108 專技高考高等考試 大地工程技師第二階段考試 大地工程專業實務(二)(基礎工程與設計) 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・大地工程技師第二階段考試
試題代碼 大地工程專業實務(二)(基礎工程與設計)

第 一 題25 分

有一 RC 擋土牆，若因排水孔堵塞，以致於牆後方積水，如下圖所示，請以 Rankine 理論計算於此狀態下之滑動及傾倒之安全係數。

已知：

  • 土壤單位重 γ=18 kN/m3\gamma=18\ \mathrm{kN/m^3}
  • 飽和土壤單位重 γsat=20 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=20\ \mathrm{kN/m^3}
  • 摩擦角 ϕ′=30∘\phi'=30^\circ
  • 凝聚力 c′=0c'=0
  • 擋土牆單位重 γwall=24 kN/m3\gamma_{\mathrm{wall}}=24\ \mathrm{kN/m^3}
  • 擋土牆背地表受有均佈超載重 q=15 kN/m2q=15\ \mathrm{kN/m^2}
  • 假設牆底與土壤之摩擦角 δ′=23ϕ′\delta'=\frac{2}{3}\phi'。
  • 牆高為 3 m3\ \mathrm{m}，基礎底版厚度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}。
  • 地下水位位於牆後地表下方 1 m1\ \mathrm{m}。
  • 基礎底版趾端至牆身前緣距離為 1 m1\ \mathrm{m}，牆身厚度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，牆身後緣至基礎底版末端距離為 2 m2\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題以 Rankine 土壓理論計算牆後主動土壓，並將地下水壓與有效土壓分開計算。滑動安全係數比較底版摩擦力及前方被動土壓與總水平推力；傾倒安全係數則比較各垂直荷重對趾端的穩定力矩與牆後水平推力造成的傾倒力矩。

以下按圖示以每延米牆長計算，並計入牆趾前方 0.5 m0.5\ \mathrm{m} 埋置深度所提供的 Rankine 被動土壓；前方土層採未飽和單位重 γ=18 kN/m3\gamma=18\ \mathrm{kN/m^3}。

解題方法與計算

1. Rankine 土壓係數及牆體尺寸

Ka=1−sin⁡ϕ′1+sin⁡ϕ′=1−sin⁡30∘1+sin⁡30∘=13K_a=\frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'} =\frac{1-\sin30^\circ}{1+\sin30^\circ} =\frac13 Kp=1+sin⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′=3,δ′=23(30∘)=20∘K_p=\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}=3, \qquad \delta'=\frac23(30^\circ)=20^\circ

底版寬度為 1+0.5+2=3.5 m1+0.5+2=3.5\ \mathrm{m}。牆高為 3 m3\ \mathrm{m}，地下水位在地表下 1 m1\ \mathrm{m}，故水位以下土層厚度為 2 m2\ \mathrm{m}。水的單位重取 γw=10 kN/m3\gamma_w=10\ \mathrm{kN/m^3}，水下土壤有效單位重為：

γ′=γsat−γw=20−10=10 kN/m3\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w=20-10=10\ \mathrm{kN/m^3}

2. 牆後水平推力與傾倒力矩

以牆後地表為深度 z=0z=0，超載造成的水平壓力為：

σh,q=Kaq=13(15)=5 kN/m2\sigma_{h,q}=K_aq=\frac13(15)=5\ \mathrm{kN/m^2}

作用於 3 m3\ \mathrm{m} 高牆面，合力及對底版底部的力矩為：

Pq=5(3)=15 kN/mP_q=5(3)=15\ \mathrm{kN/m} Mq=15(1.5+0.5)=30 kN⋅m/mM_q=15(1.5+0.5)=30\ \mathrm{kN\cdot m/m}

土壤有效應力造成的水平推力分段計算：

  • 地表至地下水位：壓力由 00 線性增至 Kaγ(1)=6 kN/m2K_a\gamma(1)=6\ \mathrm{kN/m^2}，合力為 3 kN/m3\ \mathrm{kN/m}，對底版底部力矩為 8.5 kN⋅m/m8.5\ \mathrm{kN\cdot m/m}。
  • 地下水位以下 2 m2\ \mathrm{m}：有效側壓由 66 增至 Ka[18+10(2)]=12.667 kN/m2K_a[18+10(2)]=12.667\ \mathrm{kN/m^2}，合力為 18.667 kN/m18.667\ \mathrm{kN/m}，對底版底部力矩為 25.75 kN⋅m/m25.75\ \mathrm{kN\cdot m/m}。
  • 地下水位以下水壓：由 00 線性增至 10(2)=20 kN/m210(2)=20\ \mathrm{kN/m^2}，合力為 20 kN/m20\ \mathrm{kN/m}，對底版底部力矩為 36.667 kN⋅m/m36.667\ \mathrm{kN\cdot m/m}。
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第 二 題25 分

某房舍欲採用方形獨立基腳，如下圖所示，請以一般支承力公式，計算安全係數為 33，地下水位低於基礎底面 0.5 m0.5\ \mathrm{m} 時，此方形獨立基腳可提供之單柱容許淨總載重 Pa (kN)P_a\ (\mathrm{kN})。

已知：

  • γ=16 kN/m3\gamma=16\ \mathrm{kN/m^3}
  • γsat=19 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19\ \mathrm{kN/m^3}
  • ϕ′=20∘\phi'=20^\circ
  • c′=10 kN/m2c'=10\ \mathrm{kN/m^2}
  • B=1.5 mB=1.5\ \mathrm{m}
  • Df=1.2 mD_f=1.2\ \mathrm{m}
  • D=0.5 mD=0.5\ \mathrm{m}

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支承力因數：

ϕ\phi（度）NcN_cNqN_qNγN_\gammaNγ∗N_\gamma^*
05.31.00.00.0
15.31.10.00.0
25.31.10.00.0
35.31.20.00.0
45.31.30.00.0
55.31.40.00.0
65.31.50.00.0
75.31.60.00.0
85.31.70.00.0
95.31.80.00.0
105.31.90.00.0
115.52.10.00.0
125.82.20.00.0
136.02.40.00.0
146.22.51.10.9
156.52.71.21.1
166.72.91.31.4
177.03.11.51.7
187.33.41.62.0
197.63.61.82.4
207.93.92.02.9
218.24.22.23.4
228.64.52.44.1
239.04.82.74.8
249.45.23.05.7
259.95.63.36.8
2610.46.03.68.0
2710.96.54.09.6
2811.47.14.411.2
2913.28.35.413.5
3015.39.86.615.7
3117.911.78.418.9
3220.914.110.622.0
3324.717.013.725.6
3429.320.817.831.1
3535.125.523.237.8
3642.231.630.544.4
3751.239.641.454.2
3862.549.857.664.0
3977.063.480.078.8
4040 以上95.781.2114.093.6

註：Nγ∗N_\gamma^* 為偏心載重基礎使用。

建議使用之各項影響因素計算式：

形狀影響因素 ss：

  • ϕ=0\phi=0 法：
Fcs=1+0.2(BL)≤1.2F_{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}\right)\leq 1.2 Fqs=1.0,Fγs=1.0F_{qs}=1.0,\qquad F_{\gamma s}=1.0
  • ϕ≥10∘\phi\geq 10^\circ：
Fcs=1+0.2(BL)tan⁡2(45∘+ϕ2)F_{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) Fqs=1+0.1(BL)tan⁡2(45∘+ϕ2)F_{qs}=1+0.1\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) Fγs=1+0.1(BL)tan⁡2(45∘+ϕ2)F_{\gamma s}=1+0.1\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)

埋置深度影響因素 dd：

  • ϕ=0\phi=0 法：
Fcd=1+0.2(DfB)≤1.5F_{cd}=1+0.2\left(\frac{D_f}{B}\right)\leq 1.5 Fqd=1.0,Fγd=1.0F_{qd}=1.0,\qquad F_{\gamma d}=1.0
  • ϕ≥10∘\phi\geq 10^\circ：
Fcd=1+0.2(DfB)tan⁡(45∘+ϕ2)F_{cd}=1+0.2\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) Fqd=1+0.1(DfB)tan⁡(45∘+ϕ2)F_{qd}=1+0.1\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) Fγd=1+0.1(DfB)tan⁡(45∘+ϕ2)F_{\gamma d}=1+0.1\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)

載重傾斜影響因素 ii：

  • 當 β≥ϕ\beta\geq\phi：
Fci=(1−β90∘)2F_{ci}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2 Fqi=(1−β90∘)2,Fγi=0F_{qi}=\left(1-\frac{\beta}{90^\circ}\right)^2,\qquad F_{\gamma i}=0
  • 當 β<ϕ\beta<\phi：
Fγi=(1−βϕ)2F_{\gamma i}=\left(1-\frac{\beta}{\phi}\right)^2

註：當 ϕ<10∘\phi<10^\circ 時使用 ϕ=0\phi=0 法，此時形狀與埋置深度影響因素均有上限值。

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核心觀念

本題考方形獨立基腳的淨容許承載力。先用一般支承力公式求淨極限承載力，再除以安全係數，最後乘基腳面積，得到單柱容許淨總載重。

地下水位在基礎底面以下 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，會降低支承力公式中土重項所用的有效單位重；黏聚力項與超載項不作此水位修正。

解題方法

取方形基腳 L=B=1.5 mL=B=1.5\ \mathrm{m}，載重垂直，故 β=0∘\beta=0^\circ，各載重傾斜因數均為 11。由題給表查得 ϕ′=20∘\phi'=20^\circ 時：

Nc=7.9,Nq=3.9,Nγ=2.0N_c=7.9,\qquad N_q=3.9,\qquad N_\gamma=2.0

因為是垂直中心載重，使用 NγN_\gamma，不使用偏心載重基礎適用的 Nγ∗N_\gamma^*。

先計算形狀與埋置深度因數。由 tan⁡(45∘+20∘/2)=tan⁡55∘\tan(45^\circ+20^\circ/2)=\tan55^\circ：

Fcs=1+0.2(BL)tan⁡255∘=1.408F_{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2 55^\circ =1.408 Fqs=Fγs=1+0.1(BL)tan⁡255∘=1.204F_{qs}=F_{\gamma s} =1+0.1\left(\frac{B}{L}\right)\tan^2 55^\circ =1.204 Fcd=1+0.2(DfB)tan⁡55∘=1.229F_{cd}=1+0.2\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan55^\circ =1.229 Fqd=Fγd=1+0.1(DfB)tan⁡55∘=1.114F_{qd}=F_{\gamma d} =1+0.1\left(\frac{D_f}{B}\right)\tan55^\circ =1.114

基礎底面處的有效覆土壓力為：

q=γDf=16(1.2)=19.2 kN/m2q=\gamma D_f=16(1.2)=19.2\ \mathrm{kN/m^2}

取水的單位重 γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}，水位以下的浮單位重為：

γ′=γsat−γw=19−9.81=9.19 kN/m3\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w =19-9.81=9.19\ \mathrm{kN/m^3}
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第 三 題25 分

（一）直徑 30 cm30\ \mathrm{cm} 之圓形預鑄混凝土基樁，樁長為 12 m12\ \mathrm{m}，如下圖所示，貫入於均勻之砂土層中。已知砂土層 c′=0 kN/m2c'=0\ \mathrm{kN/m^2}、ϕ′=30∘\phi'=30^\circ、γsat=19.6 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19.6\ \mathrm{kN/m^3}，地下水位於地表面。請估計此樁之容許垂直支承力，使用安全係數 FS=3FS=3。

註：

  1. 當 ϕ′=30∘\phi'=30^\circ 時，基樁支承力因數 Nq=21N_q=21（NAVFAC DM 7.02）。
  2. 此基樁可視為高排土基樁來考慮，側向土壓力係數 K=(1.0∼1.8)K0K=(1.0\sim1.8)K_0。
  3. 假設土壤—混凝土基樁之摩擦角 δ′=0.8ϕ′\delta'=0.8\phi'。

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（二）直徑 30 cm30\ \mathrm{cm} 之圓形預鑄混凝土基樁，樁長為 12 m12\ \mathrm{m}，如下圖所示，貫入於均勻之黏土層中。已知黏土層之不排水剪力強度 cu=13σv′c_u=\frac{1}{3}\sigma'_v、γsat=19.6 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19.6\ \mathrm{kN/m^3}，地下水位於地表面。請估計此樁之容許垂直支承力，使用安全係數 FS=3FS=3。

註：

  1. 當 ϕ=0∘\phi=0^\circ 時，假設基樁支承力因數 Nc=9N_c=9。
  2. 2cu<50 kN/m22c_u<50\ \mathrm{kN/m^2} 時，取 α=1\alpha=1。

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核心觀念

本題分別以砂土中的有效應力法，以及黏土中的不排水剪力強度法，估算樁尖阻力與樁身摩擦力：

Qu=Qb+Qs,Qallow=QuFSQ_u=Q_b+Q_s,\qquad Q_{\mathrm{allow}}=\frac{Q_u}{FS}

樁徑 D=0.30 mD=0.30\ \mathrm{m}、樁長 L=12 mL=12\ \mathrm{m}，因此：

Ab=πD24=0.07069 m2,P=πD=0.94248 mA_b=\frac{\pi D^2}{4}=0.07069\ \mathrm{m^2},\qquad P=\pi D=0.94248\ \mathrm{m}

地下水位在地表，計算砂土有效應力時採用浮重度：

γ′=γsat−γw=19.6−9.8=9.8 kN/m3\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w=19.6-9.8=9.8\ \mathrm{kN/m^3}

（一）砂土層

砂土不排水問題不適用；本題依有效應力計算。樁尖有效上覆壓力為：

σv,tip′=γ′L=9.8(12)=117.6 kN/m2\sigma'_{v,\mathrm{tip}}=\gamma' L=9.8(12)=117.6\ \mathrm{kN/m^2}

樁尖阻力

已知 Nq=21N_q=21，故：

Qb=AbNqσv,tip′=0.07069(21)(117.6)=174.5 kNQ_b=A_bN_q\sigma'_{v,\mathrm{tip}} =0.07069(21)(117.6) =174.5\ \mathrm{kN}

樁身摩擦力

靜止土壓力係數：

K0=1−sin⁡ϕ′=1−sin⁡30∘=0.5K_0=1-\sin\phi'=1-\sin30^\circ=0.5

題目給定 K=(1.0∼1.8)K0K=(1.0\sim1.8)K_0，因此 K=0.5∼0.9K=0.5\sim0.9。土壤與樁身摩擦角為：

δ′=0.8ϕ′=24∘\delta'=0.8\phi'=24^\circ

深度 zz 處的有效側向土壓力為 Kγ′zK\gamma'z，故樁身摩擦力為：

Qs=P∫0LKγ′ztan⁡δ′ dz=PKtan⁡24∘γ′L22Q_s=P\int_0^L K\gamma'z\tan\delta'\,dz =P K\tan24^\circ\frac{\gamma'L^2}{2}

代入數值：

Qs=296.1K=148.0∼266.5 kNQ_s=296.1K =148.0\sim266.5\ \mathrm{kN}

因此極限支承力範圍為：

Qu=Qb+Qs=322.6∼441.0 kNQ_u=Q_b+Q_s=322.6\sim441.0\ \mathrm{kN}

使用 FS=3FS=3：

Qallow=107.5∼147.0 kN\boxed{Q_{\mathrm{allow}}=107.5\sim147.0\ \mathrm{kN}}

若取題目所給 KK 範圍的中間值 K=1.4K0=0.70K=1.4K_0=0.70 作為估算值，則：

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第 四 題25 分

某工區於地下 20 m20\ \mathrm{m} 深度處有一受壓水層，其上方土層為兩層飽和黏土層，地下土層剖面如下圖所示。

（一）若開挖底面下方土層中，有不透水層且承受壓力水頭者，應檢討開挖過程中此不透水層抵抗上舉破壞之安全性。現將於此處進行地下室基礎開挖，請依照「建築物基礎構造設計規範」所建議底面上舉安全係數的計算方式，計算可以開挖的最大深度 HH。（10 分）

（二）說明擋土支撐開挖底部若因黏土層自重不足，無法抵抗受壓水層向上之浮力，而造成開挖面隆起之不良影響，並請加附圖示說明之。（7 分）

（三）若事前研判結果，推測開挖施工時可能會產生上舉隆起現象，應採取那些措施？（8 分）

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圖示資料：

  • 地表下方第一層為黏土層 A，厚度 10 m10\ \mathrm{m}，γsat=19 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 第二層為黏土層 B，厚度 10 m10\ \mathrm{m}，γsat=21 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=21\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 下方為砂土層，γsat=20 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=20\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 受壓水層之水位高於地表面 1 m1\ \mathrm{m}。
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核心觀念

本題考查受壓水層上方不透水黏土層的底面上舉安全性。檢核時，以受壓水作用於黏土層底面的水壓力為上舉力，以開挖底面至受壓水層頂面之間的土層自重為抵抗力：

Fs=抵抗上舉之土層自重受壓水上舉力F_s=\frac{\text{抵抗上舉之土層自重}}{\text{受壓水上舉力}}

依命題當年（民國 108 年）《建築物基礎構造設計規範》建議，底面上舉安全係數取 Fs≥1.2F_s\geq 1.2。以下採 γw=10 kN/m3\gamma_w=10\ \mathrm{kN/m^3} 計算。

（一）最大開挖深度

受壓水層頂面位於地表下 20 m20\ \mathrm{m}，其水位高於地表 1 m1\ \mathrm{m}，故作用於黏土層底面的壓力水頭為：

hp=20+1=21 mh_p=20+1=21\ \mathrm{m}

上舉水壓力為：

U=γwhp=10×21=210 kPaU=\gamma_w h_p=10\times21=210\ \mathrm{kPa}

先以 H≤10 mH\leq10\ \mathrm{m} 計算。開挖後，抵抗上舉的土層包括剩餘厚度 (10−H)(10-H) 的黏土層 A，以及完整厚度 10 m10\ \mathrm{m} 的黏土層 B。因此：

W=19(10−H)+21(10)=400−19H kPaW=19(10-H)+21(10)=400-19H\ \mathrm{kPa}

令安全係數達到規範建議值：

400−19H210≥1.2\frac{400-19H}{210}\geq1.2 400−19H≥252⇒H≤14819=7.79 m400-19H\geq252 \quad\Rightarrow\quad H\leq\frac{148}{19}=7.79\ \mathrm{m}

所得 HH 小於 10 m10\ \mathrm{m}，符合本段土層厚度的計算假設。

（二）開挖底部上舉隆起的不良影響

當開挖底面以下的黏土層自重不足以抵抗受壓水層的上舉力，黏土層可能向上變形、隆起；若土層破裂或水流通道形成，還可能發生突湧、砂湧或管湧。

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