110 臺灣菸酒招考評價職 鍋爐 機械鍋爐 (工程力學) 考古題詳解

核心觀念

本題考查工程力學中「力學基本量」與「運動學量」的區別。

在靜力學的基本觀念中，通常以以下量描述物體及其受力狀態：

• 空間（Space）：描述物體的位置與幾何尺寸。
• 時間（Time）：描述事件發生的先後及變化過程。
• 質量（Mass）：表示物體慣性大小。
• 力（Force）：表示物體間的作用，可造成物體平衡狀態改變或變形。

而**速度（Velocity）**是描述物體位置隨時間變化快慢的運動學物理量，屬於由空間與時間所導出的量，不是力學基本量。

速度定義為：

其中 $\mathbf{r}$ 為位置向量，$t$ 為時間。因此速度是由空間和時間推導而來的量。

解題方法

判斷各選項是否屬於力學的基本描述量。凡是用來描述位置、時間、物體特性或物體間作用的量，屬於基本觀念；若是由基本量經微分或其他關係式推導而得，則不屬於基本量。

速度必須由位移對時間微分求得：

核心觀念

本題考查力的向量分類，以及剛體力學中的「力之可傳性原理」。

力具有大小、方向與作用線。對於剛體而言，若將力沿其作用線移動，雖然作用點改變，但對剛體所產生的外效應，包括平移與轉動效應，均不變。因此，在不考慮物體內部應力、應變等內效應時，力可視為滑動向量。

其判斷依據為：

若力的作用點沿同一作用線移動，位置向量可表示為：

則相對於點 $O$ 的力矩為：

因為 $\mathbf{F}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$，故力沿作用線移動時，對剛體的外部力學效應不變。

解題方法

本題可直接利用向量分類定義判斷：

核心觀念

本題考查「壓力」的定義與單位。

壓力是作用在單位面積上的垂直作用力，定義為

其中 $p$ 為壓力、$F$ 為垂直作用力、$A$ 為受力面積。國際單位制中，壓力的基本單位為帕斯卡（Pa）：

因此，壓力單位必須具有「力／面積」的形式。

解題方法

逐一檢查各選項的單位是否屬於力除以面積：

• 若單位可表示為 $\text{力}/\text{面積}$，即為壓力單位。
• 若單位為力乘以長度，則代表功、能量或力矩，不是壓力單位。

選項分析

(A) $\text{psi}$

$\text{psi}$ 是 pounds per square inch 的縮寫，表示「磅力／平方英吋」：

其形式為力除以面積，屬於壓力單位。此選項正確。

(B) $\text{kg/cm}^2$

工程實務中所稱的 $\text{kg/cm}^2$，通常是 $\text{kgf/cm}^2$ 的省略寫法，表示「公斤力／平方公分」：

核心觀念

本題考查功與能的基本定義，以及轉動力學中的慣性矩、角動量與動能。

1. 功的定義為 $W=\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos\theta$ 其中 $\theta$ 為力與位移的夾角。功是純量，不是向量。

2. 功可為正、負或零：

• $\theta<90^\circ$：正功
• $\theta>90^\circ$：負功
• $\theta=90^\circ$：功為零

3. 花式溜冰選手伸展或收回四肢時，會改變轉動慣性矩 $I$。若外力矩可忽略，角動量守恆： $L=I\omega=\text{定值}$ 但轉動動能為 $K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{L^2}{2I}$ 因此當 $I$ 改變時，動能通常也會改變。

4. 功與能均以焦耳（J）為單位，因次皆為 $[ML^2T^{-2}]$

解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述定義與公式。關鍵在於區分「功與方向有關」和「功是向量」並不等價，以及判斷改變慣性矩時動能是否保持不變。

選項分析

(A) 錯誤

功的大小確實與力和位移的夾角有關：

$W=Fs\cos\theta$

但功是力與位移的內積，結果為純量，因此功是純量，不是向量。選項以「功與方向有關」推論「功為向量」，推論錯誤。

(B) 正確

由 $W=Fs\cos\theta$

可知：

• 力與位移同方向時，$\cos\theta>0$，所做的是正功；
• 力與位移反方向時，$\cos\theta<0$，所做的是負功。

核心觀念

本題考查力對 $z$ 軸的力矩。力矩向量定義為

其中 $\mathbf{r}$ 為由取矩基準點至力作用點的位置向量。若只求對 $z$ 軸的力矩，直接使用

圖 5 中，力作用點的 $x$ 座標為 $8\ \text{m}$。

解題方法

已知

因此

代入對 $z$ 軸力矩公式：

核心觀念

本題考「力偶」的定義及其日常應用。

力偶是由兩個大小相等、方向相反、作用線平行且不重合的力所組成，其特性為：

• 合力為零，不造成物體平移。
• 會產生純旋轉效果。
• 力偶矩為

其中，$F$ 為其中一個力的大小，$d$ 為兩力作用線間的垂直距離。

判斷是否為力偶，關鍵在於物體是否主要受到「一對反向平行力」作用，而形成旋轉效果。

解題方法

逐一檢查各選項的施力方式：

1. 是否有兩個方向相反的力？
2. 兩力作用線是否平行且不重合？
3. 作用結果是否為純旋轉？

符合上述條件者，屬於力偶的應用；不符合者，即為本題所求。

選項分析

(A) 以螺絲攻製作牙孔

使用螺絲攻攻牙時，通常以兩手握住螺絲攻扳手兩端，對兩端施加方向相反的切向力。兩力作用線平行且不重合，形成力偶矩，使螺絲攻繞自身軸線旋轉。

因此，(A) 屬於力偶的應用。

(B) 雙手握方向盤之旋轉

雙手握住方向盤兩側時，通常分別施加方向相反的切向力，使方向盤旋轉。兩個力的作用線不重合，會產生力偶矩：

核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡條件。簡支樑欲求出全部支撐反力，必須有三個彼此獨立的平衡方程式：

圖 7 的樑為平面受力系統，共有三個未知支撐反力，因此必須選取三條可獨立求解的方程式。

解題方法

樑上各支撐反力的水平、垂直分量，必須透過力平衡或力矩平衡求出。

由於樑為水平樑，所有支撐點及載重作用點均在同一直線上，因此支撐反力的水平分量，其作用線通常通過樑上的取矩點，對樑上各點的力矩皆為零。故若方程式組合中沒有 $\sum F_x=0$，便無法求出水平支撐反力。

選項分析

(A) $\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_A=0$

包含水平力平衡、垂直力平衡及對 $A$ 點取矩，可分別求出水平反力、垂直反力及另一支撐反力，三式彼此獨立，適用。

(B) $\sum F_x=0,\ \sum M_B=0,\ \sum M_C=0$

包含 $\sum F_x=0$，可求出水平支撐反力；再利用以 $B$、$C$ 為取矩中心的兩式，求出兩個垂直支撐反力。

核心觀念

本題考查各向同性、均質、線彈性材料中，楊氏係數 $E$、蒲松比 $\nu$、剪切模數 $G$ 與體積模數 $K$ 的關係。

常用關係式為：

因此：

體積模數與 $E、\nu$ 的關係為：

此外，材料具有穩定彈性時，彈性常數須為正值，通常有：

一般工程材料的蒲松比通常介於 $0$ 與 $0.5$ 之間。

解題方法

直接將各選項與線彈性材料的標準公式比較即可。

其中最容易判斷的是剪切模數公式：

移項得：

題目選項 A 將分母誤寫為 $2(1-\nu)$，因此 A 錯誤。

選項分析

(A) $G=\dfrac{E}{2(1-\nu)}$

錯誤。

正確公式為：

分母應為 $2(1+\nu)$，不是 $2(1-\nu)$。

(B) $K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}$

正確。

各向同性線彈性材料的體積模數關係式為：

核心觀念

本題考查「靜止角」與「靜摩擦係數」的關係。

靜止角 $\theta$（angle of repose）是指：物體置於粗糙斜面上，逐漸增加斜面傾角，物體恰開始滑動時的臨界傾角。此時物體處於極限靜止狀態，靜摩擦力達到最大值：

其中：

• $f_s$：最大靜摩擦力
• $\mu$：靜摩擦係數
• $N$：正向力

解題方法

設物體重量為 $W$，置於傾角為 $\theta$ 的斜面上。

沿斜面方向的重力分量為：

垂直斜面的正向力為：

在物體恰開始下滑的臨界狀態，沿斜面方向的下滑分力等於最大靜摩擦力：

代入 $f_s=\mu N$ 與 $N=W\cos\theta$：

約去 $W$：

因此：

所以靜止角為：

選項分析

核心觀念

本題考查「全程平均速度」的定義：

汽車做直線運動，且題目將行程分為前半段與後半段，表示兩段的行駛距離相等。平均速度不可直接以 $50$ 與 $100$ 取算術平均，必須先計算各段所需時間。

解題方法

設全程距離為 $2L$，則前、後半段距離皆為 $L$。

前半段平均速度為 $50\text{ km/h}$，所需時間為：

後半段平均速度為 $100\text{ km/h}$，所需時間為：

全程平均速度為：

整理分母：

因此：

故全程平均速度為：

選項分析

核心觀念

本題考查流體質點沿圓弧形流線作等速曲線運動時的加速度。

「等速流動」表示流速大小不變，因此切線方向加速度為零；但流動方向會隨彎管曲率持續改變，所以仍具有法向加速度（向心加速度）：

其中：

• $V$：流速
• $R$：彎管曲率半徑

解題方法

已知：

因流速大小固定，切線加速度為：

但彎管內流動方向不斷改變，故法向加速度為：

因此流體之加速度大小為：

核心觀念

截面模數（section modulus）定義為

其中：

• $Z$：截面模數
• $I$：截面對中性軸的截面二次慣性矩
• $c$：中性軸至最外纖維的距離

圓形截面具有對稱性，通過圓心的任一 centroidal 軸皆可作為彎曲中性軸。半徑為 $r$ 時：

且最外纖維距離為

解題方法

將圓形截面的截面二次慣性矩代入截面模數公式：

因此：

所以圓形截面的截面模數為

選項分析

• (A) $\frac{\pi r^3}{4}$：正確。 由 $Z=I/c$，且 $I=\pi r^4/4$、$c=r$，可得 $Z=\pi r^3/4$。

核心觀念

斜向拋射運動中，若忽略空氣阻力，物體只受重力作用，因此其加速度始終為重力加速度：

取水平方向為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸，則

所以合加速度大小為

方向永遠鉛直向下，與物體位於拋射路徑的哪一位置無關。

此外，加速度可分解為：

• 切線加速度 $a_t$：沿瞬時速度方向，表示速率的變化。
• 法線加速度 $a_n$：垂直於瞬時速度方向，表示速度方向的變化。

其關係為

其中 $\rho$ 為軌跡曲率半徑。

解題方法

以速度方向作為切線方向。斜向拋射的速度分量為

由於 $v_x$ 固定不變，而 $v_y$ 隨時間改變，物體在最高點時：

此時速度只有水平方向，切線為水平線；重力加速度鉛直向下，恰好垂直於切線，因此

在最高點以外，$v_y\ne 0$，速度方向不是純水平，加速度可分解出非零的切線分量與法線分量。因此，判斷各選項即可找出錯誤敘述。

選項分析

核心觀念

本題考查理想阿特伍德機構（Atwood machine）的牛頓第二運動定律：

• 定滑輪僅改變繩張力方向，不改變重物加速度大小。
• 吊繩質量忽略、不可伸長，且定滑輪無摩擦、轉動慣量忽略，因此繩兩側張力相同，均為 $T$。
• 因 $m_1>m_2$，故 $m_1$ 向下、$m_2$ 向上，兩物加速度大小均為 $a$。

解題方法

對質量 $m_1$ 的重物列式，取向下為正方向：

對質量 $m_2$ 的重物列式，取向上為正方向：

兩式相加以消去張力 $T$：

因此重物加速度為

再由第一條式求張力：

代入加速度：

核心觀念

本題考查雲霄飛車在垂直圓形軌道最高點的向心力條件，以及「車體不脫離軌道」的臨界狀態。

在最高點時，圓心位於車體下方，因此指向圓心的方向為鉛直向下。車體所受的主要向下力包括：

• 重力 $mg$
• 軌道對車體的正向力 $N$

向心力並不是額外增加的一個力，而是上述實際力在指向圓心方向的合力，故有

其中 $m$ 為車體質量，$v$ 為最高點車速，$r$ 為軌道半徑。

解題方法

為使雲霄飛車與軌道保持接觸，軌道正向力必須滿足

車速的最低臨界值發生在車體即將失去接觸的瞬間，此時正向力降為零：

代入向心力方程式：

約去質量 $m$：

因此

所以最高點的最低臨界車速為

嚴格而言，若題目要求正向力「嚴格大於零」，則須有 $v>\sqrt{gr}$；但選擇題所稱「至少保持接觸」採用臨界值表示，答案為 $\sqrt{gr}$。

選項分析

• (A) $\dfrac{\sqrt{gr}}{2}$：錯誤。 此速度小於臨界速度。此時

核心觀念

本題考查兩個共點力的合力大小，使用向量合成的餘弦定理：

其中 $\theta$ 為 $F_1$ 與 $F_2$ 的夾角。由圖可知 $\theta=60^\circ$。

解題方法

代入 $F_1=10\text{ N}$、$F_2=15\text{ N}$：

因此：

選項分析

核心觀念

本題考查斜面運動中「平移運動」與「轉動運動」的能量分配。

• 純滑動：球只做平移運動，不考慮摩擦能量損失，因此重力位能全部轉換為平移動能。
• 純滾動：球同時具有平移動能與轉動動能。即使靜摩擦力不造成能量損失，重力位能仍須分配給兩種動能，因此平移速度會小於純滑動。

假設兩者由同一斜面高度、同時由靜止出發，且球的大小與質量相同。

解題方法

設球由斜面高度差 $h$ 處由靜止開始運動。

一、純滑動

不考慮摩擦造成的能量損失時：

因此：

若斜面長度為 $L$、傾角為 $\theta$，純滑動加速度為：

由 $L=\frac{1}{2}a_st_s^2$，可得：

二、純滾動

純滾動時，重力位能轉換為平移動能與轉動動能：

純滾動條件為：

代入得：

整理：

因為球的轉動慣量 $I>0$，所以：

因此：

以加速度表示，純滾動加速度為：

核心觀念

本題考查懸臂樑受三角形分布載重時：

1. 將三角形分布載重換算成合力。
2. 以合力作用位置求固定端最大彎矩。
3. 使用彎曲應力公式：

正方形截面之慣性矩為：

解題方法

圖 18 顯示樑長 $L=5\text{ m}$，三角形分布載重最大值為 $3\text{ kN/m}$。

三角形載重的合力為三角形面積：

因載重由左端逐漸增加至右端，合力作用位置位於距載重較大端 $1/3$ 樑長處，因此距固定端為：

固定端最大彎矩：

截面邊長為 $50\text{ mm}$：

外緣距中性軸距離：

核心觀念

本題考查階梯桿在軸向集中力作用下的變形。各段軸向變位量為

其中：

• $P$：該桿段所承受的軸力
• $L$：桿段長度
• $A$：截面積
• $E$：楊氏係數

圖中 $B$、$C$ 兩處外力方向相同，因此 $AB$、$BC$ 兩段皆受壓，兩段變形方向相同，$C$ 點總位移為兩段變形量之和。

解題方法

先由右側向左取截面求各段內力。

$BC$ 段右端僅受 $50\text{ kN}$ 軸向力，因此

$AB$ 段需承受 $150\text{ kN}$ 與 $50\text{ kN}$ 的合力，因此

材料楊氏係數：

$AB$ 段變形量：

$BC$ 段變形量：

核心觀念

本題考查「三軸向應力下的廣義虎克定律」以及蒲松比造成的橫向變形。

對於均質、等向性、線彈性材料，在三軸向正應力作用下：

其中：

• $E$：材料之楊氏係數
• $\nu$：材料之蒲松比
• $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$：三個互相垂直方向的正應力
• $\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z$：相對應方向的正應變

重點在於：三軸向應力狀態下，某一方向的應變不只由同方向應力決定，也會受到另外兩個方向應力透過蒲松比效應所影響。

解題方法

令 $\sigma_x=0$，代入廣義虎克定律：

因此：

只要 $\nu\neq 0$ 且 $\sigma_y+\sigma_z\neq 0$，便有：

也就是說，即使 $x$ 方向沒有直接承受應力，$y$、$z$ 方向的應力仍可能透過蒲松比效應，使材料在 $x$ 方向產生變形。

例如：

• 若 $\sigma_y,\sigma_z>0$，表示 $y$、$z$ 方向受拉，則 $\epsilon_x<0$，$x$ 方向可能產生收縮。
• 若 $\sigma_y,\sigma_z<0$，表示 $y$、$z$ 方向受壓，則 $\epsilon_x>0$，$x$ 方向可能產生膨脹。

選項分析

(A) $\sigma_x=0$ 時，$\epsilon_x$ 可能不為 $0$

正確。

由廣義虎克定律：

可知，即使 $\sigma_x=0$，只要其他方向的應力存在，且具有蒲松比效應，$\epsilon_x$ 仍可能不為 $0$。

核心觀念

本題考查水平面上的摩擦力與物體運動判斷：

• 最大靜摩擦力：$f_{s,\max}=\mu_s N$
• 動摩擦力：$f_k=\mu_k N$
• 水平面上未有垂直方向加速度，因此 $N=W$

先比較外力 $P$ 與最大靜摩擦力，判斷物體是否開始滑動；滑動後再利用牛頓第二運動定律判斷加速度方向。

解題方法

物體重量為 $W=10\text{ N}$，故正向力為

最大靜摩擦力：

外加水平推力為 $P=3\text{ N}$。因為

靜摩擦力無法抵抗推力，物體必定開始向左滑動。

滑動後，動摩擦力為

動摩擦力方向向右，因此水平方向合力為

合力方向向左，所以物體向左做加速運動。其加速度為

核心觀念

本題考查平面斜向拋射運動，且已知擊球點與落點高度相同。

斜向拋射在起、落點等高時，水平射程為

其中：

• $R$：水平射程
• $v_0$：初速度
• $\theta$：擊球仰角
• $g$：重力加速度

要使球飛行固定距離 $R$ 時所需的初速度最小，必須使 $\sin 2\theta$ 最大。由於

當

時，射程最大、所需初速度最小。

解題方法

在最佳仰角 $\theta=45^\circ$ 下，

因此射程公式化為

題目給定：

代入：

所以

因速度取正值，故球被擊出的最小速度為

核心觀念

本題考查斜面運動中的「機械效率」：

物體由斜面上由靜止下滑，重力位能轉換成動能時：

• 輸入能量：物體減少的重力位能
• 有用能量：物體增加的動能
• 損失能量：克服動摩擦力所消耗的能量

斜面與水平夾角為 $\theta$，因此斜面高度與斜面長度的關係為：

其中 $s$ 為物體沿斜面下滑的距離。

解題方法

設物體質量為 $m$，沿斜面下滑距離為 $s$。

物體減少的重力位能為：

斜面支持力為：

因此動摩擦力大小為：

摩擦力所消耗的能量為：

依能量守恆，重力位能轉換成動能後，物體增加的動能為：

因此機械效率為：

代入各項：

約去 $mg s$：

由於：

故：

選項分析

核心觀念

圓形桿件承受純扭矩時，桿件表面主要承受剪應力：

其中 $T$ 為扭矩、$r$ 為距離軸心之半徑、$J$ 為極慣性矩。

在純剪應力狀態下，與軸向成 $45^\circ$ 的斜面為主應力面。此斜面上的剪應力為零，但會產生最大正向應力：

其中 $\sigma_1$ 為最大拉伸應力，$\sigma_2$ 為最大壓縮應力。

脆性材料缺乏塑性變形能力，通常較容易因拉伸應力造成裂縫並快速破壞。因此，純扭矩作用下的脆性圓軸，常沿與軸向約成 $45^\circ$ 的螺旋面斷裂。

解題方法

採用「純剪應力轉換為主應力」判斷。

對純剪應力狀態而言，若斜面方向與軸向成 $45^\circ$，該面上的應力狀態可由應力轉換式表示為：

當 $\theta=45^\circ$ 時：

核心觀念

本題考查實心圓軸的扭轉變形公式：

其中：

• $\theta$：扭轉角，單位為弧度
• $T$：軸向扭矩
• $L$：軸長
• $G$：材料剪切模數
• $J$：截面的極慣性矩

實心圓截面的極慣性矩為：

題目給定最大扭轉角，因此令 $\theta=1.8^\circ$，求所容許的最大扭矩 $T$。

解題方法

由扭轉角公式整理得：

1. 角度換算

計算時角度必須使用弧度：

2. 計算極慣性矩

軸直徑：

因此：

因為：

所以：

3. 代入扭轉公式

已知：

代入：

核心觀念

本題考查均勻薄板的重心與複合面積法。圓盤材質均勻，因此重心可用面積重心計算；挖去的圓孔視為「負面積」。

以圖中圓盤中心為座標原點，圓盤原本重心為 $(0,0)$。三個圓孔半徑相同，故面積相同。

解題方法

由圖可取三個孔中心座標為：

• 左側圓孔：$(-50,0)$
• 右上方圓孔：$(50,30)$
• 下方圓孔：$(0,-50)$

圓盤半徑為 $100\text{ mm}$，圓孔半徑為 $7.5\text{ mm}$。設單一圓孔面積為 $A_h$，則挖孔後面積為

挖孔後的 $x$ 座標為

因三個圓孔面積相同，

因此重心不向左或向右偏移。

再計算 $y$ 座標：