110 臺灣菸酒招考從業職 機械 機械設計 考古題詳解

110 年・臺灣菸酒招考・從業職・機械
試題代碼 110年台菸酒從業職員 機械 (機械設計)

第 第一題 題25 分

如【圖一】所示之鋼架，此鋼架以 4 支 M12\text{M}12 之螺栓（節距 p=1.75 mmp = 1.75\text{ mm}、節圓直徑 10.863 mm10.863\text{ mm}）鎖固於垂直牆面上，且螺栓事先鎖緊產生之預負荷為 7500 N7500\text{ N}。若螺栓之降伏強度 Sy=480 MPaS_y = 480\text{ MPa}，螺栓根部面積視為應力作用面積，安全因數 Fs=2.0F_s = 2.0，請回答下列問題：

（一）螺栓牙根（root）直徑為何？［提示：牙根直徑 == 節圓直徑 −12×0.866p- \frac{1}{2} \times 0.866p］【3 分】 （二）螺栓根部面積為何？【3 分】 （三）螺栓 1 與螺栓 2 所受拉力的比值 F1/F2F_1 / F_2 為何？【3 分】 （四）若在負荷 F=10,000 NF = 10{,}000\text{ N} 的作用下，最大拉力發生在哪一支螺栓？最大拉應力的值［MPa\text{MPa}］為何？【5 分】 （五）若在負荷 F=10,000 NF = 10{,}000\text{ N} 的作用下，最大剪力發生在哪一支螺栓？其剪應力的值［MPa\text{MPa}］為何？【5 分】 （六）若在負荷 F=10,000 NF = 10{,}000\text{ N} 的作用下，應用最大剪應力準則，螺栓是否安全？【6 分】

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核心觀念

本題考查：

  • 公制螺紋牙根直徑與有效受力面積。
  • 偏心負荷造成的彎矩。
  • 螺栓群承受彎矩時，各螺栓拉力按距離中性軸的比例分配。
  • 直接剪力平均分配至各螺栓。
  • 最大剪應力準則：
τmax⁡=(σb2)2+τt2\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_b}{2}\right)^2+\tau_t^2}

允許最大剪應力為：

τallow=Sy2Fs\tau_{\text{allow}} = \frac{S_y}{2F_s}

（一）螺栓牙根直徑

題目提示：

dr=dp−12(0.866p)d_r=d_p-\frac{1}{2}(0.866p)

代入 dp=10.863 mmd_p=10.863\text{ mm}、p=1.75 mmp=1.75\text{ mm}：

dr=10.863−12(0.866)(1.75)d_r = 10.863-\frac{1}{2}(0.866)(1.75) dr=10.105 mmd_r=10.105\text{ mm}

【答案】

dr≈10.105 mm\boxed{d_r\approx 10.105\text{ mm}}

（二）螺栓根部面積

根部面積視為圓形受力面積：

Ar=π4dr2A_r=\frac{\pi}{4}d_r^2 Ar=π4(10.105)2≈80.20 mm2A_r = \frac{\pi}{4}(10.105)^2 \approx 80.20\text{ mm}^2

【答案】

Ar≈80.20 mm2\boxed{A_r\approx 80.20\text{ mm}^2}

（三）螺栓 1 與螺栓 2 所受拉力比值

負荷 FF 對牆面的偏心距離為 400 mm400\text{ mm}，因此產生彎矩：

M=F(400)M=F(400)

螺栓 1、2 分別位於上、下兩排，兩排間距為 150 mm150\text{ mm}，故相對於螺栓群中心：

y1=+75 mm,y2=−75 mmy_1=+75\text{ mm},\qquad y_2=-75\text{ mm}

螺栓受彎矩所產生的拉力與距離 yy 成正比：

F1F2=∣y1∣∣y2∣=7575=1\frac{F_1}{F_2} = \frac{|y_1|}{|y_2|} = \frac{75}{75}=1

因此，螺栓 1、2 所承受的彎矩分量大小相等、方向相反；螺栓 1受拉，螺栓2的彎矩分量受壓。

【答案】

F1F2=1\boxed{\frac{F_1}{F_2}=1}

（四）最大拉力與最大拉應力

1. 彎矩造成的螺栓拉力

螺栓群受彎矩時：

Fi=Myi∑yj2F_i=\frac{My_i}{\sum y_j^2}

四支螺栓中，兩支上排、兩支下排，因此：

∑yj2=4(75)2=22500 mm2\sum y_j^2 = 4(75)^2 = 22500\text{ mm}^2

外力造成的上排單支螺栓拉力為：

ΔF1=(10000)(400)(75)22500=13333 N\Delta F_1 = \frac{(10000)(400)(75)}{22500} = 13333\text{ N}

2. 加上預負荷

每支螺栓原有預負荷 7500 N7500\text{ N}，故上排螺栓 1、3 的總拉力為：

Fmax⁡=7500+13333=20833 NF_{\max} = 7500+13333 = 20833\text{ N}

下排螺栓的計算值為：

7500−13333=−5833 N7500-13333=-5833\text{ N}
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第 第二題 題25 分

長 500 mm500\text{ mm}、直徑為 DD 之實心圓軸，一端固接（fixed）於牆壁，另一端受到集中力 P=10 kNP = 10\text{ kN} 作用於 150 mm150\text{ mm} 剛性桿（不考慮強度及變形）的末端，剛性桿鎖固於圓桿末端，如【圖二】所示。此實心圓軸為延性材料，降伏強度 Sy=620 MPaS_y = 620\text{ MPa}，安全因數 Fs=2.0F_s = 2.0，請回答下列問題：

（一）請畫出 XZ 平面的剪力圖（Shear force diagram）。【4 分】 （二）最大剪力（Shear force）［kN\text{kN}］及發生在何處？【3 分】 （三）請畫出 XZ 平面的彎矩圖（moment diagram）。【4 分】 （四）最大彎矩（moment）［kN⋅m\text{kN}\cdot\text{m}］及發生在何處？【3 分】 （五）請畫出 XZ 平面的扭矩圖（torque diagram）。【4 分】 （六）最大扭矩（torque）［kN⋅m\text{kN}\cdot\text{m}］及發生在何處？【3 分】 （七）若應用最大剪應力準則進行設計，所需的軸徑大小［mm\text{mm}］為何？【4 分】

【可以參考最大剪應力公式：τmax⁡=0.5×SyFs=(σx2)2+(τxy)2\tau_{\max} = \frac{0.5 \times S_y}{F_s} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + (\tau_{xy})^2}，其中 τmax⁡\tau_{\max} 為最大剪應力，SyS_y 為降伏應力，FsF_s 為安全因數，σx\sigma_x 為彎曲應力，τxy\tau_{xy} 為扭轉剪應力】

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核心觀念

本題是「懸臂圓軸同時承受橫向集中力與扭矩」的設計題，考查：

  • 剪力圖與彎矩圖
  • 扭矩圖
  • 懸臂軸的最大內力位置
  • 圓實心軸的彎曲應力與扭轉剪應力
  • 最大剪應力準則（Tresca 準則）

由圖可知：

  • 圓軸長度：L=500 mm=0.5 mL=500\text{ mm}=0.5\text{ m}
  • 端部集中力：P=10 kNP=10\text{ kN}
  • 剛性桿長度：r=150 mm=0.15 mr=150\text{ mm}=0.15\text{ m}

集中力對圓軸造成：

  1. XZXZ 平面的彎曲作用
  2. 繞圓軸軸線的扭轉作用

解題方法

取圓軸軸向為 XX 軸，固定端為 AA，自由端為 BB。

由於外力 PP 集中作用於自由端：

  • 剪力沿全長為常數
  • 彎矩由自由端的零值，線性增加至固定端最大值
  • 扭矩沿全長為常數

（一）XZXZ 平面的剪力圖

在任意截面左側或右側取自由體，截面所承受的剪力大小皆為外力 PP：

V=P=10 kNV=P=10\text{ kN}

因此剪力圖為矩形圖，從固定端 AA 到自由端 BB，剪力大小皆為 10 kN10\text{ kN}。

若依常用正負號繪製，整條圖可標示為 −10 kN-10\text{ kN}；若採反向內力符號，則標示為 +10 kN+10\text{ kN}。重要的是圖形為全長常值，大小為 10 kN10\text{ kN}。

（二）最大剪力及發生位置

Vmax⁡=P=10 kNV_{\max}=P=10\text{ kN}

最大剪力發生於圓軸全長各截面，固定端 AA 附近亦為 10 kN10\text{ kN}。

（三）XZXZ 平面的彎矩圖

距固定端 AA 為 xx 的截面，其右側力臂為 L−xL-x，因此：

M(x)=P(L−x)M(x)=P(L-x)

在自由端 BB：

MB=0M_B=0

在固定端 AA：

MA=PLM_A=PL

代入數值：

MA=(10)(0.5)=5 kN⋅mM_A=(10)(0.5)=5\text{ kN}\cdot\text{m}

因此彎矩圖為三角形：

  • 自由端 BB：00
  • 固定端 AA：5 kN⋅m5\text{ kN}\cdot\text{m}
  • 沿軸向呈線性變化

（四）最大彎矩及發生位置

Mmax⁡=PLM_{\max}=PL Mmax⁡=10×0.5=5 kN⋅mM_{\max}=10\times0.5 =5\text{ kN}\cdot\text{m}

最大彎矩發生於固定端 AA。

（五）XZXZ 平面的扭矩圖

剛性桿長度為 150 mm150\text{ mm}，集中力對圓軸軸線產生扭矩：

T=PrT=Pr

代入：

T=(10)(0.15)=1.5 kN⋅mT=(10)(0.15) =1.5\text{ kN}\cdot\text{m}

由於外力作用於圓軸自由端，內部扭矩沿圓軸全長皆相同，因此扭矩圖為矩形圖：

  • 固定端 AA：1.5 kN⋅m1.5\text{ kN}\cdot\text{m}
  • 自由端 BB：1.5 kN⋅m1.5\text{ kN}\cdot\text{m}

（六）最大扭矩及發生位置

Tmax⁡=PrT_{\max}=Pr Tmax⁡=10×0.15=1.5 kN⋅mT_{\max}=10\times0.15 =1.5\text{ kN}\cdot\text{m}

最大扭矩發生於圓軸全長各截面。

（七）依最大剪應力準則求軸徑

1. 容許最大剪應力

最大剪應力準則給定：

τmax⁡=0.5SyFs\tau_{\max} = \frac{0.5S_y}{F_s}
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第 第三題 題25 分

一個減速齒輪組如【圖三】所示，全部齒輪為模數 m=5m = 5 的正齒輪，輸入端的馬力為 1 kW1\text{ kW}、轉速為 1800 rpm1800\text{ rpm}，由軸 1 輸入帶動，其中 T1∼T4T_1 \sim T_4 的齒數分別為 15、45、20、80 齒，若不考慮動力及能量的損失，請回答下列問題：

（一）軸 1、軸 2 之間的距離 L1 [mm]L_1\text{ [mm]} 及軸 2、軸 3 之間的距離 L2 [mm]L_2\text{ [mm]} 分別為何？【5 分】 （二）軸 2、軸 3 的轉速［rpm\text{rpm}］分別為何？【5 分】 （三）軸 1、軸 2、軸 3 的扭力［N⋅m\text{N}\cdot\text{m}］分別為何？【6 分】 （四）整體減速齒輪組的減速比為何？【4 分】 （五）按照機械設計的概念，若軸 1、軸 2、軸 3 使用同一種材料，則所需要的直徑尺寸由小至大的順序為何？原因為何？【5 分】

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核心觀念

本題考查兩級正齒輪減速機的：

  • 正齒輪節圓直徑：d=mzd=mz
  • 齒輪中心距：兩節圓半徑相加
  • 齒輪嚙合轉速比：n1z1=n2z2n_1z_1=n_2z_2
  • 無損傳動時，各軸傳遞功率相同
  • 扭力公式： T=9550PnT=\frac{9550P}{n} 其中 TT 為 N⋅m\text{N}\cdot\text{m}、PP 為 kW\text{kW}、nn 為 rpm\text{rpm}。
  • 軸徑設計須依扭轉強度決定，實心圓軸在相同材料及許可剪應力下有： d∝T1/3d\propto T^{1/3}

（一）軸間距離 L1L_1、L2L_2

正齒輪節圓直徑為：

d=mzd=mz

第一級齒輪：

d1=5(15)=75 mmd_1=5(15)=75\text{ mm}

d2=5(45)=225 mmd_2=5(45)=225\text{ mm}

因此軸 1、軸 2 間距為：

L1=d1+d22=75+2252=150 mmL_1=\frac{d_1+d_2}{2} =\frac{75+225}{2} =150\text{ mm}

第二級齒輪：

d3=5(20)=100 mmd_3=5(20)=100\text{ mm}

d4=5(80)=400 mmd_4=5(80)=400\text{ mm}

因此軸 2、軸 3 間距為：

L2=d3+d42=100+4002=250 mmL_2=\frac{d_3+d_4}{2} =\frac{100+400}{2} =250\text{ mm}

（二）軸 2、軸 3 的轉速

齒輪嚙合時，兩齒輪節圓的切線速度相同，因此：

naza=nbzbn_a z_a=n_b z_b

第一級傳動：

n1z1=n2z2n_1z_1=n_2z_2

1800(15)=n2(45)1800(15)=n_2(45)

n2=600 rpmn_2=600\text{ rpm}

第二級傳動：

n2z3=n3z4n_2z_3=n_3z_4

600(20)=n3(80)600(20)=n_3(80)

n3=150 rpmn_3=150\text{ rpm}

（三）軸 1、軸 2、軸 3 的扭力

輸入功率為：

P=1 kWP=1\text{ kW}

軸 1 扭力：

T1=9550(1)1800=5.31 N⋅mT_1=\frac{9550(1)}{1800} =5.31\text{ N}\cdot\text{m}

因為不考慮能量損失，軸 2 傳遞相同功率：

T2=9550(1)600=15.92 N⋅mT_2=\frac{9550(1)}{600} =15.92\text{ N}\cdot\text{m}

軸 3 扭力：

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第 第四題 題25 分

如【圖四】所示之吊環，採用 E6010 銲條（降伏強度 Sy=50,000 psi=345 MPaS_y = 50{,}000\text{ psi} = 345\text{ MPa}）進行填角銲（Fillet welding），左側兩面皆為 10 mm10\text{ mm} 填角銲、右側兩面皆為 8 mm8\text{ mm} 填角銲，假設銲接抵抗力矩的能力與該銲道形心（Centroid）之距離成正比，安全因數 Fs=2.0F_s = 2.0，請回答下列問題：

（一）所有銲道的總喉部面積［mm2\text{mm}^2］為何？［提示：喉部面積 == 銲道寬度 ×\times 銲道長度 ×12\times \frac{1}{\sqrt{2}}］【6 分】 （二）全部銲道的形心位置［mm\text{mm}］為何？【6 分】 （三）銲道總極慣性矩 J [mm4]J\text{ [mm}^4\text{]} 為何？［提示：極慣性矩 J=A⋅(L212+r2)J = A \cdot \left(\frac{L^2}{12} + r^2\right)，其中 AA 為該銲道的喉部面積、LL 為該銲道長度、rr 為該銲道與全部銲道形心的距離］【6 分】 （四）容許靜負荷 P [N]P\text{ [N]} 為何？【7 分】

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核心觀念

本題考查偏心負荷作用下之填角銲道分析，使用：

  • 填角銲有效喉厚：t=w2t=\dfrac{w}{\sqrt{2}}
  • 銲道群形心： xˉ=∑Aixi∑Ai\bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}
  • 銲道群極慣性矩： J=∑Ai(Li212+ri2)J=\sum A_i\left(\frac{L_i^2}{12}+r_i^2\right)
  • 最大剪應力由直接剪力與偏心力矩造成之剪應力疊加而得。

取中央垂直線為 x=0x=0，左側為負、右側為正。左右銲道長度均為 100 mm100\text{ mm}，其形心位置分別為：

xL=−150 mm,xR=150 mmx_L=-150\text{ mm},\qquad x_R=150\text{ mm}

每側各有兩條銲道。

（一）所有銲道的總喉部面積

左側每條銲道之喉部面積：

AL=100(10)12=10002 mm2A_L=100(10)\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1000}{\sqrt{2}}\text{ mm}^2

右側每條銲道之喉部面積：

AR=100(8)12=8002 mm2A_R=100(8)\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{800}{\sqrt{2}}\text{ mm}^2

左右各有兩條，因此總喉部面積為：

A=2AL+2AR=2(10002)+2(8002)A=2A_L+2A_R =2\left(\frac{1000}{\sqrt{2}}\right) +2\left(\frac{800}{\sqrt{2}}\right) A=18002=2545.6 mm2\boxed{A=1800\sqrt{2}=2545.6\text{ mm}^2}

（二）全部銲道的形心位置

由面積加權平均：

xˉ=2AL(−150)+2AR(150)2AL+2AR\bar{x} =\frac{2A_L(-150)+2A_R(150)} {2A_L+2A_R}

代入 AL=10002A_L=\dfrac{1000}{\sqrt{2}}、AR=8002A_R=\dfrac{800}{\sqrt{2}}：

xˉ=−300000+2400003600=−16.667 mm\bar{x} =\frac{-300000+240000}{3600} =-16.667\text{ mm}

因此銲道群形心位於中央垂直線左側：

xˉ=−16.67 mm\boxed{\bar{x}=-16.67\text{ mm}}

若以中央垂直線為基準，形心向左偏移 16.67 mm16.67\text{ mm}。

（三）銲道總極慣性矩 JJ

左側銲道形心至總形心之距離：

rL=∣−150−(−16.667)∣=133.333 mmr_L=|-150-(-16.667)| =133.333\text{ mm}

右側銲道形心至總形心之距離：

rR=∣150−(−16.667)∣=166.667 mmr_R=|150-(-16.667)| =166.667\text{ mm}

每條銲道長度皆為 L=100 mmL=100\text{ mm}，故：

J=2AL(100212+rL2)+2AR(100212+rR2)J =2A_L\left(\frac{100^2}{12}+r_L^2\right) +2A_R\left(\frac{100^2}{12}+r_R^2\right)
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