108 公路人員升資考試士級晉佐級 技術類(選試電路學大意)-公路總局 電路學大意 考古題詳解

核心觀念

元件的瞬時功率為電壓與電流的乘積：

採用題目所示的電壓、電流參考方向，$p(t)>0$ 表示元件吸收功率，$p(t)<0$ 表示元件供出功率。功率對時間積分可得能量：

解題方法

在 $0\le t<2$ 秒，電壓為 $5\text{ V}$，電流為 $30t\text{ mA}$，所以

在 $2\le t\le4$ 秒，電壓為 $-5\text{ V}$，電流為 $30(4-t)\text{ mA}$，所以

因此功率的分段函數為

（一）功率圖形

在 $0\le t<2$ 秒，功率由 $(0,0)$ 線性上升至 $(2,300\text{ mW})$。在 $t=2$ 秒，電壓由 $5\text{ V}$ 跳變為 $-5\text{ V}$，電流仍為 $60\text{ mA}$，因此功率由 $+300\text{ mW}$ 跳至 $-300\text{ mW}$。在 $2\le t\le4$ 秒，功率線性上升至 $(4,0)$。

圖形可依序標出以下線段與跳變：

核心觀念

本題考獨立電流源與電阻的節點電壓關係，以及受控電流源的控制量與負載電流分配。受控電流源的電流為 $0.01v_o$，其中 $v_o$ 由左側電路決定；右側的 $5\,\text{k}\Omega$ 與 $20\,\text{k}\Omega$ 電阻並聯，兩端電壓相同。

解題方法

左側 $5\,\text{mA}$ 電流源向上供電，電流流經 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻向下。依歐姆定律：

因此右側受控電流源的電流為：

設右側並聯電阻上端相對下端的電壓為 $v$。依節點電流定律，受控電流源提供的電流等於流經兩個電阻的電流總和：

核心觀念

諾頓等效電路由一個等效電流源 $I_N$ 與等效電阻 $R_N$ 並聯組成：

• $I_N$ 等於 $a$、$b$ 短路時流經短路線的電流。
• $R_N$ 為自 $a$、$b$ 端看入，將獨立電壓源短路、獨立電流源開路後的等效電阻。

依圖將 $6\,\text{k}\Omega$ 電阻視為電路的一部分，計入端點等效。

解題方法

先求短路電流。令 $a$、$b$ 短路，取 $V_b=V_a=0$。因 $30\,\text{V}$ 電壓源左正右負，其左端電位為 $30\,\text{V}$。設左上節點電壓為 $V_1$，依節點電流定律：

解得 $V_1=50\,\text{V}$。因此流經 $20\,\text{k}\Omega$ 的電流為

此電流經電壓源流入 $a$ 點，再由短路線流向 $b$ 點，所以短路電流為 $1\,\text{mA}$，方向為 $a\to b$。

核心觀念

本題考查電容器的直流穩態與一階 RC 暫態：

• 直流穩態時，電容器相當於開路。
• 電容器電壓不能瞬間跳變，因此 $v(0^+)=v(0^-)$。
• 一階 RC 電路的電壓響應為 $v(t)=V_f+\bigl[v(0^+)-V_f\bigr]e^{-t/\tau},\qquad \tau=R_{\text{th}}C.$

解題方法

（一）$t<0$ 的電容電壓

開關長時間閉合，電路已達直流穩態，電容器視為開路。此時 $4\,\Omega$ 與 $1\,\Omega$ 電阻串聯，接在 $20\,\text{V}$ 電源兩端。電容器跨接在 $1\,\Omega$ 電阻兩端，因此由分壓得

$v(0^-)=20\cdot\frac{1}{4+1}=4\,\text{V}.$

電壓極性與圖示相同，上端為正。

（二）$t>0$ 的電容電壓

$t=0$ 開關打開後，右側 $1\,\Omega$ 支路斷路。電容器透過 $4\,\Omega$ 電阻接至 $20\,\text{V}$ 電源，因此電容器的最終電壓為

核心觀念

正弦穩態電路可用相量法將電容、電感換成阻抗或導納：

本題角頻率為 $\omega=10\ \text{rad/s}$。電流 $i$ 的箭頭方向由電壓源流向右，因此計算結果的相角就是相對於 $2\cos 10t$ 的相位。

解題方法

採用峰值相量，電壓源相量為 $\tilde V_s=2\angle 0^\circ\ \text{V}$。先求三個並聯元件的總導納：

因此並聯部分阻抗為：

串聯電阻為 $1\ \Omega$，所以總阻抗為：

由相量形式的歐姆定律：