\frac{240}{(2.5)^2} =38.400000\ \Omega

由

|Z_{\mathrm{eq}}|^2 =R_{\mathrm{eq}}^2+X_{\mathrm{eq}}^2

得

X_{\mathrm{eq}} =\sqrt{|Z_{\mathrm{eq}}|^2-R_{\mathrm{eq}}^2}

X_{\mathrm{eq}} =\sqrt{(195.6)^2-(38.4)^2} =191.793639\ \Omega

因此，高壓側參考串聯阻抗為

\boxed{ Z_{\mathrm{eq}} =38.400000+j191.793639\ \Omega }

其極座標形式為

\boxed{ Z_{\mathrm{eq}} =195.600000\angle 78.683\degree\ \Omega }

2. 開路試驗求並聯支路

開路試驗時，高壓側施加額定電壓，電流主要為鐵心激磁電流，功率主要為鐵損。

鐵心等效電阻為

R_c =\frac{V_{\mathrm{oc}}^2}{P_{\mathrm{oc}}} =\frac{(8000)^2}{400} =160000.000000\ \Omega

鐵損電流分量為

I_c =\frac{P_{\mathrm{oc}}}{V_{\mathrm{oc}}} =\frac{400}{8000} =0.050000\text{ A}

激磁電流分量為

I_m =\sqrt{I_{\mathrm{oc}}^2-I_c^2}

I_m =\sqrt{(0.214)^2-(0.05)^2} =\sqrt{0.043296} =0.208077\text{ A}

因此，激磁電抗為

X_m =\frac{V_{\mathrm{oc}}}{I_m} =\frac{8000}{0.208076909} =38447.322401\ \Omega

故並聯激磁支路為

\boxed{ R_c=160000.000000\ \Omega }

\boxed{ X_m=38447.322401\ \Omega }

若以阻抗表示：

Question 4

如【圖 1】所示，真空中一無限長之導線上有靜電流 $I$，試求通過導線附近長方形線圈（長為 $a$，寬為 $b$，距離為 $c$）之磁通量？（10 分） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 【圖 1】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查安培定律所得到的無限長直導線磁場，以及磁通量定義： $$ \mathbf{B}=\frac{\mu0 I}{2\pi r}\mathbf{a}{\phi} $$ 其中 $r$ 為距離無限長導線的垂直距離。磁通量定義為 $$ \Phi=\intS \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} $$ 圖中長方形線圈的長為 $a$，寬為 $b$，靠近導線的一側距離為 $c$。 --- 解題方法 設無限長導線沿 $z$ 軸，電流方向向上。線圈位於導線右側，其寬度方向為徑向距離 $r$，因此線圈範圍為 $$ c\le r\le c+b $$ 而沿導線方向的長度為 $a$。 由右手定則，線圈所在區域的磁場大小為 $$ B(r)=\frac{\mu0 I}{2\pi r} $$ 取面積微元 $$ dS=a\,dr $$ 故磁通量大小為 $$ \Phi=\intc^{c+b} B(r)\,a\,dr $$ 代入磁場公式： $$ \Phi =\intc^{c+b}\frac{\mu0 I}{2\pi r}a\,dr $$

Question 5

已知自由空間裡之球對稱電場分布如下， $$\vec{E} = \begin{cases} \vec{aR}\frac{Rho0}{\varepsilon0}, & R < b \ \vec{aR}\frac{b^3ho0}{R^2\varepsilon0}, & R b \end{cases}$$ 試求：（2 題，每題 10 分，共 20 分） (一) 在 $R < b$ 之電位 $V$。 (二) 儲存於電場之總能量 $W{	ext{e}}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查球對稱電場的： 1. 電位與電場的關係 $$\vec{E}=-
abla V$$ 球對稱下可寫成 $$ER=-\frac{dV}{dR}.$$ 2. 電場儲存能量 $$W{\mathrm e}=\frac{\varepsilon0}{2}\int{	ext{全空間}} E^2\,dv.$$ 由於題目未明確指定電位基準，採用標準設定： $$V(\infty)=0.$$ 本題為計算題，沒有選項需要逐一分析。 --- （一）求 $R<b$ 之電位 $V$ 第一步：先求球外電位 當 $Rb$ 時， $$ ER=\frac{b^3ho0}{R^2\varepsilon0}. $$ 由 $V(\infty)=0$， $$ V(R)=\intR^\infty ER(r)\,dr. $$ 因此 $$ V(R) =\intR^\infty \frac{b^3ho0}{r^2\varepsilon0}\,dr =\frac{b^3ho0}{\varepsilon0} \left[\frac{1}{R}ight]. $$ 所以球外電位為 $$ V(R)=\frac{b^3ho0}{\varepsilon0 R}, \qquad Rb. $$ 在球面 $R=b$ 上， $$ V(b)=\frac{b^3ho0}{\varepsilon0 b} =\frac{b^2ho0}{\varepsilon0}. $$ 第二步：由球面向內積分 當 $R<b$ 時， $$ ER=\frac{Rho0}{\varepsilon0}. $$ 利用 $$ V(R)-V(b)=\intR^b ER(r)\,dr, $$ 得 $$ V(R)-\frac{b^2ho0}{\varepsilon0} = \intR^b \frac{rho0}{\varepsilon0}\,dr. $$ 計算積分： $$ V(R)-\frac{b^2ho0}{\varepsilon0} = \frac{ho0}{\varepsilon0} \left[\frac{r^2}{2}ight]R^b = \frac{ho0}{2\varepsilon0}(b^2-R^2). $$ 因此 $$ \boxed{ V(R)=\frac{ho0}{\varepsilon0} \left(b^2-\frac{R^2}{2}ight), \qquad R<b } $$ 若電位基準不是取 $V(\infty)=0$，則上述結果再加上一任意常數。 --- （二）求電場儲存之總能量 $W{\mathrm e}$ 電場能量密度為 $$ u{\mathrm e}=\frac{\varepsilon0}{2}E^2. $$ 球座標體積元素為 $$ dv=4\pi R^2\…

Question 6

如【圖 2】所示，一磁路系統在中央分支鐵心有 $N = 400	ext{ 匝}$的線圈，流入 $I = 2	ext{ A}$ 之穩態電流，該鐵心的橫截面積為 $S = 10^{-3}\ (	ext{m}^2)$，相對導磁係數為 $\mu{	ext{r}} = 5000$，試求：（2 題，每題 10 分，共 20 分） 註：$\pi = 3.14159$，$\mu0 = 4\pi 	imes 10^{-7}$ (一) 中央分支磁通量 $\phi$（計算結果請以 $10^{-4}$ 表示，並計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入）。 (二) 空氣間隙磁場強度 $H$（計算結果請以 $10^5$ 表示，並計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 【圖 2】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查磁路中的安培定律、磁阻與磁通量計算。 磁動勢為 $$ \mathcal{F}=NI $$ 磁阻為 $$ \mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu S} $$ 其中鐵心導磁率為 $\mu0\mur$，空氣間隙導磁率近似為 $\mu0$。磁路關係式為 $$ NI=\phi \mathcal{R}{	ext{總}} $$ 中央分支磁通量為 $\phi$，通過左右兩側分支後分流，因此每一側回路磁通量為 $\phi/2$。 解題方法 由圖 2 可得： - 中央分支平均磁路長度：$0.24	ext{ m}$ - 空氣間隙長度：$g=2	ext{ mm}=0.002	ext{ m}$ - 中央分支鐵心長度： $$ \ellc=0.24-0.002=0.238	ext{ m} $$ - 每一側外圍回磁路長度： $$ \ells=0.2+0.24+0.2=0.64	ext{ m} $$ 兩側回磁路並聯，且兩側相同，因此其等效磁阻為單側磁阻的一半。 已知 $$ N=400,\qquad I=2	ext{ A} $$ $$ S=10^{-3}	ext{ m}^2,\qquad \mur=5000 $$ $$ \mu0=4\pi	imes10^{-7} =1.256636	imes10^{-6}	ext{ H/m} $$ 各部分磁阻 中央鐵心磁阻： $$ \mathcal{R}c =\frac{0.238}{\mu0\mur S} $$ 空氣間隙磁阻： $$ \mathcal{R}g =\frac{0.002}{\mu0S} $$ 單側回磁路磁阻： $$ \mathcal{R}s =\frac{0.64}{\mu0\murS} $$ 兩側並聯後： $$ \mathcal{R}{s,	ext{eq}} =\frac{\mathcal{R}s}{2} =\frac{0.32}{\mu0\murS} $$ 因此總磁阻為 $$ \mathcal{R}{	ext{總}} = \frac{0.238+0.32}{\mu0\murS} +\frac{0.002}{\mu0S} $$ 代入數值得

111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員電機(一) 國營事業聯招 -電力系統與電機機械、電磁學B 考古題詳解

第一題15 分

核心觀念

解題方法

（一）無發電量限制時的經濟調度

（二）具有發電量上下限時的經濟調度

第二題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算每相線路阻抗

二、計算受電端電流

（一）送電端之三相輸入功率

1. 受電端負載實功率

2. 三相線路銅損

3. 送電端輸入功率

第三題15 分

核心觀念

解題方法

（一）求高壓側參考等效電路阻抗

1. 短路試驗求串聯支路

2. 開路試驗求並聯支路

第四題10 分

第五題20 分

核心觀念

（一）求 $R<b$ 之電位 $V$

第一步：先求球外電位

第二步：由球面向內積分

（二）求電場儲存之總能量 $W_{\mathrm e}$

球內能量

第六題20 分

核心觀念

解題方法

各部分磁阻

其他考古題

111 年電機(一)的其他科目

電機(一)《國營事業聯招 -電力系統與電機機械、電磁學B》其他年度

111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 電機(一) 國營事業聯招 -電力系統與電機機械、電磁學B 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）無發電量限制時的經濟調度

（二）具有發電量上下限時的經濟調度

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算每相線路阻抗

二、計算受電端電流

（一）送電端之三相輸入功率

1. 受電端負載實功率

2. 三相線路銅損

3. 送電端輸入功率

第 三 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）求高壓側參考等效電路阻抗

1. 短路試驗求串聯支路

2. 開路試驗求並聯支路

第 四 題10 分

第 五 題20 分

核心觀念

（一）求 R<bR<bR<b 之電位 VVV

第一步：先求球外電位

第二步：由球面向內積分

（二）求電場儲存之總能量 WeW_{\mathrm e}We​

球內能量

第 六 題20 分

核心觀念

解題方法

各部分磁阻

其他考古題

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第一題15 分

第二題20 分

第三題15 分

第四題10 分

第五題20 分

（一）求 $R<b$ 之電位 $V$

（二）求電場儲存之總能量 $W_{\mathrm e}$

第六題20 分