106 臺灣港務公司招考師級 土木 台灣港務 第2次從業人員甄試 工程力學 考古題詳解

核心觀念

斜面完全光滑，因此方塊不受摩擦力。方塊沿斜面方向的受力包括：

• 重力沿斜面向下的分力：$W\sin 60^\circ$
• 滑輪繩段對方塊沿斜面向上的兩個張力：$T+T=2T$

靜止平衡時，沿斜面方向合力為零。

解題方法

由圖可知，活動滑輪與方塊連接，繩索繞過活動滑輪，因此活動滑輪受到兩段張力，每段大小均為 $T$。

斜面角度為 $60^\circ$，方塊重量為 $W=100\ \mathrm{kgf}$。沿斜面方向列平衡方程式：

$$2T=W\sin 60^\circ$$

代入數值：

$$2T=100\sin 60^\circ$$ $$T=\frac{100(\sqrt{3}/2)}{2} =25\sqrt{3}\ \mathrm{kgf}$$ $$T\approx 43.3\ \mathrm{kgf}$$

若以力的 SI 單位表示，取 $1\ \mathrm{kgf}=9.8\ \mathrm{N}$：

$$T\approx 43.3\times 9.8 \approx 424\ \mathrm{N}$$

解題技巧與常見陷阱

核心觀念

本題考查桁架的「節點法」。桁架各桿件均視為二力桿，節點必須滿足：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$$

由於各節點水平、垂直間距均為 $1\ \mathrm{m}$，斜桿 $DJ$ 與 $DG$ 皆為 $45^\circ$，因此：

$$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$$

欲求桿件 $DG$，可由自由端節點 $J$、$H$、$D$ 依序計算，不需先求支承反力。

解題方法

取桿件受拉為正，受壓為負。

1. 節點 $J$

節點 $J$ 受向下 $100\ \mathrm{kN}$ 集中力，連接桿件 $DJ$ 與 $HJ$。

垂直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$F_{DJ}\sin45^\circ-100=0$$ $$F_{DJ}=\frac{100}{\sin45^\circ} =100\sqrt2 =141.4\ \mathrm{kN}$$

因此 $DJ$ 為拉力。

水平方向平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{HJ}-F_{DJ}\cos45^\circ=0$$

代入 $F_{DJ}=100\sqrt2$：

$$-F_{HJ}-100=0$$ $$F_{HJ}=-100\ \mathrm{kN}$$

所以 $HJ$ 為壓力，大小為 $100\ \mathrm{kN}$。

2. 節點 $H$

節點 $H$ 連接 $GH$、$DH$、$HJ$。

由於 $HJ$ 為壓力，對節點 $H$ 產生向右的 $100\ \mathrm{kN}$ 力。

水平方向平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{GH}+100=0$$ $$F_{GH}=100\ \mathrm{kN}$$

垂直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$F_{DH}=0$$

因此桿件 $DH$ 為零力桿。

3. 節點 $D$

節點 $D$ 連接 $CD$、$DG$、$DH$、$DJ$。

其中：

核心觀念

本題考查簡支梁的：

• 支承反力計算
• 剪力圖（SFD）
• 彎矩圖（BMD）
• 集中力造成剪力跳躍
• 均佈載重造成剪力線性變化、彎矩拋物線變化

由圖可讀得：

• 梁長 $AB=4.0\text{ m}$
• $6.0\text{ kN}$ 集中力作用於 $x=1.0\text{ m}$
• 均佈載重 $w=2.0\text{ kN/m}$ 作用於 $x=2.5\sim4.0\text{ m}$
• 均佈載重長度為 $1.5\text{ m}$

將均佈載重等效為集中力：

$$W=2.0(1.5)=3.0\text{ kN}$$

其作用位置在載重區中央：

$$x=2.5+\frac{1.5}{2}=3.25\text{ m}$$

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解題方法：先求支承反力

設 A 點垂直反力為 $A_y$，B 點垂直反力為 $B_y$。

1. 垂直力平衡

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y-6-3=0$$ $$A_y+B_y=9$$

2. 取 A 點力矩平衡

$$\sum M_A=0$$ $$4B_y-6(1)-3(3.25)=0$$ $$4B_y=15.75$$ $$B_y=3.9375\text{ kN}$$

因此：

$$A_y=9-3.9375=5.0625\text{ kN}$$

支承反力為：

$$\boxed{A_y=5.0625\text{ kN}\uparrow}$$ $$\boxed{B_y=3.9375\text{ kN}\uparrow}$$

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剪力圖

取左側截面計算剪力 $V$，正剪力採截面左側向上。

各區段剪力

區段 $0<x<1$

尚未遇到集中力：

$$V=5.0625\text{ kN}$$

因此剪力圖由 A 點向上跳至 $+5.0625\text{ kN}$，並保持水平。

$x=1$ 的集中力

集中力 $6\text{ kN}$ 向下，使剪力瞬間下降 $6\text{ kN}$：

$$V(1^+)=5.0625-6=-0.9375\text{ kN}$$

區段 $1<x<2.5$

沒有載重作用，因此剪力維持：

$$V=-0.9375\text{ kN}$$

區段 $2.5<x<4$

均佈載重作用下：

$$V(x)=-0.9375-2(x-2.5)$$

在 B 點左側：

$$V(4^-) =-0.9375-2(1.5) =-3.9375\text{ kN}$$

$x=4$ 的 B 支承反力

B 點反力使剪力向上跳升 $3.9375\text{ kN}$：

$$V(4^+)=0$$

剪力圖關鍵座標

位置	剪力
$A^+$	$+5.0625\text{ kN}$
$x=1^-$	$+5.0625\text{ kN}$
$x=1^+$	$-0.9375\text{ kN}$
$x=2.5$	$-0.9375\text{ kN}$
$x=4^-$	$-3.9375\text{ kN}$
$B^+$	$0$

剪力圖形狀為：

• $A$ 至 $x=1$：水平線 $+5.0625$
• $x=1$：垂直下降 $6$
• $x=1$ 至 $x=2.5$：水平線 $-0.9375$
• $x=2.5$ 至 $B$：斜直線下降
• $B$ 點：垂直上升至 $0$

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彎矩圖

簡支梁兩端彎矩為零：

$$M_A=0,\qquad M_B=0$$

且彎矩與剪力的關係為：

$$\frac{dM}{dx}=V$$

區段 $0<x<1$

$$M(x)=5.0625x$$

在集中力位置：

$$M(1)=5.0625\text{ kN}\cdot\text{m}$$

區段 $1<x<2.5$

$$M(x)=5.0625-0.9375(x-1)$$

在 $x=2.5$：

$$M(2.5)=5.0625-0.9375(1.5)$$ $$M(2.5)=3.65625\text{ kN}\cdot\text{m}$$

區段 $2.5<x<4$

令 $s=x-2.5$，則：

$$M(x)=3.65625-0.9375s-\frac{2s^2}{2}$$

即：

$$M(x)=3.65625-0.9375(x-2.5)-(x-2.5)^2$$

在 B 點：

$$M(4)=0$$

與簡支梁邊界條件相符。

核心觀念

本題考查「非均質複合梁」的彎曲與剪應力：

1. 彎曲中性軸由伸長合力為零決定。
2. 由於截面與材料上下對稱，中性軸位於截面中央。
3. 複合梁彎曲剛度為

$$(EI)_{\mathrm{eq}}=\sum E_i I_i$$

4. 彎曲曲率為

$$\kappa=\frac{M_z}{\sum E_i I_i}$$

5. 各材料的正向應力為

$$\sigma_x=-E_i\kappa y$$

6. 複合梁剪應力可由加權面積矩求得：

$$\tau_{xy} = \frac{V_y}{b\sum E_iI_i} \int_y^{h/2}E(s)s\,b\,ds$$

其中 $b=200\ \mathrm{mm}$。

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解題方法

截面尺寸為：

• 寬度：$b=200\ \mathrm{mm}$
• 上、下第 1 種材料厚度：$20\ \mathrm{mm}$
• 中間第 2 種材料深度：$300\ \mathrm{mm}$
• 總深度：

$$h=20+300+20=340\ \mathrm{mm}$$

因此中性軸距截面上下緣各 $170\ \mathrm{mm}$。

材料範圍為：

• 上緣材料 1：$y=150\sim170\ \mathrm{mm}$
• 中間材料 2：$y=-150\sim150\ \mathrm{mm}$
• 下緣材料 1：$y=-170\sim-150\ \mathrm{mm}$

彎矩換算為：

$$M_z=20\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} =20\times10^6\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}$$

彈性模數換算為：

$$E_1=200000\ \mathrm{N/mm^2}, \qquad E_2=20000\ \mathrm{N/mm^2}$$

一、計算複合梁彎曲剛度

兩塊材料 1 對中性軸的慣性矩總和為：

$$I_1 = 2\left[ \frac{b}{3}(170^3-150^3) \right]$$ $$I_1 = 2\left[ \frac{200}{3}(170^3-150^3) \right] = 2.05067\times10^8\ \mathrm{mm^4}$$

材料 2 的慣性矩為：

$$I_2 = \frac{b}{3}\left(150^3-(-150)^3\right)$$ $$I_2=4.50000\times10^8\ \mathrm{mm^4}$$

因此：

$$\sum E_iI_i = E_1I_1+E_2I_2$$ $$= (200000)(2.05067\times10^8) +(20000)(4.5\times10^8)$$ $$= 5.00133\times10^{13}\ \mathrm{N\cdot mm^2}$$

二、梁彎曲曲率

$$\kappa = \frac{20\times10^6} {5.00133\times10^{13}}$$ $$\boxed{ \kappa=3.999\times10^{-7}\ \mathrm{mm^{-1}} }$$

亦可表示為：

$$\boxed{ \kappa=3.999\times10^{-4}\ \mathrm{m^{-1}} }$$

三、材料交界面 $a$ 點的正向應力

圖中 $a$ 點位於下方材料交界面，故：

$$y_a=-150\ \mathrm{mm}$$

依

$$\sigma_x=-E_i\kappa y$$

在第 1 種材料側：

$$\sigma_{x1} = -(200000)(3.999\times10^{-7})(-150)$$ $$\boxed{ \sigma_{x1}=12.0\ \mathrm{MPa} }$$

在第 2 種材料側：

$$\sigma_{x2} = -(20000)(3.999\times10^{-7})(-150)$$ $$\boxed{ \sigma_{x2}=1.20\ \mathrm{MPa} }$$

下方界面位於中性軸下方，因此在正彎矩慣例下為拉應力；若題目採相反彎矩正號，應力方向相反，但數值大小不變。

四、材料交界面 $a$ 點的剪應力

在 $y=-150\ \mathrm{mm}$ 處，上方材料 2 的加權面積矩為零，只有上方材料 1 產生貢獻：

$$Q_E = E_1b\int_{150}^{170}y\,dy$$ $$Q_E = (200000)(200) \left[ \frac{170^2-150^2}{2} \right]$$ $$Q_E=1.28\times10^{11}\ \mathrm{N\cdot mm}$$

故：

核心觀念

本題考查平面應力轉換，包括：

• 主應力： $\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$
• 最大平面剪應力： $\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$
• 任意斜面上的應力轉換公式。

依圖示取拉應力為正、壓應力為負，得：

$\sigma_x=-40\text{ MPa},\qquad \sigma_y=80\text{ MPa},\qquad \tau_{xy}=25\text{ MPa}$

圖中剪應力方向符合 $\tau_{xy}=+25\text{ MPa}$。

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一、主應力

平均正應力為

$$\sigma_{\text{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{-40+80}{2} =20\text{ MPa}$$

莫爾圓半徑為

$$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$ $$R=\sqrt{\left(\frac{-40-80}{2}\right)^2+25^2} =\sqrt{(-60)^2+625} =\sqrt{4225} =65\text{ MPa}$$

因此主應力為

$$\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R=20+65=85\text{ MPa}$$ $$\sigma_2=\sigma_{\text{avg}}-R=20-65=-45\text{ MPa}$$

所以：

• 最大主應力：$85\text{ MPa}$
• 最小主應力：$-45\text{ MPa}$，表示壓應力

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二、最大平面剪應力

最大平面剪應力等於莫爾圓半徑：

$$\tau_{\max}=R=65\text{ MPa}$$

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三、$\theta=30^\circ$ 時，$AB$ 斜面上的應力

由圖可知，$AB$ 面與鉛直方向夾角為 $30^\circ$，因此 $x'$ 軸為斜面的法線，從原 $x$ 軸逆時針旋轉

$$\alpha=30^\circ$$

應力轉換公式為

$$\sigma_{x'} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\alpha +\tau_{xy}\sin 2\alpha$$

代入 $\alpha=30^\circ$：

$$\begin{aligned} \sigma_{x'} &=20+(-60)\cos60^\circ+25\sin60^\circ\\ &=20-30+25(0.8660)\\ &=11.65\text{ MPa} \end{aligned}$$

因此斜面法向應力為

$$\boxed{\sigma_{x'}=11.65\text{ MPa}}$$

剪應力轉換公式為

$$\tau_{x'y'} =-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha +\tau_{xy}\cos2\alpha$$

代入數值：