111 公路人員升資考試士級晉佐級 技術類(選試機械原理大意)-公路總局 機械原理大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查偏心圓凸輪與平移式平面從動件的位置封閉條件，以及凸輪機構的壓力角定義。

令 $O_2$ 為座標原點，水平向右為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸。依圖示，凸輪圓心 $K$ 的座標為 $(r_2\cos\theta,\ r_2\sin\theta)$，從動件參考點 $P$ 的座標為 $(L,\ e)$。

從動件接觸平面由鉛直方向順時針傾斜 $\phi$，其法線方向可取為 $(\cos\phi,\ -\sin\phi)$。凸輪為圓形，因此接觸點 $A$ 處的共通法線就是半徑 $KA$，且 $KA=R$。

解題方法與位置函數推導

接觸點 $A$ 位於從動件平面上，故 $P$ 到 $A$ 的方向沿著接觸平面；這段向量在平面法線方向上的投影為零。另一方面，從 $K$ 到 $A$ 的法線投影長度為 $R$。

以法線方向 $(\cos\phi,\ -\sin\phi)$ 投影閉合關係，可得：

代入 $\overrightarrow{O_2P}=(L,e)$ 及 $\overrightarrow{O_2K}=(r_2\cos\theta,r_2\sin\theta)$：

利用 $\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$，並解出 $L$：

核心觀念

本題旨在測驗機構學中「速度瞬心（Instantaneous Center of Velocity）」的判定定理，以及利用瞬心觀點推導「齒形嚙合基本定律（Fundamental Law of Gearing）」。

1. 速度瞬心之定義與性質：

• 兩機件相對運動時，在某一瞬間相對速度為零的重合點，稱為兩機件的相對速度瞬心。
• 若兩機件由一固定轉動副（迴轉對）連接，其相對瞬心即位於該旋轉軸心上。
• 若兩機件維持接觸傳動，其相對瞬心必位於接觸點的公法線上（因接觸面法線方向不得有相對分離或穿透速度）。

2. 甘迺迪定理（Kennedy's Theorem / 三心定理）：

• 凡三個共平面相對運動之機件，其三個速度瞬心必共線（位於同一直線上）。
• 機件數為 $n=3$ 時，瞬心總數 $N = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{3(3-1)}{2} = 3$ 個，分別為 $I_{12}$、$I_{13}$ 與 $I_{23}$。

3. 齒形嚙合基本定律（齒輪傳動定律）：

• 一對齒輪欲維持角速度比（傳動比）為定值，其齒形接觸點之公法線與連心線的交點（節點 Pitch Point，即相對瞬心 $I_{23}$）在運轉過程中必須為固定不變的定點。

解題方法

(一) 速度瞬心 $I_{12}$、$I_{13}$、$I_{23}$ 的位置判定

1. 瞬心 $I_{12}$：

• 機件 1 為機架（固定），機件 2 為主動齒輪。
• 主動齒輪以迴轉對支承於機架上，繞固定軸心旋轉，因此 $I_{12}$ 位於主動齒輪（機件 2）的旋轉中心軸心 $O_2$。

2. 瞬心 $I_{13}$：

• 機件 1 為機架（固定），機件 3 為被動齒輪。
• 被動齒輪亦以迴轉對支承於機架上，繞固定軸心旋轉，因此 $I_{13}$ 位於被動齒輪（機件 3）的旋轉中心軸心 $O_3$。

3. 瞬心 $I_{23}$：

• 根據甘迺迪定理（三心定理）：機件 1、2、3 的三個瞬心 $I_{12}$、$I_{13}$、$I_{23}$ 必落在同一條直線上，而 $I_{12}$ 與 $I_{13}$ 的連線即為兩齒輪的連心線 $O_2 O_3$，故 $I_{23}$ 必位於連心線 $O_2 O_3$ 上。
• 根據高對接觸之瞬心性質：齒輪 2 與齒輪 3 在齒腹接觸點處作滾動兼滑動接觸，其接觸點之法向相對速度為零，因此相對瞬心 $I_{23}$ 必落在兩嚙合齒廓在接觸點之**公法線（作用線 / 壓力量線）**上。
• 綜合以上兩者，$I_{23}$ 位於**「齒廓接觸點之公法線」與「兩齒輪軸心之連心線」的交點**，此交點在齒輪機構中即稱為節點（Pitch Point，常用符號 $P$ 表示）。

(二) 以速度瞬心 $I_{23}$ 說明定轉速傳動原理

1. 瞬心速度關係與角速度比推導：

• 瞬心 $I_{23}$ 為齒輪 2 與齒輪 3 的瞬時速度相等點（兩者在該重合點之絕對速度相同）： $V_{I_{23}} = \omega_2 \cdot \overline{I_{12} I_{23}} = \omega_3 \cdot \overline{I_{13} I_{23}}$
• 其中 $\omega_2$ 為主動齒輪角速度，$\omega_3$ 為被動齒輪角速度。整理可得兩齒輪之角速度比（轉速比）為： $\frac{\omega_2}{\omega_3} = \frac{\overline{I_{13} I_{23}}}{\overline{I_{12} I_{23}}} = \frac{\overline{O_3 P}}{\overline{O_2 P}}$

2. 定轉速傳動之條件與漸開線特性：

• 若主動齒輪與被動齒輪欲維持定轉速比傳動（即 $\frac{\omega_2}{\omega_3} = \text{常數}$），則比值 $\frac{\overline{O_3 P}}{\overline{O_2 P}}$ 必須恆為定值。

核心觀念

皮帶與皮帶輪之間無滑動時，接觸處的線速度相同，因此兩輪轉速大小與直徑成反比：

$N_aD_a=N_bD_b$

交叉皮帶會使兩輪轉向相反；開口皮帶則使兩輪轉向相同。階級塔輪的大小皮帶輪固定在同一軸上，因此轉速相同。題目以逆時針為正方向。

解題方法

由圖可判讀：輸入皮帶輪 2 透過交叉皮帶帶動階級塔輪的小皮帶輪 $D_{3S}=80\ \mathrm{mm}$；階級塔輪的大皮帶輪 $D_{3L}=120\ \mathrm{mm}$ 再透過開口皮帶帶動輸出皮帶輪 4。

（一）輸出皮帶輪轉速 $N_4$

交叉皮帶使機件 3 反向：

階級塔輪同軸，大小皮帶輪轉速皆為 $N_3$。開口皮帶使機件 4 與機件 3 同向：

（二）交叉皮帶長度 $L_{23}$

交叉皮帶的近似長度公式為：

$L=2C+\frac{\pi}{2}(D+d)+\frac{(D+d)^2}{4C}$

核心觀念

本題考查偏位滑塊曲柄機構的極限位置與急回特性。滑塊位於極限位置時，曲柄與連桿共線，因此固定樞軸 $O_2$ 至滑塊接頭 $c$ 的距離分別為：

• 右極限 $c_1$：$O_2c_1=r_2+r_3$。
• 左極限 $c_2$：$O_2c_2=r_3-r_2$。

滑塊軌道與 $O_2$ 的垂直偏距為 $e$，故水平距離須由直角三角形求得，不能直接以兩桿長相加減作為水平距離。

解題方法

（一）水平距離與行程

令 $x_1$、$x_2$ 分別為 $O_2$ 至 $c_1$、$c_2$ 的水平距離。由直角三角形：

滑塊行程為兩極限位置的水平距離差：

（二）時間比

輸入曲柄等速逆時針旋轉，從右極限 $a_1$ 到左極限 $a_2$ 的轉角為工作行程角 $\beta_W$。

兩個共線位置的曲柄角度偏移量分別為：