106 臺灣港務公司招考員級 土木 台灣港務 第2次從業人員甄試 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

三個荷重皆為鉛直向下力，方向為 $-z$ 軸，因此可先將各力相加求合力，再利用力矩等效條件求合力作用位置。

合力為

$$\mathbf R=\sum \mathbf F$$

若以板面左後方原點為座標原點，$x$、$y$ 軸均位於板面內，鉛直向下力 $\mathbf F=-F\mathbf k$ 作用於 $(x,y)$ 點時，其對原點的力矩為

$$\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F$$

其中

$$\mathbf r=x\mathbf i+y\mathbf j$$

所以

$$\mathbf M_O =(x\mathbf i+y\mathbf j)\times(-F\mathbf k) =-Fy\mathbf i+Fx\mathbf j$$

因此，等效合力作用點 $(x_R,y_R)$ 必須滿足

$$R x_R=\sum F_i x_i$$ $$R y_R=\sum F_i y_i$$

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解題方法與計算

由圖讀得三個荷重位置如下：

• $100\text{ N}$ 作用於 $(x,y)=(3,0)\text{ m}$
• $500\text{ N}$ 作用於 $(x,y)=(4,3)\text{ m}$
• $400\text{ N}$ 作用於 $(x,y)=(0,4)\text{ m}$

三力皆鉛直向下。

合力大小：

$$R=100+500+400=1000\text{ N}$$

故

$$\boxed{R=1000\text{ N，鉛直向下}}$$

對原點取力矩，先計算 $x$ 方向座標：

$$R x_R =100(3)+500(4)+400(0)$$ $$1000x_R=300+2000=2300$$ $$x_R=2.30\text{ m}$$

再計算 $y$ 方向座標：

$$R y_R =100(0)+500(3)+400(4)$$ $$1000y_R=1500+1600=3100$$ $$y_R=3.10\text{ m}$$

所以合力作用線通過板面上的

核心觀念

本題考查平面面積的形心與面積慣性矩：

• 面積： $A=\int dA$
• 形心座標： $\bar{x}=\frac{1}{A}\int x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int y\,dA$
• 面積對 $x$ 軸的慣性矩： $I_x=\int y^2\,dA$

陰影區域位於水平線 $y=200\ \mathrm{mm}$ 下方、拋物線 $y=\frac{x^2}{50}$ 上方，且左右對稱於 $y$ 軸。由 $y=200$ 得：

$200=\frac{x^2}{50}\Rightarrow x=\pm100\ \mathrm{mm}$

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解題方法

採用垂直微小面積條：

$dA=\left(200-\frac{x^2}{50}\right)dx,\qquad -100\le x\le100$

(1) 陰影面積形心

面積

$$\begin{aligned} A &=\int_{-100}^{100}\left(200-\frac{x^2}{50}\right)dx\\ &=40000-\frac{1}{50}\left(\frac{2(100)^3}{3}\right)\\ &=\frac{80000}{3}\ \mathrm{mm^2} \end{aligned}$$

$\bar{x}$ 座標

因為陰影區域對稱於 $y$ 軸：

$\boxed{\bar{x}=0\ \mathrm{mm}}$

$\bar{y}$ 座標

對每一條垂直微小面積，其對 $x$ 軸的一次矩為：

$$dQ_x=\int_{x^2/50}^{200}y\,dy\,dx =\frac{1}{2}\left[200^2-\left(\frac{x^2}{50}\right)^2\right]dx$$

因此：

$$\begin{aligned} Q_x &=\frac{1}{2}\int_{-100}^{100} \left[40000-\frac{x^4}{2500}\right]dx\\ &=\frac{16}{5}\times10^6\ \mathrm{mm^3} \end{aligned}$$

故：

$$\bar{y}=\frac{Q_x}{A} =\frac{3.2\times10^6}{80000/3} =120\ \mathrm{mm}$$

所以形心位置為：

$\boxed{(\bar{x},\bar{y})=(0,\ 120\ \mathrm{mm})}$

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(2) 對 $x$ 軸的面積慣性矩

對垂直微小面積，從拋物線高度積分至 $y=200$：

核心觀念

本題考查平面桁架之：

• 靜不定度判斷：$m+r-2j$
• 零桿件判斷
• 整體平衡求支承反力
• 節點法求各桿件軸力

其中：

• 節點數：$j=6$，即 $A、B、C、D、E、F$
• 桿件數：$m=9$
• 支承反力數：$r=3$ $A$ 為鉸支承，提供水平與垂直反力；$C$ 為滾支承，提供垂直反力。

桁架靜不定度為

$$D_s=m+r-2j$$

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解題方法

採用「整體平衡法」求支承反力，再以「節點法」逐節點求桿件內力。

斜桿 $AE、EC$ 的幾何比例為

$$\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{m}$$

因此其方向餘弦為

$$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}$$

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(1) 判斷桁架靜不定度數

$$D_s=m+r-2j$$ $$D_s=9+3-2(6)=0$$

因此本桁架為：

$$\boxed{\text{靜定桁架}}$$

靜不定度數為 $\boxed{0}$。

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(2) 求桁架零桿

節點 $B$

節點 $B$ 有 $AB、BC、BE$ 三桿，其中 $AB$ 與 $BC$ 共線，且節點 $B$ 沒有外力或支承反力。

依零桿判斷定理，非共線桿 $BE$ 為零桿：

$$\boxed{BE=0}$$

節點 $D$

節點 $D$ 有 $ED、DC$ 兩桿，兩桿互相垂直，且節點 $D$ 沒有外力。

因此兩桿皆為零桿：

$$\boxed{ED=0,\qquad DC=0}$$

所以零桿為

$$\boxed{BE、ED、DC}$$

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(3) 求支承反力

設 $A$ 點反力為 $A_x、A_y$，$C$ 點反力為 $C_y$。

水平力平衡

取向右為正：

$$\sum F_x=0$$ $$A_x+80=0$$ $$\boxed{A_x=-80\ \mathrm{kN}}$$

故 $A$ 點水平反力為 $80\ \mathrm{kN}$，方向向左。

取 $A$ 點力矩

桁架總跨度為

$$3+3=6\ \mathrm{m}$$

外力 $80\ \mathrm{kN}$ 作用於 $F$ 點，高度為 $4\ \mathrm{m}$。

取逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$6C_y-80(4)=0$$ $$C_y=\frac{320}{6}=53.33\ \mathrm{kN}$$

因此

$$\boxed{C_y=53.33\ \mathrm{kN}\ \text{向上}}$$

垂直力平衡

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y=0$$ $$A_y=-53.33\ \mathrm{kN}$$

因此

$$\boxed{A_y=53.33\ \mathrm{kN}\ \text{向下}}$$

支承反力整理如下：

$$\boxed{ A_x=80\ \mathrm{kN}\ \text{向左},\quad A_y=53.33\ \mathrm{kN}\ \text{向下},\quad C_y=53.33\ \mathrm{kN}\ \text{向上} }$$

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(4) 求各桿件內力

以下以「桿件受拉為正」計算；結果為正表示拉力，負值表示壓力。

節點 $F$

節點 $F$ 受到水平向右的 $80\ \mathrm{kN}$ 外力。

垂直方向：

$$\sum F_y=0$$ $$F_{AF}=0$$

因此

$$\boxed{AF=0}$$

水平方向：

$$\sum F_x=0$$ $$80+F_{FE}=0$$ $$F_{FE}=-80\ \mathrm{kN}$$

故

$$\boxed{FE=80\ \mathrm{kN}\ \text{壓力}}$$

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節點 $C$

已知 $C_y=53.33\ \mathrm{kN}$，且 $DC=0$。

垂直方向：

$$\sum F_y=0$$ $$53.33+\frac{4}{5}F_{EC}=0$$ $$F_{EC}=-66.67\ \mathrm{kN}$$

故

$$\boxed{EC=66.67\ \mathrm{kN}\ \text{壓力}}$$

水平方向：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{BC}-\frac{3}{5}F_{EC}=0$$

代入 $F_{EC}=-66.67\ \mathrm{kN}$：

$$-F_{BC}+40=0$$ $$\boxed{BC=40\ \mathrm{kN}\ \text{拉力}}$$

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節點 $B$

已知 $BE=0$、$BC=40\ \mathrm{kN}$。

水平方向：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{AB}+40=0$$ $$\boxed{AB=40\ \mathrm{kN}\ \text{拉力}}$$

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節點 $A$

已知：

$$A_x=-80\ \mathrm{kN},\qquad A_y=-53.33\ \mathrm{kN}$$

且 $AF=0、AB=40\ \mathrm{kN}$。

水平方向：

核心觀念

本題考查「內鉸接合成梁」的靜力分析，以及剪力圖、彎矩圖的繪製。

採用慣例：

• 剪力 $V$：左截面向上為正。
• 彎矩 $M$：下凹（sagging）為正。
• 集中力使剪力圖產生突跳。
• 集中偶矩使彎矩圖產生突跳。
• 內鉸 $B、E$ 無法傳遞彎矩，因此 $M_B=M_E=0.$

圖中支承為 $A$ 鉸支承、$C、D、F$ 滾支承；$B、E$ 為內鉸。

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解題方法

設支承反力為 $A_y、C_y、D_y、F_y$。圖中 $A$ 點偶矩為順時針 $20\ \mathrm{kN\cdot m}$。

1. 構件 $AB$

對左側構件 $AB$ 取 $B$ 點彎矩：

$$-20+5(2)-A_y(5)=0$$

因此

$$A_y=-2\ \mathrm{kN}$$

表示 $A$ 點反力向下 $2\ \mathrm{kN}$。

再由垂直力平衡：

$$A_y+B_y-5=0$$ $$-2+B_y-5=0$$ $$B_y=7\ \mathrm{kN}$$

所以構件 $AB$ 對 $B$ 的作用力向上 $7\ \mathrm{kN}$；中間構件受到相反方向的 $7\ \mathrm{kN}$ 向下力。

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2. 構件 $EF$

均佈荷重合力為

$$W=5(4)=20\ \mathrm{kN}$$

作用於 $E$ 右方 $2\ \mathrm{m}$ 處。

對 $E$ 點取彎矩：

$$F_y(4)-20(2)=0$$ $$F_y=10\ \mathrm{kN}$$

由垂直力平衡：

$$E_y+F_y-20=0$$ $$E_y=10\ \mathrm{kN}$$

因此右側構件對 $E$ 的作用力向上 $10\ \mathrm{kN}$；中間構件受到 $10\ \mathrm{kN}$ 向下力。

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3. 構件 $BE$

中間構件承受：

• $B$ 點向下 $7\ \mathrm{kN}$
• $E$ 點向下 $10\ \mathrm{kN}$
• $C、D$ 點支承反力 $C_y、D_y$

垂直力平衡：

$$C_y+D_y-7-10=0$$ $$C_y+D_y=17$$

對 $B$ 點取彎矩，且 $BC=2\ \mathrm{m}$、$BD=4\ \mathrm{m}$、$BE=6\ \mathrm{m}$：

$$2C_y+4D_y-10(6)=0$$ $$C_y+2D_y=30$$

聯立得

$$D_y=13\ \mathrm{kN}$$ $$C_y=4\ \mathrm{kN}$$

所有支承反力為：

$$\boxed{A_y=-2\ \mathrm{kN}},\qquad \boxed{C_y=4\ \mathrm{kN}}$$ $$\boxed{D_y=13\ \mathrm{kN}},\qquad \boxed{F_y=10\ \mathrm{kN}}$$

水平方向無外力，因此

$$A_x=0$$

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剪力圖

令 $x$ 自 $A$ 點向右量測，單位為 $\mathrm{m}$。

各區段剪力

區段	剪力 $V$
$0<x<3$	$-2\ \mathrm{kN}$
$3<x<5$	$-7\ \mathrm{kN}$
$5<x<7$	$-7\ \mathrm{kN}$
$7<x<9$	$-3\ \mathrm{kN}$
$9<x<11$	$10\ \mathrm{kN}$
$11<x<13$	$10-5(x-11)$
$13<x<15$	$10-5(x-11)$

剪力圖各關鍵值：

• $A$ 右側：$V=-2$
• $x=3$ 受 $5\ \mathrm{kN}$ 向下集中力，降至 $-7$
• $C$ 點上升 $4$，變為 $-3$
• $D$ 點上升 $13$，變為 $10$
• $E$ 點受內鉸力向下 $10$，降至 $0$
• $E$ 至 $F$ 受均佈荷重，剪力線性下降
• $x=13$：$V=0$
• $F$ 點上升 $10$，回到 $0$

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彎矩圖

$A$ 至集中力處：$0<x<3$

$A$ 點順時針偶矩使彎矩圖在 $A$ 點跳升至 $20\ \mathrm{kN\cdot m}$：

$$M(x)=20-2x$$

因此

$$M_A=20\ \mathrm{kN\cdot m}$$ $$M_{x=3}=20-2(3)=14\ \mathrm{kN\cdot m}$$

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集中力至內鉸 $B$：$3<x<5$

$$M(x)=20-2x-5(x-3)$$

整理得

$$M(x)=35-7x$$

在 $B$ 點：

$$M_B=35-7(5)=0$$

符合內鉸條件。

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$B$ 至 $C$：$5<x<7$

$$M(x)=-7(x-5)$$ $$M_C=-7(2)=-14\ \mathrm{kN\cdot m}$$

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$C$ 至 $D$：$7<x<9$

$$M(x)=-14-3(x-7)$$

核心觀念

本題考查工型梁承受雙軸彎曲時的最大彎曲應力。由於截面關於 $x$ 軸、$y$ 軸均對稱，因此形心位於截面中心，且慣性積 $I_{xy}=0$。

雙軸彎曲應力公式為

$$\sigma=-\frac{M_x y}{I_x}+\frac{M_y x}{I_y}$$

最大應力會出現在距離兩軸最遠的截面角點。本題最外側角點座標為

$$x=\pm 2.5\ \text{cm},\qquad y=\pm 5\ \text{cm}$$

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解題方法

1. 截面幾何性質

將工型截面分成：

• 上、下翼板：$5\ \text{cm}\times0.7\ \text{cm}$
• 腹板：$0.5\ \text{cm}\times(10-2\times0.7)\ \text{cm}$

腹板高度為

$$h_w=10-1.4=8.6\ \text{cm}$$

關於 $x$ 軸的慣性矩

翼板形心到截面形心的距離為

$$d=\frac{10}{2}-\frac{0.7}{2}=4.65\ \text{cm}$$

因此

$$\begin{aligned} I_x &=2\left[\frac{5(0.7)^3}{12}+(5\times0.7)(4.65)^2\right] +\frac{0.5(8.6)^3}{12}\\ &=178.15\ \text{cm}^4 \end{aligned}$$

關於 $y$ 軸的慣性矩

$$\begin{aligned} I_y &=2\left[\frac{0.7(5)^3}{12}\right] +\frac{8.6(0.5)^3}{12}\\ &=14.67\ \text{cm}^4 \end{aligned}$$

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2. 彎矩單位換算

採用 $\text{N}$、$\text{cm}$、$\text{N}/\text{cm}^2$ 為單位：

$$M_x=2000\ \text{N}\cdot\text{m} =200000\ \text{N}\cdot\text{cm}$$ $$M_y=250\ \text{N}\cdot\text{m} =25000\ \text{N}\cdot\text{cm}$$

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3. 分別計算兩方向彎曲應力

在最外側角點，取 $x=2.5\ \text{cm}$、$y=5\ \text{cm}$。

由 $M_x$ 造成的應力為

$$\sigma_x=\frac{M_x y}{I_x} =\frac{200000(5)}{178.15} =5613.8\ \text{N/cm}^2$$

由 $M_y$ 造成的應力為