110 台北自來水招考新進職員(工) 機電類_技術士 北水甄試 技術士-機電類(基本電學、電機機械)專2 考古題詳解

核心觀念

本題考查帶電金屬球外部的電場強度。

在真空中，帶電金屬球外部的電場，等效於將全部電量集中在球心的點電荷所產生的電場。因此，距離球心 $r$ 處的電場強度為庫侖定律：

其中：

• $E$：電場強度，單位為 N/C
• $k$：真空中的庫侖常數，$k=9\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$
• $Q$：帶電量
• $r$：觀察點與球心的距離

本題觀察點距離球心 $3$ 公尺，而金屬球半徑為 $2$ 公尺，因為 $3>2$，觀察點位於球外，可以直接使用上述公式。

解題方法

已知：

代入電場強度公式：

先計算分子：

再除以 $r^2=9$：

因此，距離球心 $3$ 公尺處的電場強度為：

選項分析

核心觀念

本題考查電能與電費的計算：

• 電能： $E=Pt$
• 電費： $\text{電費}=\text{耗電量（度）}\times\text{每度電單價}$
• $1$ 度電等於 $1\text{ kWh}$，即功率為 $1\text{ kW}$ 的電器使用 $1$ 小時所消耗的電能。

解題方法

吹風機功率為 $1{,}200\text{ W}$，先換算為千瓦：

$1{,}200\text{ W}=1.2\text{ kW}$

使用時間為 $10$ 分鐘，換算為小時：

$10\text{ 分鐘}=\frac{10}{60}\text{ 小時}=\frac{1}{6}\text{ 小時}$

因此耗電量為：

$E=Pt=1.2\times\frac{1}{6}=0.2\text{ kWh}$

也就是消耗 $0.2$ 度電。每度電 $5$ 元，電費為：

$\text{電費}=0.2\times5=1\text{ 元}$

選項分析

核心觀念

本題考查兩線圈間的互感（Mutual Inductance）。當 A 線圈中的電流隨時間變化時，會造成磁通量變化，進而在相鄰的 B 線圈感應電勢。

互感電勢的大小為：

其中：

• $|e_B|$：B 線圈感應電勢，單位為 V
• $M$：A、B 兩線圈間的互感量，單位為 H
• $\Delta i_A$：A 線圈電流的變化量，單位為 A
• $\Delta t$：電流變化所需時間，單位為 s

題目未提供電流方向與線圈繞向，因此只計算互感量大小，不討論感應電勢的正負方向。

解題方法

A 線圈的電流由 $4$ A 變為 $6$ A，因此電流變化量為：

電流變化時間為 $3$ 秒，所以電流變化率為：

B 線圈感應電勢為 $10$ V，代入互感電勢公式：

解得：

核心觀念

電池供應負載時，電池的電動勢 $E$ 會分成兩部分：

1. 負載端電壓 $V$
2. 電池內電阻造成的壓降 $Ir$

因此，電池端電壓關係式為

整理得

其中：

• $E$：電池電動勢，單位為 V
• $V$：負載端電壓，單位為 V
• $I$：電池輸出電流，單位為 A
• $r$：電池內電阻，單位為 $\Omega$

解題方法

由題目第一組條件：

代入 $E=V+Ir$：

由題目第二組條件：

代入得：

因為同一顆電池的電動勢 $E$ 不變，所以令兩式相等：

移項整理：

再代回第一組條件：

因此，電池的電動勢為 $8$ V，內電阻為 $2\ \Omega$。

選項分析

• (A) $8$ V；$2\ \Omega$：正確。 代入第一組條件：

代入第二組條件：

完全符合題目條件。

核心觀念

本題考查庫侖定律：兩點電荷間的靜電力大小與電荷量乘積成正比，與兩電荷距離的平方成反比。

公式為

其中：

• $F$：兩電荷間的受力大小
• $k$：庫侖常數
• $Q_1、Q_2$：兩電荷量
• $r$：兩電荷間距離

本題中 $Q_1$、$Q_2$ 均未改變，因此受力只會隨距離平方反比變化。

解題方法

已知原本距離

受力

距離改變為

由庫侖定律的比例關係：

代入數值：

因此

所以距離由 $4$ 公分增加至 $6$ 公分後，受力變為 $4$ 牛頓。

選項分析

核心觀念

本題考查正相序三相交流電源採用 Y 型接線 時，線量與相量之間的關係。

Y 型接線的特性如下：

• 線電流等於相電流： $I_L=I_\phi$
• 線電壓為相電壓的 $\sqrt{3}$ 倍： $V_L=\sqrt{3}V_\phi$
• 正相序下，線電壓角度超前對應相電壓 $30^\circ$。

其中：

• 相電壓：相線對中性點的電壓，如 $V_{AN}$
• 線電壓：任兩條相線之間的電壓，如 $V_{AB}$

解題方法

設正相序三相相電壓為：

$V_{AN}=V_\phi\angle 0^\circ$

正相序下：

$V_{BN}=V_\phi\angle -120^\circ$

線電壓 $V_{AB}$ 為：

$V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}$

代入得：

$V_{AB}=V_\phi\angle 0^\circ-V_\phi\angle -120^\circ$

相量相減後，其大小與角度為：

$V_{AB}=\sqrt{3}V_\phi\angle 30^\circ$

因此：

$V_L=\sqrt{3}V_\phi$

且線電壓角度超前相電壓 $30^\circ$。

Y 型接線中，每一條線只通過該相負載，因此：

$I_L=I_\phi$

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

當負載電阻 $R_L$ 獲得最大功率時，必須滿足：

其中 $R_{\text{th}}$ 為從負載端看入的戴維寧等效電阻。最大功率為：

解題方法

先將 $R_L$ 移除，求負載端的戴維寧電壓 $V_{\text{th}}$。

移除 $R_L$ 後，電路中兩個 $8\Omega$ 電阻串聯接在 $16\text{ V}$ 電源兩端，因此電流為：

負載端的開路電壓為下方 $8\Omega$ 電阻上的電壓：

接著求戴維寧電阻。將理想電壓源 $16\text{ V}$ 失活，以短路代替，從 $R_L$ 端看入時，兩個 $8\Omega$ 電阻並聯：

因此最大功率傳輸時：

最大功率為：

核心觀念

本題考查直流穩態下電容器的特性：

• 電容器在直流穩態時視為開路，電流為 $0$。
• 因此，與電容器串聯的 $3\text{ mH}$ 電感支路不會有電流。
• 電感在穩態直流下可視為短路，但本題因電容器開路，該支路仍無法導通。

解題方法

開關 $S$ 閉合且達穩態後，電容器支路相當於開路，電路只剩下左側的 $4\Omega$ 電阻與右側的 $3\Omega$ 電阻串聯。

總電阻為

電路電流為

電容器上端電壓 $V_C$ 等於右側 $3\Omega$ 電阻兩端電壓，因此

選項分析

核心觀念

本題考查交流並聯電路的功率因數修正。

要使電源外部負載的功率因數 $\cos\theta=1$，表示負載總阻抗呈純電阻性，等效導納的虛部必須為零：

$B_{\text{總}}=0$

圖 9 中，負載包含：

• 電容器 $C$
• 電阻 $6\Omega$ 與感抗 $j8\Omega$ 串聯支路

電源角頻率為：

$\omega=1000\ \text{rad/s}$

解題方法

串聯 $R$-$L$ 支路阻抗為：

$Z_{RL}=6+j8\ \Omega$

其導納為：

因此，此支路的感性電納為：

$B_L=-0.08\ \text{S}$

電容器導納為：

$Y_C=j\omega C$

其容性電納為：

$B_C=\omega C$

功率因數為 1 時，感性與容性電納互相抵消：

$\omega C=0.08$

代入 $\omega=1000$：

$1000C=0.08$

$C=8\times10^{-5}\ \text{F}$

換算為微法拉：

核心觀念

本題考查並聯電路的節點電壓與基爾霍夫電流定律（KCL）。

三個支路皆接在同一對上下節點，因此各支路兩端電壓相同。設上節點相對下節點的電壓為 $V$，則：

• $6\,\Omega$ 電阻支路電流：$\dfrac{V}{6}$
• 右側含 $27\text{ V}$ 電壓源與 $3\,\Omega$ 電阻的支路，依圖中電壓源上端為正，向下電流為 $\dfrac{V-27}{3}$
• 左側電流源提供向上的 $3\text{ A}$ 電流

解題方法

在上方節點套用 KCL，流入電流等於流出電流：

兩邊同乘 $6$：

因此流過 $6\,\Omega$ 電阻的電流為：

核心觀念

本題考查兩個互感線圈串聯時的等效電感。串聯等效電感為：

• 串聯助磁： $L_{\text{eq}}=L_1+L_2+2M$
• 串聯反磁： $L_{\text{eq}}=L_1+L_2-2M$

其中：

• $L_1=16\text{ H}$
• $L_2=8\text{ H}$
• $M=3\text{ H}$

判斷加減號的關鍵，在於兩線圈的電流是否同時流入或流出同名端。圖中兩線圈的接法為串聯助磁，因此互感項取 $+2M$。

解題方法

代入串聯助磁公式：

因此 $ab$ 兩端的等效電感為 $30\text{ H}$。

選項分析

核心觀念

電容器儲存的電能為

其中：

• $W$：儲存能量，單位為焦耳（J）
• $C$：電容量，單位為法拉（F）
• $V$：電容器端電壓，單位為伏特（V）

在同一個電容器中，$C$ 為定值，因此儲能 $W$ 與電壓平方 $V^2$ 成正比：

解題方法

已知電容器接上 $40$ V 電壓時，儲存能量為 $32$ J。

由於電容量不變，可直接利用比例關係：

代入：

$72$ J 是電容器充電至 $60$ V 後的總儲能，題目問的是「增加之能量」，因此：

核心觀念

本題考查四環碳膜電阻色碼判讀，以及電阻器的容許誤差。

四環電阻的判讀方式如下：

1. 第 1 環：第一位有效數字
2. 第 2 環：第二位有效數字
3. 第 3 環：倍率
4. 第 4 環：容許誤差

常用色碼數值為：

• 黃：$4$
• 紫：$7$
• 黑倍率：$\times 10^0$
• 銀色容許誤差：$\pm 10\%$

解題方法

題目色環依序為黃、紫、黑、銀，因此標稱電阻值為：

銀色代表容許誤差 $\pm 10\%$，所以實際電阻值範圍為：

因此，使用數位電表量測時，讀值應落在約 $42.3\ \Omega$ 至 $51.7\ \Omega$ 之間。

各選項中，只有 $45.4\ \Omega$ 位於此範圍內，且其與標稱值的誤差為：

符合銀色環所代表的 $\pm 10\%$ 容許誤差。

選項分析

核心觀念

直流電動機效率定義為輸出功率與輸入功率之比：

本題給定：

• 輸出功率：$2.5\ \text{HP}$
• 輸入電壓：$230\ \text{V}$
• 輸入電流：$12.45\ \text{A}$

馬力換算採用：

直流電動機輸入電功率為：

解題方法

先計算電動機的機械輸出功率：

再計算輸入電功率：

因此效率為：

取選項所給的近似值：

選項分析

核心觀念

本題考查法拉第電磁感應定律：

其中：

• $e$：感應電勢，單位為伏特（V）
• $N$：線圈匝數
• $\Delta\phi$：磁通量的變化量，單位為韋伯（Wb）
• $\Delta t$：磁通量變化所需時間，單位為秒（s）

磁通量由 $0.6$ Wb 增加至 $1$ Wb，因此磁通量變化量為：

解題方法

將題目數據代入法拉第定律：

先計算磁通量的變化率：

因此：

核心觀念

本題考查電容器串聯時的電壓分配與耐壓限制。

電容器串聯具有以下特性：

1. 各電容器所帶電荷量大小相等： $Q_1=Q_2=Q$

2. 電容器兩端電壓為： $V=\frac{Q}{C}$

因此，串聯電容器的電壓與電容量成反比，電容量越小，分配到的電壓越高。

解題方法

設 $18\ \mu\text{F}$ 電容器兩端電壓為 $V_{18}$，$9\ \mu\text{F}$ 電容器兩端電壓為 $V_9$。

由於串聯時電荷量相同：

所以：

因此：

其中 $9\ \mu\text{F}$ 電容器的電容量較小，承受的電壓為較大者。其耐壓為 $110\text{ V}$，故串聯組合的最大安全工作狀態為：

此時：

串聯後的總耐壓為兩端電壓總和：

檢查另一顆電容器：

因此兩顆電容器均未超過額定耐壓，總耐壓為 $165\text{ V}$。

選項分析

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：

在圖 17 左上方節點，外部有 $8\text{ A}$ 與 $4\text{ A}$ 流入；流出該節點的電流為電流表 $A_1$ 與 $A_2$。

解題方法

針對左上方節點套用 KCL：

因此：

不必先分別求出 $A_1$、$A_2$，直接選取同時連接兩只電流表的節點即可快速求解。

選項分析

核心觀念

正弦波的波形因數（Form Factor）定義為：

對正弦波而言，若最大值為 $V_m$：

• 有效值：

• 平均整流值：

因此正弦波的波形因數為：

解題方法

直接套用波形因數公式：

正弦波的有效值約為最大值的 $0.707$ 倍，平均整流值約為最大值的 $0.637$ 倍，所以：

故正確選項為 (B)。

選項分析

核心觀念

本題考查金屬導體電阻與長度、截面積的關係：

其中：

• $R$：電阻值
• $\rho$：材料的電阻率
• $L$：導體長度
• $A$：導體截面積

導體均勻拉長且維持體積不變，因此：

若長度增加，截面積必須按相同比例減少。假設拉伸過程中材料與溫度不變，則電阻率 $\rho$ 維持不變。

解題方法

原導體長度與電阻值為：

拉長後：

長度變化倍數為：

由體積不變條件：

因此：

也就是說，拉長後截面積變為原來的 $\frac14$。

利用電阻公式取比值：

代入比例：

核心觀念

電壓表擴大量程時，必須在表內電阻外串聯一個「倍增電阻」，使電壓表滿刻度時通過的電流維持不變。

已知：

• 電壓表內電阻：$R_v=5\text{ k}\Omega$
• 原滿刻度電壓：$V_v=30\text{ V}$
• 擴大量程後滿刻度電壓：$V=300\text{ V}$

解題方法

先由原本的滿刻度條件求出電壓表滿刻度電流：

擴大至 $300\text{ V}$ 後，滿刻度電流仍為 $6\text{ mA}$，因此整體電阻應為：

整體電阻包含電壓表內電阻與串聯電阻 $R_s$：

因此應串聯 $45\text{ k}\Omega$ 電阻。

選項分析

• (A) $5\text{ k}\Omega$：錯誤。 串聯後總電阻為 $10\text{ k}\Omega$，滿刻度電流為 $6\text{ mA}$ 時，最大量測電壓僅為：

核心觀念

交流串聯 RLC 電路發生串聯諧振時，感抗與容抗大小相等、方向相反：

其中：

因此串聯諧振角頻率為：

串聯電阻 $R$ 只會影響諧振時的電流大小與品質因數，不影響理想串聯諧振的角頻率。

解題方法

已知：

代入串聯諧振角頻率公式：

所以外加電源的角頻率為 $50\ \text{rad/sec}$。

選項分析

核心觀念

串聯電阻與電感的等效阻抗為

其中：

• $R$：電阻值
• $X_L$：感抗
• $j$：虛數單位
• 電感的感抗公式為

題目給定串聯等效阻抗為

因此可直接判斷：

解題方法

由電感感抗公式：

代入題目條件 $f=60$ Hz、$X_L=37.7\ \Omega$：

因此

取 $\pi\approx 3.14$：

所以電感值為

選項分析

• (A) $0.1$：正確。 代入 $X_L=2\pi fL$：

與題目給定的虛部 $j37.7\ \Omega$ 相符。

核心觀念

本題考查三相平衡電路中，三角形（$\Delta$）負載的等效轉換與相電流、線電流的關係。

圖中：

• 輸入線電壓：$V_L=210\sqrt{3}\text{ V}$
• 每相負載阻抗：$Z_L=9+j24\ \Omega$
• 每條輸電線串聯電阻：$3\ \Omega$
• $I_P$ 為三角形負載其中一相的相電流

三角形負載轉換為星形負載時：

解題方法

將三角形負載等效為星形負載後，每一相的總阻抗為：

其阻抗大小為：

輸入線電壓為 $210\sqrt{3}\text{ V}$，因此相電壓為：

星形等效電路中的線電流為：

核心觀念

本題考查電源的電動勢、內電阻與端電壓之關係：

• 開關 $S$ 打開時，理想電壓表不取電流，因此無電壓降，量得電源電動勢： $e=12\text{ V}$
• 開關 $S$ 閉合時，外接 $5\Omega$ 電阻形成負載，電壓表量得電源端電壓： $V=1\text{ V}$
• 電源端電壓公式為： $V=e-Ir$

解題方法

開關閉合時，$5\Omega$ 電阻兩端電壓為 $1$ V，因此負載電流為：

套用端電壓公式：

整理得：

所以：

選項分析

• (A) $50\Omega，11\text{ V}$：錯誤。 開關打開時電壓表讀值為 $12$ V，故電動勢應為 $12$ V，而非 $11$ V；

核心觀念

本題考查電容器的基本關係式：

其中：

• $Q$：電荷量，單位為庫侖（C）
• $C$：電容量，單位為法拉（F）
• $V$：電容器端電壓，單位為伏特（V）

定電流充電時，電荷量為：

因此電容量可由下式求得：

解題方法

充電時間為：

定電流為：

故兩個電容器所充入的電荷量相同：

對 $C_1$ 而言，端電壓為 $V_1=300$ V：

對 $C_2$ 而言，端電壓為 $V_2=200$ V：

並聯總電容量：

串聯總電容量：

核心觀念

本題考查直流電機中「機械角」與「電機角」的換算關係。

電機角與電機極數有關，其公式為：

其中：

• $\theta_e$：電機角
• $\theta_m$：機械角
• $P$：磁極數
• $\frac{P}{2}$：極對數

轉子旋轉一圈代表機械角：

解題方法

本題為 $8$ 極直流電機，因此極對數為：

轉子旋轉一圈時：

因此，轉子旋轉一圈所對應的電機角為 $1440^\circ$。

選項分析

核心觀念

本題考查變壓器阻抗標么值（per-unit impedance）與實際阻抗的換算。

阻抗標么值定義為：