108 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試機械設計)-公路總局 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查機械設計中「平皮帶傳動（Flat Belt Drive）」的基本力學分析，包含以下核心公式與觀念：

1. 皮帶線速度與功率傳遞： 皮帶輪邊緣的圓周線速度 $v$ 與轉速 $N$、直徑 $D$ 的關係為： $v = \frac{\pi D N}{60}$ 皮帶所傳遞之有效功率 $P$ 係由有效拉力（緊邊拉力與鬆邊拉力之差，$F_e = F_1 - F_2$）與線速度 $v$ 決定： $P = F_e \cdot v = (F_1 - F_2) \cdot v$

2. 皮帶摩擦傳動張力比（歐拉皮帶公式，Euler's Formula）： 在極限傳動狀態下，皮帶與帶輪之間的摩擦力符合歐拉公式。若題目未給定皮帶之質量、密度或截面積，通常忽略離心拉力（$F_c = 0$）： $\frac{F_1}{F_2} = e^{\mu \theta}$ 其中：

• $F_1$：緊邊拉力（Tight Side Tension，$\mathrm{N}$）
• $F_2$：鬆邊拉力（Slack Side Tension，$\mathrm{N}$）
• $\mu$：皮帶與帶輪間之摩擦係數
• $\theta$：接觸角（包角，必須以弳度／弧度 $\mathrm{rad}$ 代入）

解題方法

(一) 求有效拉力 $F_e$

1. 計算皮帶線速度 $v$： 已知皮帶輪直徑 $D = 0.2\ \mathrm{m}$，轉速 $N = 3000\ \mathrm{rpm}$： $v = \frac{\pi D N}{60} = \frac{\pi \times 0.2 \times 3000}{60} = 10\pi \approx 31.416\ \mathrm{m/s}$

2. 計算有效拉力 $F_e$： 已知傳遞功率 $P = 4\ \mathrm{kW} = 4000\ \mathrm{W}$： $P = F_e \cdot v \implies F_e = \frac{P}{v}$ 代入數值： $F_e = \frac{4000}{10\pi} = \frac{400}{\pi} \approx 127.32\ \mathrm{N}$

(二) 求緊邊拉力 $F_1$

1. 轉換接觸角單位至弳度（$\mathrm{rad}$）： 已知接觸角 $\theta = 150^\circ$： $\theta = 150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6}\ \mathrm{rad} \approx 2.618\ \mathrm{rad}$

2. 計算極限張力比 $\frac{F_1}{F_2}$： 摩擦係數 $\mu = 0.2$，不計離心力效應：

核心觀念

本題旨在考驗機械元件在靜態負載下的靜態破壞理論（Static Failure Theories）。材料在多軸複雜應力狀態下，無法直接以單一應力值與單軸拉伸試驗數據進行比較，必須藉由破壞理論建立「等效應力」或「臨界破壞準則」。

主要分類依據為材料的破壞機制：

1. 延性材料（Ductile Materials）：通常以產生永久塑性變形的降伏（Yielding）​視為破壞，主要受剪應力或剪切應變能主導。
2. 脆性材料（Brittle Materials）：無明顯降伏階段，受載至極限時以突發性脆裂（Fracture）​為主，主要受最大正向拉伸應力或微裂縫剪切摩擦主導。

設三向主應力排序為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。

解題方法

針對題目指定的四種破壞理論，分別從「理論基本假說與物理機制」、「數學判準方程式」、「二維平面應力（Plane Stress）破壞邊界特徵」以及「適用的材料種類」四個維度深入論述。

各題深入分析

(一) 最大畸變能理論（Maximum Distortion Energy Theory, DET）

1. 理論原理與假說：

• 又稱 Von Mises-Hencky 理論。
• 假說：將材料微元受力變形所吸收的總應變能分為兩部分：引起體積改變的「膨脹能（Dilation Energy）」與引起形狀改變的「畸變能（Distortion Energy）」。
• 該理論認為靜水壓應力狀態只改變體積而不導致降伏；使材料產生降伏的根本原因為單位體積所吸收的畸變能達到了單軸拉伸試驗下降伏時的臨界畸變能值。

2. 數學判據與公式：

• 畸變能密度 $U_d$ 為： $U_d = \frac{1+\nu}{6E}\left[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2\right]$
• 定義等效應力（Von Mises Stress）$\sigma'$： $\sigma' = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}$
• 降伏破壞條件（$S_y$ 為單軸拉伸降伏強度）： $\sigma' \ge S_y$
• 在二維平面應力狀態下（$\sigma_3 = 0$）： $\sigma' = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \ge S_y$
• 在純剪應力狀態（$\tau$）下，預測之剪切降伏強度為： $S_{sy} = \frac{S_y}{\sqrt{3}} \approx 0.577 S_y$

3. 二維應力空間幾何特徵：

• 在主應力坐標系 $(\sigma_1, \sigma_2)$ 下，其安全界限為一個長軸傾斜 $45^\circ$ 的橢圓形（Ellipse）。

4. 適用材料種類：

• 等向性延性材料（Isotropic Ductile Materials）。
• 特別適用於抗拉降伏強度與抗壓降伏強度相等（$S_{yt} \approx S_{yc}$）的金屬材料，如結構低碳鋼、合金鋼、鋁合金等。
• 此理論為延性材料中與實驗數據吻合度最高、最精確的破壞理論。

(二) 庫倫－莫爾理論（Coulomb-Mohr Theory, CMT）

1. 理論原理與假說：

• 又稱內部摩擦理論（Internal-Friction Theory）。
• 假說：材料的剪切抗力不僅取決於內聚力（Cohesion），亦受到滑移面上的法向正應力所產生的內部摩擦力影響。
• 當複雜應力狀態下繪出的莫爾圓（Mohr's Circle），與由單軸拉伸強度（$S_t$）圓、單軸壓縮強度（$S_c$）圓所切出的公切包絡線相切或相交時，材料即宣告破壞。

2. 數學判據與公式：

• 三向主應力中，最大主應力為 $\sigma_1$，最小主應力為 $\sigma_3$。
• 當應用於脆性材料斷裂（極限抗拉強度 $S_{ut}$、極限抗壓強度 $S_{uc}$，且 $S_{uc} > S_{ut}$）：
• 若 $\sigma_1 \ge \sigma_3 \ge 0$（同號拉應力）：$\sigma_1 \ge S_{ut}$
• 若 $0 \ge \sigma_1 \ge \sigma_3$（同號壓應力）：$|\sigma_3| \ge S_{uc} \iff -\frac{\sigma_3}{S_{uc}} \ge 1$
• 若 $\sigma_1 > 0 > \sigma_3$（異號應力，即第四象限）： $\frac{\sigma_1}{S_{ut}} - \frac{\sigma_3}{S_{uc}} \ge 1$
• 在純剪應力狀態下的剪切破壞強度預測值為： $\tau_f = \frac{S_{ut} S_{uc}}{S_{ut} + S_{uc}}$

3. 二維應力空間幾何特徵：

• 在 $(\sigma_1, \sigma_2)$ 平面上為一個不對稱的六邊形（第四象限為斜向直線邊界截斷）。

4. 適用材料種類：

• 脆性材料（Brittle Materials）。
• 特別適用於抗壓強度遠大於抗拉強度（$S_{uc} \gg S_{ut}$）​的材料，例如灰口鑄鐵（Gray Cast Iron）、混凝土、岩石、陶瓷、熱固性塑料等。
• 若材料具延性但抗拉與抗壓降伏強度不同（如某些鎂合金、粉末冶金金屬），該理論亦可換用降伏強度（$S_{yt}, S_{yc}$）進行評估（稱為延性莫爾－庫倫準則）。

(三) 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSST）

1. 理論原理與假說：

• 又稱 Tresca 理論 或 Guest 理論。
• 假說：延性材料的降伏主要是由結晶面上的剪切滑移（Slip）所引起。
• 該理論認為：當多軸應力微元中的最大絕對剪應力（$\tau_{\max}$），達到單軸拉伸試件降伏時的最大剪應力值時，材料即發生降伏。

2. 數學判據與公式：

• 由三維莫爾圓可知，三維空間中的最大絕對剪應力為： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
• 單軸拉伸降伏時的主應力為 $\sigma_1 = S_y, \sigma_2 = 0, \sigma_3 = 0$，此時 $\tau_{\text{yield}} = \frac{S_y}{2}$。
• 降伏破壞條件： $\tau_{\max} \ge \frac{S_y}{2} \iff \sigma_1 - \sigma_3 \ge S_y$
• 在平面應力狀態下（$\sigma_A, \sigma_B$ 為二非零主應力，隱含第三主應力為 0）：

核心觀念

本題評量螺旋壓縮彈簧（Helical Compression Spring）​的基本幾何關係、剛度特性與受力變形分析，核心觀念包含：

1. 空間幾何配置：彈簧置於孔內時，外徑 $D_o$ 與孔徑 $D_h$ 之間須滿足周圍間隙要求（單側間隙為半徑方向差值，直徑方向需扣除兩倍間隙）。
2. 基本幾何尺寸關聯：

• 彈簧外徑 $D_o = D + d$（其中 $D$ 為平均線圈直徑，$d$ 為線徑）。
• 彈簧指數（Spring Index）定義為 $C = \frac{D}{d}$。

3. 虎克定律與彈簧常數：在彈性限度內，彈簧負載變化量 $\Delta F$ 與長度變形量 $\Delta y$ 成正比，彈簧常數（勁度）定義為 $k = \frac{\Delta F}{\Delta y}$。
4. 螺旋彈簧勁度公式：圓線螺旋彈簧承受軸向力時，線材主要承受扭轉剪應力，其勁度理論公式為： $k = \frac{G d^4}{8 D^3 N_a} = \frac{G d}{8 C^3 N_a}$ 式中 $G$ 為材料之剪力模數，$N_a$ 為有效圈數（Active coils）。
5. 端部型式與圈數關係：兩端為「研磨方端」（Squared and ground ends）時，兩端各有一圈不起彈性作用的無效圈，總圈數與有效圈數之關係為 $N_t = N_a + 2$。

解題方法

(一) 求彈簧之平均線圈直徑 $D$

1. 求彈簧外徑 $D_o$： 彈簧置於直徑 $D_h = 60\ \mathrm{mm}$ 之孔內，且周圍均保持 $c = 2\ \mathrm{mm}$ 之徑向間隙，故彈簧外徑為孔徑扣除兩側間隙： $D_o = D_h - 2c = 60 - 2 \times 2 = 56\ \mathrm{mm}$

2. 配合彈簧指數求線徑 $d$ 與平均直徑 $D$： 由幾何定義： $D_o = D + d$ 已知彈簧指數 $C = \frac{D}{d} = 7 \implies D = 7d$，代入上式得： $D_o = 7d + d = 8d = 56\ \mathrm{mm}$ 解得線徑： $d = \frac{56}{8} = 7\ \mathrm{mm}$ 進而求得平均線圈直徑 $D$： $D = 7d = 7 \times 7 = 49\ \mathrm{mm}$

(二) 求彈簧常數 $k$

根據虎克定律，彈簧常數為單位變形量所需之負載增量：

• 負載變動量：$\Delta F = F_{\max} - F_{\min} = 1200 - 600 = 600\ \mathrm{N}$
• 長度變化量：$\Delta y = 25\ \mathrm{mm}$

計算彈簧常數： $k = \frac{\Delta F}{\Delta y} = \frac{600\ \mathrm{N}}{25\ \mathrm{mm}} = 24\ \mathrm{N/mm} \quad (24000\ \mathrm{N/m})$

(三) 求彈簧之總圈數 $N_t$

1. 求有效圈數 $N_a$： 剪力模數 $G = 80\ \mathrm{GPa} = 80 \times 10^3\ \mathrm{MPa} = 80000\ \mathrm{N/mm^2}$。

核心觀念 本題旨在測驗機械元件中「彈簧（Springs）」的基本功能分類與工程實務應用。彈簧為一種具高度彈性變形能力的機械元件，其核心力學原理包含：

1. 虎克定律（Hooke's Law）：在彈性限度內，變形量與施加之外力成正比，即 $F = k \cdot x$（線性移動）或 $T = k_t \cdot \theta$（角扭轉），其中 $k$ 為彈簧常數（剛度，Stiffness）。
2. 應變能（Strain Energy）：彈簧受力變形時，將外力所作之功轉化並暫存為彈性位能 $U$： $U = \int_0^x F \, dx = \frac{1}{2} k x^2$
3. 能量轉換與力平衡：彈簧藉由能量的吸收、儲存、釋放，以及受載後產生的反作用力，達到控制機構運動、維持接觸與吸收衝擊之目的。

解題方法 回答申論題型的機械元件用途時，切入點應按「力學機能」進行系統化分類，避免功能相互重疊或僅列舉日常生活零碎物品。標準解題架構採： 功能定義 $\to$ 作用機制（力學原理） $\to$ 具體工程應用實例 將彈簧的用途精確歸納為四大獨立機能：

1. 吸收衝擊與隔離振動（緩衝／避震）
2. 儲存能量以作功（儲能／動力源）
3. 提供作用力以維持接觸或控制運動（預壓力／復位）
4. 力量或重量之量測（感測／指示）

選項分析 本題為申論問答題，無選擇題選項。作答時最常見的扣分失誤為「分類層次不清」或「將同一機能拆成兩類」：

• 錯誤分類示範：將「車輛避震」與「鐵路車廂緩衝」拆成兩類（兩者皆屬「吸收衝擊與隔離振動」）；或將「汽門彈簧」與「原子筆彈簧」拆成兩類（兩者皆屬「施力控制運動與復位」）。
• 正確因應對策：牢扣上述四大力學本質，使四大用途在力學角色上互不重疊，且實例須涵蓋車輛、引擎與工業儀表，契合公路總局工程人員之專業背景。

解題技巧

1. 記憶口訣：「震、能、控、量」（震動吸收、能量儲存、運動控制、力量測量）。
2. 實例選取技巧：報考公路技術類科，實例應優先引進車輛底盤與動力機構（如板簧懸吊、汽門彈簧、離合器彈簧），能給閱卷委員極佳的專業印象。

【答案】

彈簧於工程設計中之四種主要用途及其具體應用說明如下：

一、 吸收衝擊與隔離振動（緩衝與減震）

• 功能說明：利用彈簧的柔度（Compliance）在極短時間內吸收衝擊能量，轉化為彈性應變能，延長衝擊時