110 台北自來水招考新進職員(工) 土木工程_四級工程師 北水甄試 四級工程師-土木工程(土木工程)專1 考古題詳解

核心觀念

本題考查空間桁架節點的三維力平衡。桿件皆為二力桿，因此各桿件對節點 $d$ 的作用力，均沿著該桿件軸線方向。

在節點 $d$ 必須滿足：

亦即：

假設桿件受拉為正，桿件受壓則計算結果為負值。

解題方法

依圖 1 的尺寸，先分別求出 $da$、$db$、$dc$ 三根桿件的方向單位向量，並將各桿件軸力分解為 $x$、$y$、$z$ 三方向分量。

節點 $d$ 的平衡式可寫為：

將三個方向的分量分別列式，形成三元一次聯立方程式：

核心觀念

分佈載重的合力 $R$ 作用位置，可利用載重圖形的形心位置求得：

其中分佈載重為

載重由 $x=0$ 處的 $0$，逐漸增加至 $x=L$ 處的 $q_0$。

解題方法

合力大小為分佈載重對 $x$ 軸下的面積：

對 $x=0$ 的力矩為：

核心觀念

本題考查「簡支梁受集中力作用時之撓曲線斜率」，並結合剛性連接桿的轉角關係。

圖 3 中，水平力 $P$ 作用於垂直桿頂端 $c$。由於垂直桿只傳遞水平力，簡支梁中點受到水平集中力 $P$；水平力對梁的彎曲效應，等效為中點的彎矩作用。題目所求為點 $c$ 的傾角，即中點截面的轉角。

解題方法

將簡支梁以中點切開，考慮左半跨 $a$ 至中點，長度為 $L/2$。

在中點施加水平力 $P$ 所造成的彎矩，其大小沿左半跨為線性分布。左半跨的彎矩可表示為

其中 $x$ 為自支承端 $a$ 起算的距離，範圍為

依梁的曲率關係

由支承端 $a$ 至中點的轉角為

因此

核心觀念

本題考查均質、 isotropic 彈性材料在：

1. 均勻水壓作用下的體積應變；
2. 溫度變化造成的熱膨脹；
3. 應變疊加原理。

圓柱體原始體積為

水中承受均勻靜水壓 $p_0$，三個方向的正應力皆為壓應力：

溫度由 $T$ 變為 $T_0$，因此

解題方法

依廣義虎克定律，任一方向的正應變為

代入三方向皆為 $-p_0$：

整理得

由於三方向相同，體積應變為三個線應變之和：

因此

體積變化量為

所以

若題目中的 $\alpha$ 採工程上通常使用的「線膨脹係數」，上述結果才是完整正確式。

核心觀念

本題考查牛頓第二運動定律，以及動摩擦力的計算。

箱體水平方向受力包括：

• 纜線張力 $T$
• 動摩擦力 $f_k=\mu_k N$
• 水平加速度 $a$

因纜線水平牽引，垂直方向無加速度，因此：

水平方向依牛頓第二定律：

解題方法

已知箱體速度：

加速度為速度對時間的一階導數：

當 $t=5\ \mathrm{s}$ 時：

動摩擦力：

代入 $\mu_k=0.2$、$m=20\ \mathrm{kg}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$：

水平方向列式：

因此：

核心觀念

本題考查兩端絞接壓桿的 Euler 挫曲公式。桿件承受軸向壓力時，必須同時滿足：

1. 軸向壓應力不得超過降伏應力；
2. 受壓桿的臨界挫曲荷載不得小於外加荷載。

圖 6 顯示桿長為 $L=300\ \text{mm}$，兩端絞接，因此有效長度係數 $K=1$。

解題方法

圓形實心桿的截面慣性矩為

兩端絞接壓桿的 Euler 臨界荷載為

題目給定：

為避免挫曲，令 $P_{cr}\geq P$：

整理得

題目指定以 $1\ \text{mm}$ 為直徑變化單位，因此必須取不小於 $7.72\ \text{mm}$ 的整數直徑：

此外，檢核降伏條件：

所需降伏面積為

核心觀念

本題考查爆炸過程中的「動量守恆定律」。岩石爆裂前若為靜止狀態，初動量為零；爆裂後三碎塊的總動量向量仍須為零：

動量公式為：

其中動量具有方向，必須以向量方式合成，不能只將速率直接相加。

解題方法

設三碎塊質量分別為：

取 $A$ 飛行方向為 $x$ 軸，$B$ 飛行方向為 $y$ 軸。因兩方向互相垂直：

• $A$ 碎塊動量大小：

• $B$ 碎塊動量大小：

由動量守恆，$C$ 碎塊的動量必須抵銷 $A$、$B$ 兩者的合動量。因此其動量分量大小分別為 $9m$ 與 $12m$。

由畢氏定理，三碎塊中 $C$ 的動量大小為：

故 $C$ 的速率為：

選項分析

核心觀念

本題考查「鋁材與黃銅芯軸向並聯受力」問題，兩種材料上下端共同承受壓力，因此具有：

1. 相同變形量 $\varepsilon_{\mathrm{Al}}=\varepsilon_{\mathrm{Br}}=\varepsilon$

2. 應力與彈性模數成正比

3. 總軸力為各材料分擔軸力之和 $P=\sigma_{\mathrm{Al}}A_{\mathrm{Al}}+\sigma_{\mathrm{Br}}A_{\mathrm{Br}}$

圖中 $50\ \mathrm{mm}$ 為鋁柱外半徑，$25\ \mathrm{mm}$ 為黃銅芯半徑，柱長為 $0.5\ \mathrm{m}=500\ \mathrm{mm}$。

解題方法

黃銅芯截面積為

鋁材為環形截面，其面積為

由於兩材料應變相同，可令共同壓縮應變為 $\varepsilon$，則

因此

代入數值：

核心觀念

本題考查圓管受扭時的剪應力分布，以及扭矩與剪應力的關係。

圓管受扭時：

其中：

• $\tau$：距圓心 $r$ 處的剪應力
• $T$：管內扭矩
• $J$：圓管極慣性矩
• $r$：該位置至圓心的距離

圓管的極慣性矩為：

由圖 9，兩個大小相等、方向相反的 $80\ \mathrm{N}$ 力形成力偶，力臂為：

因此管中央部分所受扭矩為：

解題方法

管之外直徑與內直徑分別為 $100\ \mathrm{mm}$、$80\ \mathrm{mm}$，故：

圓管極慣性矩：

外壁剪應力：

內壁剪應力：

核心觀念

本題考查土壤「標準夯實試驗」（Standard Proctor Test）的夯實能量。夯實能量定義為：

其中：

• $W_h$：夯錘重量
• $H$：夯錘落距
• $N_L$：夯實層數
• $N_B$：每層夯擊次數
• $V$：夯模體積

標準夯實試驗的典型試驗條件為：

• 夯錘質量：$2.5\ \mathrm{kg}$
• 落距：$30.5\ \mathrm{cm}=0.305\ \mathrm{m}$
• 夯實層數：$3$ 層
• 每層夯擊次數：$25$ 次
• 夯模體積：約 $944\ \mathrm{cm^3}=0.000944\ \mathrm{m^3}$

解題方法

先計算夯錘每次落下所作的功：

總夯擊次數為：

因此，單一試體所接受的總夯實功為：

除以夯模體積，得到單位體積夯實能量：

因為：

所以：

考試選項採用不同的重力加速度、落距或夯模標準值計算時，常四捨五入為約 $591\ \mathrm{kN\cdot m/m^3}$，故選擇最接近的數值。

選項分析

核心觀念

本題考查飽和土之臨界水力坡降。當向上滲流力恰好抵消土粒在水中的有效重力時，土體有效應力降至零，稱為臨界水力坡降 $i_c$。

臨界水力坡降公式為：

其中：

• $\gamma'$：土壤浮重度
• $\gamma_w$：水的單位重
• $\gamma_{\text{sat}}$：飽和土單位重

飽和土的浮重度為：

因此：

解題方法

題目給定：

取水的單位重：

代入公式：

核心觀念

淺基礎極限承載力常用 Terzaghi 公式表示為：

其中：

• $c$：土壤凝聚力
• $\phi$：土壤內摩擦角
• $q=\gamma D_f$：基礎底面以上土壤所造成的覆土壓力
• $\gamma$：土壤單位重
• $B$：基礎寬度
• $D_f$：基礎埋設深度
• $N_c、N_q、N_\gamma$：承載力因子

承載力因子主要是土壤內摩擦角 $\phi$ 的函數。例如：

$N_\gamma$ 亦依據 $\phi$ 決定。因此，承載力因子與土壤內摩擦角有關。

解題方法

本題的判斷重點在於區分「承載力因子」與「承載力公式中的其他參數」。

在公式中，$N_c、N_q、N_\gamma$ 是由土壤的剪力強度特性推導而來，主要取決於內摩擦角 $\phi$；而基礎埋深、土壤單位重及基礎寬度，是直接影響極限承載力數值的其他因素，並非承載力因子的決定因素。

選項分析

核心觀念

比重計分析是細粒土壤粒徑分析的方法，主要適用於粒徑小於約 $0.075\ \text{mm}$ 的土粒。其基本原理是：土粒均勻分散於水中後，較大土粒先沉降，較小土粒後沉降；在某一特定時間與深度，懸浮液中的土粒具有相對應的最大粒徑。

此方法利用土粒在水中沉降時的終端速度，並以斯篤克定律（Stokes law）建立沉降速度與土粒粒徑之間的關係。對球形土粒而言：

其中：

• $v$：土粒沉降速度
• $\rho_s$：土粒密度
• $\rho_w$：水的密度
• $g$：重力加速度
• $D$：土粒直徑
• $\mu$：水的動力黏度

由於沉降速度與粒徑平方成正比，因此可藉由沉降時間及比重計讀值，推算懸浮液中土粒的粒徑分布。

解題方法

判斷比重計分析的關鍵，在於掌握其核心操作：

1. 將細顆粒土壤與水充分混合，使土粒均勻懸浮。
2. 土粒受重力作用逐漸沉降。
3. 在不同時間讀取比重計的浮力或懸浮液密度。
4. 依據沉降時間與深度，計算相對應的土粒粒徑及通過百分比。

這是一種「以沉降速度推算粒徑」的分析方法，而描述細小球形顆粒在黏性流體中沉降行為的定律，就是斯篤克定律。

因此本題答案為斯篤克定律。

選項分析

(A) 達西定律（Darcy law）

錯誤。達西定律主要用於描述地下水或流體在多孔介質中的滲流關係，常見形式為：

核心觀念

本題考查土壤三相關係中的：

• 含水量 $w$
• 孔隙比 $e$
• 飽和度 $S_r$
• 乾土單位重 $\gamma_d$
• 土壤顆粒比重 $G_s$

關鍵公式為：

以及：

因此，飽和度可寫成：

其中 $\gamma_w$ 為水的單位重，取 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$。

解題方法

題目給出最佳含水量與最大乾土單位重，表示土樣在最佳含水量時，其乾土單位重為：

先由乾土單位重公式求孔隙比 $e$：

移項得：

代入數值：

最佳含水量為：

由含水量與飽和度關係式：

解得：

核心觀念

本題考查黏土礦物的晶體構造、比表面積、吸附水能力與膨脹特性。

黏土顆粒越細、比表面積越大，表面所帶電荷及吸附陽離子越多，吸附水能力越強。吸水後，水分子進入晶層間或包覆於顆粒表面，使土體體積增加，因而產生膨脹。

常用判斷關係為：

黏土礦物的膨脹性大致排列為：

解題方法

判斷各黏土礦物的膨脹性，主要看兩項：

1. 晶層構造及層間結合力。
2. 水分子能否進入晶層之間。

蒙脫土屬於 $2:1$ 型黏土礦物，由兩層矽氧四面體夾一層鋁氧八面體組成。其層間結合力較弱，水分子及交換性陽離子容易進入層間，使晶層間距增加，因此吸附水能力及膨脹性最強。

選項分析

(A) 蒙脫土（montmorillonite）

正確。

蒙脫土屬於膨潤土的主要礦物，為典型的膨脹性黏土，具有下列特性：

• 晶體構造為 $2:1$ 型。
• 比表面積大。
• 陽離子交換容量高。
• 層間結合力弱。
• 水分子容易進入層間。
• 吸水後晶層間距增加，體積膨脹顯著。

核心觀念

本題考查一維壓密理論中，達到相同壓密度所需時間與「最大排水路徑長度平方」成正比：

其中：

• $t$：壓密所需時間
• $T_v$：時間因子
• $H_d$：最大排水路徑
• $c_v$：壓密係數

實驗室試體與現地黏土層為相同土壤，且承受相同壓力增量，因此在達到相同壓密度 $U=50\%$ 時，$T_v$ 與 $c_v$ 可視為相同。故時間比可由排水路徑平方求得：

解題方法

1. 實驗室試體的排水路徑

實驗室試體厚度為 $25\ \mathrm{mm}$，採雙向排水，因此最大排水路徑為試體厚度的一半：

2. 現地黏土層的排水路徑

現地黏土層厚度為 $2.4\ \mathrm{m}$，採單向排水，因此最大排水路徑等於整個黏土層厚度：

3. 計算時間比

實驗室達到 $50\%$ 壓密度所需時間為 $30$ 分鐘，因此現地所需時間為：

核心觀念

本題考查細粒土壤的阿特堡限度（Atterberg limits）及塑性圖判讀。

• 液性限度：$LL$，土壤由塑性狀態轉為液性狀態的含水量。
• 塑性限度：$PL$，土壤由半固體狀態轉為塑性狀態的含水量。
• 塑性指數：$PI$

基本條件為 $LL>PL$。此外，天然細粒土壤的試驗結果應大致落在 Casagrande 塑性圖的上限線（U-line）以下。U-line 經驗式為：

若試驗結果位於 U-line 以上，代表該組 $LL$、$PL$ 數值組合不具合理性，須重新試驗檢視。

解題方法

逐一計算各選項的塑性指數，再與 U-line 比較：

並計算同一液性限度下的 U-line 上限值：

若：

則試驗結果不合理。

選項分析

(A) $LL=52$，$PL=24$

U-line 上限為：

因為：

結果位於 U-line 以下，合理。

(B) $LL=30$，$PL=11$

核心觀念

本題考查黏土開挖時，砂土中承壓水造成的「隆起（heave）」或「管湧」判定。

最大安全開挖深度的臨界條件為黏土與砂土交界面 $A$ 處的有效應力降為零：

其中：

• $\sigma_A$：剩餘黏土自重造成的總應力
• $u_A$：砂土承壓水在 $A$ 點造成的孔隙水壓
• 黏土飽和單位重：$\gamma_{\mathrm{sat}}=18\ \mathrm{kN/m^3}$
• 水的單位重：$\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$
• 承壓水頭：$3.6\ \mathrm{m}$

解題方法

開挖深度為 $H$，原有黏土厚度為 $9\ \mathrm{m}$，因此開挖後 $A$ 點上方剩餘黏土厚度為：

$A$ 點上方黏土所產生的總應力為：

由圖示，$A$ 點的承壓水水頭為 $3.6\ \mathrm{m}$，故孔隙水壓為：

臨界開挖深度時，$A$ 點有效應力為零：

解得：

核心觀念

本題考查等高線土方計算及辛普森法則。各等高線間距均為 $10\ \text{m}$，需計算高程 $100\ \text{m}$ 以上山丘土體的體積。

由圖可知，等高線由外而內高程依序為 $100、110、120、130、140\ \text{m}$；題目給定面積由內而外為：

• $140\ \text{m}$：$A_1=10\ \text{m}^2$
• $130\ \text{m}$：$A_2=60\ \text{m}^2$
• $120\ \text{m}$：$A_3=120\ \text{m}^2$
• $110\ \text{m}$：$A_4=240\ \text{m}^2$
• $100\ \text{m}$：$A_5=520\ \text{m}^2$

挖土至高程 $100\ \text{m}$，因此計算 $100\sim140\ \text{m}$ 間的土方體積。

解題方法

辛普森法則為：

本題共有 $4$ 個等高程間隔，符合辛普森法則使用條件。由低高程至高高程排列面積：

其中：

• 端點面積：$520、10$
• 奇數位置面積：$240、60$
• 偶數位置面積：$120$

代入 $h=10\ \text{m}$：

核心觀念

本題考查三角形角度觀測的條件平差與最或是值。

三角形三內角必須滿足條件：

各角的觀測平均值及觀測次數為：

觀測次數越多，平均值的精度越高，因此權重與觀測次數成正比：

在條件平差中，觀測值精度越高者，所分配的改正數絕對值越小。

解題方法

先計算觀測平均值的角度總和：

相較於三角形內角和 $180^\circ$，總和多出：

因此三個角的改正數總和必須為：

依最小二乘法，改正數與權重成反比，因此：

將其通分：

改正數總量為 $11''$，而比例總和為：

故各角改正數為：

所以角 $A$ 的最或是值為：

核心觀念

本題考查測量誤差傳播。長方形面積為

其中：

• 長度 $L=60.00\ \mathrm{m}$，中誤差 $m_L=0.02\ \mathrm{m}$
• 寬度 $W=30.00\ \mathrm{m}$，中誤差 $m_W=0.03\ \mathrm{m}$

當長、寬觀測值相互獨立時，面積中誤差可利用誤差傳播公式計算：

解題方法

由

得偏微分：

因此：