108 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試交通工程學)-公路總局 工程經濟 考古題詳解

核心觀念

本題評量工程經濟中資產折舊（Depreciation）的加速折舊法（Accelerated Depreciation Methods），特別是餘額遞減折舊法（Declining Balance Method, DB）的折舊率判定與帳面價值（Book Value, $BV$）計算。

1. 餘額遞減法之折舊率（$d$）：

• 基準直線折舊率：$d_{SL} = \frac{1}{N}$（$N$ 為資產耐用年數或回收期）。
• 倍數餘額遞減折舊率：$d = \frac{k}{N}$ 其中 $k$ 為倍數因數。
• 當採 $1.5$ 倍餘額遞減法（$DB@150\%$）時，$k = 1.5$，則 $d_{150\%} = \frac{1.5}{N}$。
• 當採雙倍餘額遞減法（$DDB$，$DB@200\%$）時，$k = 2.0$，則 $d_{DDB} = \frac{2}{N}$。

2. 帳面價值（$BV$）通式： 在餘額遞減法下，每年的折舊額為期初帳面價值乘以固定折舊率 $d$。各期底帳面價值形成等比數列，使用 $t$ 年後的帳面價值閉合公式（Closed-form expression）為： $BV_t = B \times (1 - d)^t$ 其中：

• $B$：資產之初始購置成本（Cost Basis）。
• $t$：已使用年數。
• $d$：該折舊法所對應之年折舊率。

3. 殘值處理原則： 餘額遞減法在計算折舊率與各期帳面價值時，初始公式不扣除預估殘值（Salvage Value, $S$）（僅在資產折舊後期，帳面價值不得低於殘值）。題目未給定殘值，依標準慣例直接按未扣殘值之初價 $B$ 計算。

解題方法

步驟一：彙整題意已知參數

• 設備總購置成本 B = 500\text{ 萬美元} = \5,000,000$
• 回收期（耐用年數）$N = 20\text{ 年}$
• 計算時間點 $t = 6\text{ 年}$

步驟二：計算 1.5 倍餘額遞減折舊（$DB@150\%$）之帳面價值

1. 計算年折舊率 $d_{150\%}$： $d_{150\%} = \frac{1.5}{N} = \frac{1.5}{20} = 0.075\quad (7.5\%)$

2. 計算使用 6 年後之帳面價值 $BV_{6, 150\%}$： $BV_{6, 150\%} = B \times (1 - d_{150\%})^6$ $BV_{6, 150\%} = 5,000,000 \times (1 - 0.075)^6 = 5,000,000 \times (0.925)^6$

計算 $(0.925)^6$： $(0.925)^6 \approx 0.62639805$

代入求值： $BV_{6, 150\%} = 5,000,000 \times 0.62639805 \approx 3,131,990.25\text{ 美元}\quad (\text{約 } 313.199\text{ 萬美元})$

核心觀念

本題屬於工程經濟學中「成本估算」（Cost Estimating）的經典題型，評量考生整合規模成本模型與物價指數調整的綜合計算能力，涉及以下核心原理與公式：

1. 冪律與規模估計模型（The Power Law and Sizing Model / Cost-Capacity Method）： 用於估算不同產能規模下的設備或廠房成本，其基本關係式為： $\frac{C_A}{C_B} = \left( \frac{Q_A}{Q_B} \right)^x$ 其中：

• $C_A$：待估計規模 $Q_A$ 之成本。
• $C_B$：已知基準規模 $Q_B$ 之成本。
• $x$：冪數（規模指數，Capacity Exponent），反映規模經濟效益。當 $x < 1$ 時代表具規模經濟（產能倍增時成本增加幅度小於產能增幅）。

2. 成本指數調整法（Cost Index Method）： 用於調整不同時間點因通膨或物價變動所致之成本差異： $\frac{C_t}{C_0} = \frac{I_t}{I_0}$ 其中 $I_t$ 與 $I_0$ 分別為時間點 $t$ 與基準時間點 $0$ 之物價指數（本題為生產者物價指數 PPI）。

3. 綜合估計模型（Combined Capacity and Index Model）： 同時考慮跨期物價變動與產能規模變更時，成本關係式為： $C_t = C_0 \times \left( \frac{Q_t}{Q_0} \right)^x \times \left( \frac{I_t}{I_0} \right)$

4. 幾何平均年增率（Compound Annual Growth Rate, CAGR）： 物價指數在跨期預測時，平均年增率以複利幾何平均計算： $1 + \bar{g} = \left( \frac{I_{t_1}}{I_{t_0}} \right)^{\frac{1}{t_1 - t_0}}$

解題方法

(一) 估計 2018 年新廠房之設置成本

1. 定義變數與基準：

• 設原始基準產能為 $Q_0$。
• 參考廠房產能：$Q_{\text{ref}} = 2 Q_0$，設置成本 $C_{\text{ref}} = 660$ 萬美元。
• 2018 年擬建新廠房產能：$Q_{2018} = 4 Q_0$。
• 冪數：$x = 0.6$。
• 兩者皆為 2018 年近期成本，無需進行跨期物價指數調整。

2. 計算規模比值與成本： 產能規模比例為： $\frac{Q_{2018}}{Q_{\text{ref}}} = \frac{4 Q_0}{2 Q_0} = 2$ 依冪律模型計算新廠房成本 $C_{2018}$： $C_{2018} = C_{\text{ref}} \times \left( \frac{Q_{2018}}{Q_{\text{ref}}} \right)^x = 660 \times (2)^{0.6}$ 計算 $2^{0.6}$： $2^{0.6} \approx 1.515717$ 帶入公式得： $C_{2018} = 660 \times 1.515717 \approx 1000.373 \text{（萬美元）}$

(二) 估計 2023 年新設廠房之設置成本

1. 計算生產者物價指數之平均年增率與 2023 年指數值：

• 2014 年至 2018 年期間共歷經 $N = 2018 - 2014 = 4$ 年。
• 2014 年物價指數 $I_{2014} = 1100$；2018 年物價指數 $I_{2018} = 1450$。
• 4 年間物價指數總成長倍數為： $\frac{I_{2018}}{I_{2014}} = \frac{1450}{1100} = \frac{29}{22} \approx 1.318182$
• 題意設定未來 5 年（2018 年至 2023 年）平均年增率與 2014 至 2018 年相同，故未來 5 年之物價成長乘數為：

核心觀念

本題屬於工程經濟中的資產置換分析（Replacement Analysis），核心評估現有設備（防守者，Defender）與以租賃方式取得的新型設備（挑戰者，Challenger）之間的經濟可行性。涉及的關鍵概念與公式如下：

1. 機會成本觀點（Opportunity Cost Approach）： 在置換分析中，防守者的期初投資成本不可使用當年的歷史購買價格（沉沒成本，Sunk Cost），而必須以「若不更換設備，目前出售可得的市場價值」視為期初機會成本，即 $P = MV_0 = 35$ 萬美元。
2. 逐年邊際成本法（Marginal Cost Analysis / One-Year-Later Decision）： 當挑戰者的年值為長期穩定的常數（年租金固定為 90 萬美元）時，防守者是否應再保留一年的標準準則，在於比較防守者各年度的單年邊際持有成本（Marginal Cost, $TC_t$）​與挑戰者的年租金。 第 $t$ 年的邊際成本計算公式： $TC_t = MV_{t-1} \times i + (MV_{t-1} - MV_t) + O\&M_t$ 其中：

• $MV_{t-1} \times i$：第 $t$ 年期初資產未變現的資金成本（利息損失）。
• $MV_{t-1} - MV_t$：第 $t$ 年資產市場價值的損失（實際折舊額）。
• $O\&M_t$：第 $t$ 年的操作與維護費用。

3. 等額年值法（Equivalent Uniform Annual Worth, $AW$）： 若依題目文字「總費用之年值（$AW$）」從期初起算持有 $n$ 年的等額年費用，公式為： $AW_n = P(A/P, i, n) - MV_n(A/F, i, n) + O\&M$ 其中資金回收成本為 $CR_n = P(A/P, i, n) - MV_n(A/F, i, n)$。

解題方法

已知條件：

• 市場利率 $i = 6\%$
• 現有設備當前市值 $MV_0 = 35$ 萬美元
• 各年期末市值：$MV_1 = 30$ 萬美元、$MV_2 = 22$ 萬美元、$MV_3 = 6$ 萬美元、$MV_4 = 0$ 萬美元
• 每年操作與維修費用 $O\&M = 80$ 萬美元
• 新設備每年租賃費用 $AW_C = 90$ 萬美元

方法一：逐年邊際成本法（置換決策之最佳準則）

逐年計算繼續保留現有設備 1 年的邊際成本 $TC_t$：

1. 第 1 年邊際成本（$t = 1$）：

• 機會成本利息：$35 \times 6\% = 2.1$ 萬美元
• 市場價值折舊：$35 - 30 = 5$ 萬美元
• 操作維修費用：$80$ 萬美元 $TC_1 = 2.1 + 5 + 80 = 87.1\text{ 萬美元}$ 評估：$87.1\text{ 萬美元} < 90\text{ 萬美元}$，繼續保留現有設備優於租賃新設備。

2. 第 2 年邊際成本（$t = 2$）：

• 機會成本利息：$30 \times 6\% = 1.8$ 萬美元
• 市場價值折舊：$30 - 22 = 8$ 萬美元
• 操作維修費用：$80$ 萬美元 $TC_2 = 1.8 + 8 + 80 = 89.8\text{ 萬美元}$ 評估：$89.8\text{ 萬美元} < 90\text{ 萬美元}$，仍低於租賃費用，繼續保留使用第 2 年。

3. 第 3 年邊際成本（$t = 3$）：

• 機會成本利息：$22 \times 6\% = 1.32$ 萬美元
• 市場價值折舊：$22 - 6 = 16$ 萬美元
• 操作維修費用：$80$ 萬美元 $TC_3 = 1.32 + 16 + 80 = 97.32\text{ 萬美元}$ 評估：$97.32\text{ 萬美元} > 90\text{ 萬美元}$，若繼續使用第 3 年，該年總成本將高於年租賃費用。

根據置換原則，防守者在第 2 年底各項成本仍具優勢，但進入第 3 年之邊際成本已大於租賃費用，故應於第 2 年底（使用滿 2 年後）更換設備。

方法二：累積總費用年值法（$AW_n$ 檢驗）

核心觀念

本題屬於工程經濟中典型的​「租賃與購置決策」（Lease vs. Buy Decision）​與​「損益兩平壽命分析」（Breakeven Life Analysis），核心考點如下：

1. 名義利率與期利率之換算： 現金流量以「月」為週期，題目給定每半年名義利率 $r = 1.8\%$，半年包含 $6$ 個月，故每月實質利率（期利率）為： $i = \frac{r}{m} = \frac{1.8\%}{6} = 0.3\% = 0.003$

2. 等額年金與資本回收（等額本息攤提）： 購置成本 $P$ 攤提為每月等額本息之年金公式為： $A_P = P(A/P, i, n) = P \left[ \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \right]$

3. 損益兩平條件（現值平衡法）： 題目要求「購置方案每個月的總費用（等額本息攤提加維修費）與當月租賃費用相同」，亦即購置方案之等額月成本（Equivalent Uniform Monthly Cost, EUMC）等於租賃月租金： $EUMC_{\text{購置}} = EUMC_{\text{租賃}} \iff PW_{\text{購置}} = PW_{\text{租賃}}$ 將兩方案相減，等價於​「購置相較於租賃之每月淨節省額現值總和，恰好能回收初期購置成本 $P = 290$ 萬元」： $PW(\text{每月租金節省額}) - PW(\text{維修費用}) = P$

4. 殘值設定： 設備使用超過 $2.5$ 年（$30$ 個月）後，剩餘價值 $SV = 0$。

解題方法

採用​「淨節省現值法」（Present Worth of Net Savings）​求解損益兩平之壽命月數 $n$。

步驟一：計算每月期利率

半年名義利率 $r = 1.8\%$，換算月利率 $i$： $i = \frac{1.8\%}{6} = 0.3\%$

步驟二：建立各年度「租賃相較於購置之每月淨節省額」

每月租金為 $11.5$ 萬元，購置後各年度每月需支付維修費，故購置每月所產生的「租金淨節省額」（租金 $-$ 維修費）為：

• 第 1 年（第 1～12 個月）：每月維修費 $1$ 萬元 $\text{淨節省額 } B_1 = 11.5 - 1 = 10.5 \text{ 萬元/月}$
• 第 2 年（第 13～24 個月）：每月維修費 $2$ 萬元 $\text{淨節省額 } B_2 = 11.5 - 2 = 9.5 \text{ 萬元/月}$
• 第 3 年（第 25～36 個月）：每月維修費 $3$ 萬元 $\text{淨節省額 } B_3 = 11.5 - 3 = 8.5 \text{ 萬元/月}$

步驟三：分階段折現並累計淨節省現值

1. 計算 12 個月之年金現值因子： $(1+i)^{-12} = (1.003)^{-12} \approx 0.964692$ $(P/A, 0.3\%, 12) = \frac{1 - (1.003)^{-12}}{0.003} = \frac{1 - 0.964692}{0.003} \approx 11.76947$

2. 第 1 年淨節省現值 $PW_1$： $PW_1 = 10.5 \times (P/A, 0.3\%, 12) = 10.5 \times 11.76947 \approx 123.579 \text{ 萬元}$

3. 第 2 年淨節省現值 $PW_2$： $PW_2 = 9.5 \times (P/A, 0.3\%, 12) \times (1.003)^{-12} = 9.5 \times 11.76947 \times 0.964692 \approx 107.862 \text{ 萬元}$

4. 前 2 年（前 24 個月）累計現值： $PW_{1\sim 2} = PW_1 + PW_2 = 123.579 + 107.862 = 231.441 \text{ 萬元}$

步驟四：求解第 3 年所需之月數 $k$

初期購置成本為 $290$ 萬元，前 2 年回收 $231.441$ 萬元後，尚需回收金額：