106 中鋼公司招考師級 工業工程 工程經濟及效益評估、生產管理、統計及作業研究 考古題詳解

核心觀念

工程經濟中的方案依彼此關係，可分為獨立方案、互斥方案及相依方案。

• 互斥方案：只能從候選方案中選擇一個，選定其中一案即排除其他方案。
• 獨立方案：是否採用某一方案，不影響其他方案的採用；可選一案、多案或不採用。
• 相依方案：某方案是否採用，會受到其他方案採用與否的影響，例如必須搭配實施。

解題方法

題幹明確指出「兩個以上」方案中「只能選擇一個」，這表示各方案不能同時採用，符合互斥方案的定義，因此選 (B)。

選項分析

• (A) 獨立方案：各方案互不影響，可各自評估並同時採用，不符合「只能選一個」。
• (B) 互斥方案：候選方案彼此排斥，只能擇一，符合題意。

核心觀念

本題考查年金現值與複利的時間點換算。退休後每年提款 $10{,}000$，可視為等額年金；先把提款期間的年金折算至第一筆提款前一年，再折算回王經理存入 $M$ 的時點。

解題方法

假設提款在每年年底進行，第一筆於第 15 年年底提領，最後一筆於第 24 年年底提領。以第 14 年年底為基準，10 筆提款的現值為：

王經理在第 3 年年底存入 $M$，這筆錢再累積 11 年至第 14 年年底，因此：

解得：

核心觀念

本題考複利終值。投資本金每年按年利率計息，利息併入本金後，下一年再一起計息。複利終值公式為：

其中，$P$ 為本金、$i$ 為年利率、$n$ 為年數，$F$ 為期末累積金額。

解題方法

代入本金 $P=5{,}000$、年利率 $i=0.05$、年數 $n=8$：

因此，投資 8 年後累積金額約為 $7,387.28。

選項分析

核心觀念

本題考「年名目利率」的計算。

每月利率先以借款本金為基準計算：

年名目利率是將單期利率按一年期數直接換算，不考慮利息滾入本金所產生的複利效果：

解題方法

借款本金為 $\text{\char36}400$，一個月後償還 $\text{\char36}450$，因此一個月的利息為：

月利率為：

一年有 $12$ 個月，年名目利率為：

因此正確選項為 $(D)$。

選項分析

• (A) $11.11\%$：錯誤。 此數值是以償還金額為分母計算：

利率應以借款本金 $\text{\char36}400$ 為計算基準，不能以償還金額為分母。

• (B) $12.5\%$：錯誤。 $12.5\%$ 是一個月的利率，尚未換算成年名目利率。

核心觀念

本題考查「名目年利率按月複利」與「定期定額儲蓄」的換算。

已知：

• 每季存款：$1,000$
• 儲蓄期間：$3$ 年，共 $12$ 季
• 年利率：$12\%$，按月複利
• 每月利率：

由於存款週期為每季，必須先將月利率換算成季有效利率。

解題方法

每季包含 $3$ 個月，因此季有效利率為：

代入 $i_m=1\%$：

所以每季有效利率為：

$3$ 年共有：

一般「每季儲蓄」係指每季期末存入，故可視為普通年金。$3$ 年期末的累積金額為：

其中：

• $A=1,000$
• $i_q=0.030301$
• $n=12$

因此：

因為：

所以：

因此，若每季於期末存入，$3$ 年後本利和約為：

其他常見金額

若選項詢問全部存款本金，則：

因此利息約為：

若選項詢問有效年利率，則：

若題意明確表示每季「期初」存款，則屬於先付年金，累積金額須再乘上一季利率因子：

但一般未特別說明「期初」時，採每季期末存款計算。

選項分析

原卷選項文字擷取不全，現有題幹未提供各選項內容，因此無法對每一個選項逐字比對。依標準命題假設「每季期末存入」時，正確數值應符合下列結果：

核心觀念

本題考查「等額本息貸款」的現值計算。

車價為 $\text{\char36}18{,}000$，頭期款為 $\text{\char36}8{,}000$，因此實際向銀行借款金額為：

貸款採每月等額支付，屬於「普通年金」問題。每月付款額 $A$ 的現值必須等於貸款本金：

其中：

• $P$：貸款本金
• $A$：每月支付額
• $i$：每月利率
• $n$：付款期數

解題方法

年利率為 $9\%$，按月複利，因此每月利率為：

貸款期間為 $2$ 年，每月付款一次，因此總付款期數為：

代入普通年金現值公式：

整理得：

計算：

因此：

所以每月應支付約 $\text{\char36}456.85$；若以整數金額表示，約為 $\text{\char36}457$。

選項分析

題目所附選項文字擷取不完整，無法逐一對照各選項內容。依完整題意計算，正確數值應為：

核心觀念

本題考查「等額本息貸款」與「未償貸款餘額」的計算。

• 貸款本金：$P=25{,}000$
• 年利率：$10\%$
• 按月複利，因此月利率為

• 分期期間：$n=36$ 個月
• 已支付：20 個月
• 剩餘期數：

假設每期於月底付款，且第 20 期付款完成後立即清償餘款。

解題方法

先計算每月應繳的等額本息付款額 $A$：

代入數值：

因此：

支付 20 期後，尚有 16 期付款。清償日的未償餘額，等於剩餘 16 期付款折算至第 20 個月的現值：

代入：

所以，支付第 20 期後要一次清償的貸款餘額約為：

另一種驗算方式

也可以直接將原始貸款本金累積至第 20 個月，再扣除前 20 期付款累積至同一時點的金額：

計算結果同樣為：

選項分析

原題選項文字擷取不完整，無法逐一對照每個選項；依標準「每月底付款、完成第 20 期付款後立即清償」的命題慣例，正確金額為：

若選項以四捨五入至元表示，應選擇約 $\text{\char36}12{,}037$ 的選項。

核心觀念

本題考的是「永久年金的年金等值（Annual Worth, AW）」與「分段收益現金流」的計算。

年金等值的定義，是將方案整個生命週期內的現金流，換算成每年固定且等值的收益。對於永久方案，若以年利率 $i$ 計算，年金等值可由現值乘上利率求得：

本題現金流分成兩個階段：

• 第 $1$ 年至第 $10$ 年：每年收益 $500$
• 第 $11$ 年起至永久：每年收益 $1{,}000$

年利率為：

解題方法

以時間點 $0$ 為基準計算現值。

第一階段為 $10$ 年期普通年金，其現值為：

第二階段自第 $11$ 年開始，每年收益 $1{,}000$，形成永久年金。

先將永久年金價值折算至第 $10$ 年末：

再折算回時間點 $0$：

因此，方案總現值為：

永久年金的年金等值為：

代入後：

由於：

且：

所以：

整理得：

計算：

因此：

故：

選項分析

• (A) $\text{\char36}500 \leq \text{AW} < \text{\char36}550$：錯誤。 計算所得 $AW\approx \text{\char36}660.99$，高於 $\text{\char36}550$，不在此區間。

• (B) $\text{\char36}550 \leq \text{AW} < \text{\char36}700$：正確。 $AW\approx \text{\char36}660.99$，符合本選項範圍。

核心觀念

資本回收因子 $(A/P,i,N)$ 是將現值 $P$ 換算為等額年金 $A$ 的因子，公式為：

其中：

• $i$：每期報酬率或利率
• $N$：期數
• $P$：現值
• $A$：每期等額資本回收金額

在工程經濟通常假設 $i>0$ 且 $N>0$。

解題方法

由現值轉換為年金的反向關係：

資本回收因子為其倒數：

當報酬率 $i$ 增加時，現值因子 $(P/A,i,N)$ 會減少，代表未來各期金額折算至現在的價值降低。因此，其倒數資本回收因子 $(A/P,i,N)$ 會增加。

從經濟意義觀察，若借用或投入相同的現值 $P$，報酬率提高時，每期必須回收的等額金額 $A$ 也會提高。

選項分析

• (A) 增加：正確。 在 $i>0$、$N$ 固定下，$(A/P,i,N)$ 隨報酬率增加而增加。

核心觀念

本題考「利潤最大化」原則。利潤等於總收益減去總成本：

當產品單位售價固定時，總收益為：

利潤最大化的一階條件為：

其中：

• $MR$：邊際收益
• $MC$：邊際成本

解題方法

已知單位售價為 $\text{\char36}200$，生產數量為 $Q$，因此總收益為：

生產成本函數為：

所以利潤函數為：

對利潤函數微分：

令一階導數等於零：

再由二階導數確認：

二階導數小於零，表示利潤函數為開口向下的二次函數，因此 $Q=950$ 可使利潤達到最大。

亦可使用邊際收益與邊際成本判斷：

令 $MR=MC$：

選項分析

• (A) 750：錯誤。 此數量低於利潤最大化產量。當 $Q=750$ 時：

因為 $MR=200>MC=160$，增加產量仍可增加利潤，因此尚未達到最大利潤。

• (B) 825：錯誤。 當 $Q=825$ 時：

核心觀念

本題考查產品設計與製程規劃中的「品質機能展開」（Quality Function Deployment, QFD）。

QFD 的核心是將顧客的需求與期望，也就是「顧客心聲」（Voice of Customer, VOC），以系統化方式轉換為：

1. 顧客需求；
2. 產品品質特性；
3. 零組件或設計規格；
4. 製程條件與管制要求；
5. 生產作業及品質保證事項。

因此，QFD 不只是在產品完成後檢驗品質，而是在產品發展與設計階段即納入顧客需求，並將需求逐層展開至設計與製程。

QFD 常以「品質屋」（House of Quality, HOQ）作為主要工具，分析顧客需求與工程技術特性之間的關係，建立產品設計與製程改善的依據。

解題方法

題幹中的關鍵語句是：

• 「產品發展設計時」
• 「融入顧客心聲」
• 「將顧客要求的因素分解進入製程中」

判斷重點在於：哪一種工具能把顧客需求由上游逐步轉換並展開到產品設計、製程規劃與生產要求。

QFD 的基本展開邏輯如下：

這正好符合題目所描述的功能，因此答案為品質機能展開。

選項分析

(A) 價值分析（Value Analysis）

價值分析主要是在產品或系統的功能與成本之間進行評估，透過功能分析尋找降低成本、提升功能或提高價值的方法。

其基本概念可表示為：

價值分析的重點是改善既有產品或系統的功能成本關係，並非主要用來將顧客心聲逐層展開至製程。因此本選項錯誤。

(B) 生產線平衡（Line Balancing）

生產線平衡是將各項作業合理分配至不同工作站，使各工作站的作業時間儘量接近節拍時間，以降低等待與閒置。

常見分析重點包括：

• 工作站作業時間；
• 生產節拍；
• 工作站數量；
• 作業先後關係；
• 生產線平衡效率。

其目的在於改善生產線配置與產能利用，不涉及顧客需求轉換及品質功能展開。因此本選項錯誤。

(C) 品質機能展開（Quality Function Deployment）

QFD 是將顧客需求轉換為可量化、可設計、可製造及可管制之品質要求的方法。

其主要功能包括：

核心觀念

本題考查損益兩平分析中的「目標利潤定價」。

基本公式為：

其中：

• 固定成本：每月設備租借費 $10{,}000$ 元
• 單位變動成本：每杯 $20$ 元
• 銷售數量：每月 $2{,}000$ 杯
• 目標利潤：每月 $20{,}000$ 元
• 單位售價：設為 $P$ 元

解題方法

每月總收入為：

每月總變動成本為：

依照「收入－變動成本－固定成本＝利潤」：

整理得：

因此：

所以每杯珍珠奶茶售價應為 $35$ 元。

選項分析

• (A) 30 元：錯誤

每月利潤為：

僅獲利 $10{,}000$ 元，未達目標獲利 $20{,}000$ 元。

• (B) 35 元：正確

每月利潤為：

恰好達成每月目標獲利 $20{,}000$ 元。

• (C) 40 元：錯誤

每月利潤為：

雖然獲利超過目標，但題目要求達成目標獲利所需的售價，因此不是正確選項。

• (D) 45 元：錯誤

核心觀念

本題考查物料清單（Bill of Materials, BOM）的「從上而下展開」與零件需求量計算。計算原則為：

同一零件若由不同組裝路徑產生，須分別計算後加總。

解題方法

目標為組裝 $10$ 件產品 $A$。

1. 由 $A$ 直接使用的 $B$、$C$、$D$ 所產生的 $E$：

• $A$ 每件需要 $2$ 個 $B$，每個 $B$ 內的 $C(2)$ 各需 $2$ 個 $E$：

其中四個數字分別代表：

• $10$：產品 $A$ 數量

• $2$：每件 $A$ 所需的 $B$

• $2$：每個 $B$ 所需的 $C$

• $2$：每個該類 $C$ 所需的 $E$

• $A$ 每件直接需要 $3$ 個 $C$，每個 $C$ 需 $3$ 個 $E$：

• $A$ 每件需要 $2$ 個 $D$，每個 $D$ 需 $1$ 個 $E$：

2. 加總所有來源的 $E$：

因此，至少需要 $190$ 個零件 $E$。

選項分析

• (A) 60：錯誤。 未完整展開各層 BOM，少算了由 $B$ 內的 $C(2)$ 所產生的 $E$。
• **(B) 190：正確。

核心觀念

簡單指數平滑法的預測公式為：

其中，$F_{t+1}$ 是下一期預測值，$A_t$ 是本期實際值，$F_t$ 是本期預測值，$\alpha$ 是平滑常數，且 $0\leq\alpha\leq1$。

解題方法

題目給定 $\alpha=1$，代入公式：

因此，下一期預測值直接等於本期實際值。這正是天真法的預測規則：以最近一期的實際值作為下一期預測值。

選項分析

• (A) 加權平均法（weighted moving average）：錯誤。加權移動平均是將數期實際值依權重加總；本題 $\alpha=1$ 時，預測只採用最近一期實際值。
• (B) 天真法（naive method）：正確。天真法以最近一期的實際值預測下一期，即 $F_{t+1}=A_t$。

核心觀念

移動平均法以最近 $n$ 期的實際資料平均，作為下一期預測值：

其中 $A_t$ 為第 $t$ 期實際數量，$n$ 為平均的資料點數。資料點數越多，預測越平滑，對近期資料變動的反應越慢；資料點數越少，近期資料在平均值中的權重越大，預測就越能迅速反映最新變化。

解題方法

題目問減少平均的資料點數量對預測值有何影響。比較公式中每筆資料的權重即可：每筆資料的權重是 $1/n$。當 $n$ 減少時，單筆資料的權重增加，因此最新實際數量的變動會更明顯地影響預測值，預測敏感度隨之增加。

例如，使用 4 週移動平均時，每週資料的權重為 $1/4$；改為 2 週移動平均後，每週資料的權重增為 $1/2$，近期資料的變化更快反映在預測中。

選項分析

• (A) 預測值的敏感度不變：錯誤。 平均資料點數減少後，每筆資料在平均值中的權重提高，預測對近期變動的反應會改變。
• **(B) 預測值的敏感度增加：正確。

核心觀念

此題考查自製（make）與外購（buy）的成本無異點分析。兩方案在某一產量下總成本相等時，即為無異點。

總成本公式為：

解題方法

設年產量為 $Q$。

自製方案的年總成本為：

外購方案沒有固定成本，年總成本為：

令兩方案總成本相等：

因此，年產量為 $15{,}000$ 單位時，兩方案成本相同。

選項分析

• (A) 10,000 單位：錯誤。 自製成本為 $180{,}000+6(10{,}000)=240{,}000$；外購成本為 $18(10{,}000)=180{,}000$，外購較便宜。
• (B) 15,000 單位：正確。 自製與外購成本皆為 $270{,}000$，兩方案無異。
• **(C) 30,000 單位：錯誤。

核心觀念

本題考生產線平衡中的理論最小工作站數目。先由每日可工作時間與每日需求量求出週期時間（cycle time），再以全部作業時間除以週期時間，向上取整：

其中，$C$ 為每單位產品可使用的生產時間；$\lceil\ \rceil$ 表示無條件進位。理論最小工作站數是作業時間總和所給出的下限，實際配置仍須符合先行關係。

解題方法

一天工作 $8$ 小時，換算為秒：

每日產出 $1{,}440$ 單位，因此週期時間為：

全部作業時間總和為：

代入理論最小工作站數公式：

因此，理論最小工作站數為 $4$。

選項分析

核心觀念

主排程（Master Production Schedule, MPS）列出各期間要生產的最終產品數量與時程。排程完成後，須檢查所需產能是否能由現有產能支應；用來檢視主排程產能可行性的工具是概略產能規劃（Rough-Cut Capacity Planning, RCCP）。

RCCP 會依主排程估算關鍵工作中心或瓶頸資源的產能需求，並與可用產能比較。若需求超過可用產能，主排程就需要調整。

解題方法

辨認題幹中的「檢視主排程是否可行」，即可判斷題目在問主排程的產能可行性檢查。四個選項中，只有 RCCP 是直接用來檢查主排程所需產能能否落實的規劃方法。

選項分析

• (A) 預定接收量（scheduled receipts）錯誤。 指已下達、預計在未來期間收到的訂單或製令數量，是物料需求規劃中的供給資料，不是檢查主排程產能可行性的工具。
• (B) 計畫訂單發出量（planned-order releases）錯誤。 指依物料需求規劃計算後，預計在某期間釋出的訂單量，用於安排採購或生產，不負責檢查主排程的產能是否足夠。
• **(C) 概略產能規劃（rough-cut capacity planning）正確。

核心觀念

強森法（Johnson’s rule）是兩站式流程工廠的排程法則，適用於每件工作都必須依相同順序，先經過第一台機器，再經過第二台機器的情形。其目的在於安排工作順序，使全部工作的總完工時間（makespan）最小，也就是縮短從第一件工作開始加工，到最後一件工作完成的整體時間。

解題方法

強森法的安排步驟如下：

1. 找出所有尚未排入順序的工作，在兩台機器上的加工時間中，選出最短者。
2. 若最短時間在第一台機器，將該工作排在目前順序的最前端；若在第二台機器，將該工作排在目前順序的最後端。
3. 移除該工作，重複上述步驟，直到所有工作都排定。

本題沒有提供各工作在兩台機器上的加工時間，因此不需要實際排列；只要辨認強森法的排程目標即可：最小化所有工作完成所需的總時間。

選項分析

• (A) 產品多樣性增加：錯誤。 強森法是生產順序安排方法，不會增加產品種類或產品多樣性。
• **(B) 系統之總庫存量最小：錯誤。

核心觀念

總流程時間（total flow time）是各訂單從開始加工到完成所經過時間的總和。若所有訂單一開始都已到達工作中心，且加工不被中斷，則每筆訂單的流程時間就是它在排程中的完成時間。

單一工作中心依序加工時，第 $k$ 筆訂單的完成時間為：

其中 $p_i$ 是排在第 $i$ 位訂單的處理時間。因此總流程時間為：

解題方法

FCFS（先到先服務）依訂單接到的順序加工，故順序為 $1\to2\to3\to4\to5$。累計完成時間如下：

EDD（最早到期日優先）依到期日由早到晚排序。各訂單到期日依序為訂單 5、1、2、3、4，因此加工順序為 $5\to1\to2\to3\to4$：

核心觀念

本題考集合與事件的基本關係。若兩個集合沒有任何共同元素，亦即交集為空集合，就稱為互斥；在機率論中，這類事件也稱為互斥事件。

解題方法

題目已給出 $A$、$B$ 為任意非空集合，且 $A\cap B=\varnothing$。依定義，兩集合沒有共同元素，因此直接判定為互斥事件。

選項分析

• (A) 獨立事件：錯誤。 獨立事件的判準是 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，與交集為空並非同一概念。
• (B) 互斥事件：正確。 兩集合交集為空，表示兩者沒有共同元素，符合互斥的定義。
• (C) 相依事件：錯誤。 相依事件是指一事件是否發生會影響另一事件的機率；題目給的是集合交集關係，不能據此稱為相依事件。

核心觀念

本題考查聯合機率與條件機率。兩事件的聯集機率為

條件機率的定義為

解題方法

先由聯集公式求兩事件同時發生的機率：

代入題目數值：

再代入條件機率公式：

因此，已知 $A$ 發生時，$B$ 發生的條件機率為 $0.2$。

選項分析

• (A) 0.09：錯誤。 $0.09$ 是 $P(A\cap B)$，即 $A$ 與 $B$ 同時發生的機率，尚未除以 $P(A)$。
• (B) 0.28：錯誤。 這不是由題目所給資料依條件機率定義計算出的結果。
• **(C) 0.2：正確。

核心觀念

本題考的是貝氏定理。已知顧客「加滿油箱」，要反推他選擇 92 無鉛汽油的機率。這與「選擇 92 的顧客中有多少人加滿」方向相反，須使用貝氏定理：

其中分母 $P(滿)$ 要依全機率定理，將三種汽油的加滿機率加總。

解題方法

設 $滿$ 表示顧客加滿油箱。各汽油種類及條件機率為：

先計算所有顧客中加滿油箱的機率：

再代入貝氏定理：

選項分析

核心觀念

本題考查：

1. 機率分配總和必須等於 $1$。
2. 隨機變數線性轉換的期望值公式： $E(aX+b)=aE(X)+b$

其中 $a,b$ 為常數。

解題方法

首先利用機率總和為 $1$，求出 $P$：

因此各個 $X$ 值的機率為：

先求 $E(X)$：

根據期望值的線性性質：

因此正確選項為 $(D)$。

選項分析

• (A) 1.3：錯誤。 $1.3$ 是 $E(X)$，不是 $E(2X+3)$。

核心觀念

本題考查「有限母體中不放回抽樣」所對應的機率分配。

母體大小為 $N$，其中：

• 成功類物品有 $S$ 個；
• 失敗類物品有 $N-S$ 個；
• 不放回抽取 $n$ 個；
• $X$ 表示抽出成功類物品的個數。

由於每次抽取後，母體中剩餘的成功品與失敗品數量會改變，因此各次抽取並非獨立，成功機率也會隨抽取結果改變。此種情況適用於超幾何分配（Hypergeometric Distribution）。

其機率質量函數為：

其中：

• $\binom{S}{x}$：從 $S$ 個成功品中選出 $x$ 個；
• $\binom{N-S}{n-x}$：從 $N-S$ 個失敗品中選出 $n-x$ 個；
• $\binom{N}{n}$：從全部 $N$ 個物品中任取 $n$ 個的方法數。

解題方法

判斷機率分配時，先抓住三個條件：

1. 母體大小有限，為 $N$；
2. 母體分為成功與失敗兩類；
3. 抽樣採「不放回」方式，抽取樣本大小為 $n$。

因此，隨機變數 $X$ 是「不放回抽樣下，樣本中成功品的個數」，符合超幾何分配：

其機率分配為：

故正確選項為（C）。

選項分析

（A）負二項分配：錯誤

負二項分配通常描述：

在一連串相互獨立、成功機率固定的伯努利試驗中，為了得到第 $r$ 次成功所需的試驗次數。

本題是固定抽取 $n$ 個物品，觀察其中成功品的數量，且抽樣採不放回方式，並非觀察達到特定成功次數所需的試驗次數，因此不符合負二項分配。

（B）幾何分配：錯誤

幾何分配描述：

在相互獨立且成功機率固定的伯努利試驗中，第一次成功出現前所需的試驗次數。

本題觀察的是 $n$ 次抽樣中成功品的總數，不是第一次成功出現的位置；此外，不放回抽樣也使成功機率並非固定，因此不符合幾何分配。

（C）超幾何分配：正確

超幾何分配的典型條件為：

• 母體大小有限；
• 母體分為成功與失敗兩類；
• 從母體中不放回抽取樣本；
• 隨機變數為樣本中成功品的個數。

核心觀念

大 $M$ 法與兩階段法，都是在線性規劃單純形法中，利用「人工變數」處理下列限制式：

• $\leq$ 限制式：加入鬆弛變數。
• $\geq$ 限制式：減去剩餘變數，並加入人工變數。
• $=$ 限制式：加入人工變數。

人工變數只是為了取得初始基可行解而引入的輔助變數，原問題中並不存在。原問題有可行解的必要條件，是所有人工變數在最終解中都必須等於 $0$。

在兩階段法中，第一階段的目標是：

若第一階段最適值滿足：

表示至少有一個人工變數仍為正值，原問題無可行解。

在大 $M$ 法中，人工變數會被配置極大的懲罰係數；若最終解中仍有人工變數大於 $0$，也表示原問題無可行解。

解題方法

判斷無可行解的標準，不是觀察某一時刻的右端值或列 $0$ 係數，而是檢查人工變數在最終解中的值：

因此正確選項為：

選項分析

(A) 基變數全為 $0$

錯誤。基變數通常構成目前的基可行解，並不會全部等於 $0$。若所有基變數均為 $0$，可能只是某些特殊退化情況，不能據此判定原問題無可行解。

判斷無可行解的關鍵是人工變數是否仍為正，而不是基變數是否全部為 $0$。

(B) 列 0 係數有負值

錯誤。列 $0$ 係數出現負值，通常代表目前解尚未達到最適解，仍可進行樞紐運算改善目標值。這是「尚未最適」的訊號，不是「無可行解」的判定條件。

此外，列 $0$ 的正負判斷也會因最大化、最小化及表格慣例不同而有所差異，更不能單獨用來判定無可行解。

(C) 至少一人工變數值大於 $0$

核心觀念

線性規劃問題若有 $m$ 個限制式，將其化為標準形式後，可表示為

其中 $A$ 為 $m\times n$ 的係數矩陣。基本解（Basic solution）的形成方式，是從所有變數中選取 $m$ 個彼此線性獨立的變數作為基變數（Basic variables），其餘變數設定為 $0$。

因此，在一般假設限制式彼此線性獨立、係數矩陣具有滿列秩的情況下，每一個基解均有 $m$ 個基變數。

解題方法

線性規劃的基本解具有以下結構：

1. 限制式共有 $m$ 條。
2. 需選出 $m$ 個變數組成基底矩陣 $B$。
3. 其餘非基變數設定為 $0$。
4. 基變數由

求得。

所以，基變數的數量取決於限制式的數量，而不是原問題變數的總數。題目給定限制式有 $m$ 個，因此每個基解有

選項分析

• (A) $n$：錯誤。$n$ 是原問題的變數總數，不是基變數的數量。通常只有部分變數會被選為基變數，其餘為非基變數。

• (B) $m$：正確。每個基解需從變數中選取 $m$ 個線性獨立的基變數，以對應 $m$ 個獨立限制式。

核心觀念

本題考查線性規劃的「對偶問題」中，原始問題限制式方向與對偶變數符號的對應關係。

在標準形式下，若原始問題為求極大值：

且限制式為：

則其對偶問題為：

subject to

因此，原始問題中的每一個 $\le$ 型限制式，所對應的對偶變數必須滿足：

解題方法

判斷對偶變數符號時，直接記憶極大值原始問題的對應規則：

本題指出原始問題為求極大值，且其中一個限制式為 $\le$ 型，因此該限制式對應的對偶變數為：

故選擇 (B)。

選項分析

(A) 無限制：錯誤。

對偶變數無限制，通常是原始問題的限制式為等式：

等式限制式的對偶變數可為正、可為負，也可為零。題目中的限制式是 $\le$，不符合此情況。

(B) $\ge 0$：正確。

在極大值原始問題中，$\le$ 型限制式對應的對偶變數必須非負：

(C) $\le 0$：錯誤。