106 臺灣港務公司招考師級 機械 台灣港務 第3次從業人員甄試 工程力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查無摩擦接觸面的支撐力方向與剛體平衡條件：

• 無摩擦力之牆面 $A$：支撐力垂直於牆面，因此為水平力。
• 木栓 $B$、$C$ 與桿件接觸：支撐力垂直於桿件。
• 桿件為靜止剛體，使用 $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0.$

桿件與水平夾角為 $30^\circ$，各段長度為 $0.2\ \mathrm{m}$，因此：

$AB=0.2\ \mathrm{m},\quad AC=0.4\ \mathrm{m},\quad AD=0.6\ \mathrm{m}.$

解題方法

依圖示，$B$ 點支撐力斜向右下，$C$ 點支撐力斜向左上，兩者皆垂直於桿件。

設：

• $A$ 點支撐力為 $R_A$，方向水平向右；
• $B$ 點支撐力大小為 $R_B$；
• $C$ 點支撐力大小為 $R_C$。

由於支撐力與水平夾角分別為 $60^\circ$，其分量為：

$$\begin{aligned} B_x&=R_B\sin30^\circ, & B_y&=-R_B\cos30^\circ,\\ C_x&=-R_C\sin30^\circ, & C_y&=R_C\cos30^\circ. \end{aligned}$$

1. 垂直方向平衡

$\sum F_y=0$

$-R_B\cos30^\circ+R_C\cos30^\circ-600=0$

因此：

$R_C-R_B=\frac{600}{\cos30^\circ}=692.82\ \mathrm{N}.$

2. 取 $A$ 點力矩

$A$ 點反力通過取矩點，力矩為零。

$B$ 點支撐力造成順時針力矩，$C$ 點支撐力造成逆時針力矩；$D$ 點之 $600\ \mathrm{N}$ 垂直力的力臂為：

$AD\cos30^\circ=0.6\cos30^\circ.$

故：

$\sum M_A=0$

$-R_B(0.2)+R_C(0.4)-600(0.6\cos30^\circ)=0.$

整理得：

$-R_B+2R_C=1558.85.$

聯立

$$\begin{cases} R_C-R_B=692.82,\\ -R_B+2R_C=1558.85, \end{cases}$$

解得：

$R_B=173.21\ \mathrm{N},$

$R_C=866.03\ \mathrm{N}.$

3. 水平方向平衡

核心觀念

本題考察平面連桿機構的瞬時速度分析，使用剛體相對速度公式：

$$\vec v_D=\vec v_B+\vec\omega_{BD}\times\vec r_{D/B}$$

桿件 $DE$ 的 $E$ 點為固定鉸點，因此：

$$\vec v_D=\vec\omega_{DE}\times\vec r_{D/E}$$

各點速度方向皆垂直於其所在桿件。

解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為角速度正方向。

1. 求 $B$ 點速度

$AB=175\ \mathrm{mm}$，且 $AB$ 順時針轉動：

$$\omega_{AB}=-4\ \mathrm{rad/s}$$

由於

$$\vec r_{B/A}=-175\boldsymbol i\ \mathrm{mm}$$

所以

$$\vec v_B =\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A} =(-4\boldsymbol k)\times(-175\boldsymbol i) =700\boldsymbol j\ \mathrm{mm/s}$$

因此 $B$ 點速度向上，大小為：

$$v_B=700\ \mathrm{mm/s}$$

2. 建立 $D$ 點速度方程

桿件 $BD$ 為垂直桿，且 $BD=200\ \mathrm{mm}$：

$$\vec r_{D/B}=-200\boldsymbol j\ \mathrm{mm}$$

令桿件 $BD$ 的角速度為 $\omega_{BD}$，則：

$$\vec v_D =\vec v_B+\vec\omega_{BD}\times\vec r_{D/B}$$ $$\vec v_D =700\boldsymbol j +\omega_{BD}\boldsymbol k\times(-200\boldsymbol j)$$ $$\boxed{\vec v_D=200\omega_{BD}\boldsymbol i+700\boldsymbol j}$$

3. 由桿件 $DE$ 求 $D$ 點速度

由圖可知，$D$ 點在 $E$ 點左方：

$$175+100=275\ \mathrm{mm}$$

且 $D$ 點高於通過 $E$ 點的水平線 $75\ \mathrm{mm}$，因此：

$$\vec r_{D/E}=-275\boldsymbol i+75\boldsymbol j\ \mathrm{mm}$$

令桿件 $DE$ 的角速度為 $\omega_{DE}$，則：

$$\vec v_D =\omega_{DE}\boldsymbol k\times (-275\boldsymbol i+75\boldsymbol j)$$ $$\vec v_D =(-75\omega_{DE})\boldsymbol i +(-275\omega_{DE})\boldsymbol j$$

與前式比較 $x$、$y$ 分量：

$$200\omega_{BD}=-75\omega_{DE}$$ $$700=-275\omega_{DE}$$

由第二式：

核心觀念

本題考查剛體平衡、支承反力與靜摩擦力限制。

已知：

• 車台與礦物總質量：$m=6\ \mathrm{Mg}=6000\ \mathrm{kg}$
• 重量： $W=mg=6000(9.81)=58860\ \mathrm{N}=58.86\ \mathrm{kN}$
• 拉力：$P=10\ \mathrm{kN}$
• 靜摩擦係數：$\mu_s=0.4$
• $B$、$A$ 間距離：$1.5\ \mathrm{m}$
• 重心距離 $B$：$0.6\ \mathrm{m}$
• 拉力作用點高於輪軸：$0.9\ \mathrm{m}$
• 輪半徑：$r=0.15\ \mathrm{m}$

拉力作用線至鐵軌接觸面的高度為：

$h=0.9+0.15=1.05\ \mathrm{m}$

其中 $0.15\ \mathrm{m}$ 必須加入，因為力矩應以輪胎與鐵軌接觸面為基準。

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解題方法

設：

• $N_A$：輪 $A$ 的正向力
• $N_B$：輪 $B$ 的正向力
• $f_A,f_B$：輪 $A$、$B$ 與鐵軌間的靜摩擦力

拉力向左，因此靜摩擦力合力向右。

1. 輪 $A$ 的正向力

取輪 $B$ 與鐵軌接觸點為力矩中心，逆時針為正。

輪 $A$ 的正向力產生逆時針力矩，重量與拉力產生順時針、逆時針力矩，故：

$$\sum M_B=0$$ $$N_A(1.5)-W(0.6)+P(1.05)=0$$

代入數值：

$$1.5N_A-58.86(0.6)+10(1.05)=0$$ $$1.5N_A-35.316+10.5=0$$ $$N_A=\frac{35.316-10.5}{1.5}$$ $$\boxed{N_A=16.54\ \mathrm{kN}}$$

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2. 輪 $B$ 的正向力

垂直方向達到平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$N_A+N_B-W=0$$

因此：

$$N_B=W-N_A$$ $$N_B=58.86-16.54$$ $$\boxed{N_B=42.32\ \mathrm{kN}}$$

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3. 判斷車子是否會移動

兩輪可提供的最大靜摩擦力總和為：

$$f_{\max}=\mu_s(N_A+N_B)$$

由於：

$$N_A+N_B=W=58.86\ \mathrm{kN}$$

所以：

$$f_{\max}=0.4(58.86)=23.54\ \mathrm{kN}$$

外加拉力為：

$$P=10\ \mathrm{kN}$$

比較可得：

$$10<23.54$$

因此靜摩擦力足以抵抗拉力，車子不會發生滑動。

亦可分別計算兩輪的最大靜摩擦力：

核心觀念

本題考查軸的靜力平衡、支承反力，以及沿軸向繪製剪力圖與彎矩圖。

由圖可得：

• $AB=6\ \mathrm{in}$
• $BC=4\ \mathrm{in}$
• $AC=10\ \mathrm{in}$
• 曲柄作用力位置距離 $B$ 為 $3\ \mathrm{in}$

因此，$60\ \mathrm{lb}$ 集中力作用位置為

$$x_D=6+3=9\ \mathrm{in}$$

圖中曲柄的 $5\ \mathrm{in}$ 力臂產生軸向扭矩：

$$T=60(5)=300\ \mathrm{lb\cdot in}$$

此扭矩屬於繞 $x$ 軸的扭轉作用，不影響 $X$-$Z$ 平面內的剪力圖與彎矩圖。

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1. 自由體圖

取整根軸 $ABC$ 為自由體，支承反力方向均取向上：

• $R_A$：作用於 $A$，向上
• $R_C$：作用於 $C$，向上
• $60\ \mathrm{lb}$：作用於 $D$，向下
• $T=300\ \mathrm{lb\cdot in}$：作用於 $A$，繞 $x$ 軸

示意如下：

 RA ↑ RC ↑
A ──────┼──────── B ─────── D ──────┼── C
x=0 x=6 x=9 x=10
 ↓ 60 lb

 T = 300 lb·in

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支承反力計算

垂直方向力平衡：

$$\sum F_z=0$$ $$R_A+R_C-60=0$$

取 $A$ 點為力矩中心：

$$\sum M_A=0$$ $$R_C(10)-60(9)=0$$

因此

$$R_C=\frac{60(9)}{10}=54\ \mathrm{lb}$$

代回垂直力平衡式：

$$R_A+54-60=0$$ $$R_A=6\ \mathrm{lb}$$

所以

$$\boxed{R_A=6\ \mathrm{lb}},\qquad \boxed{R_C=54\ \mathrm{lb}}$$

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2. 剪力圖

採用「向上集中力使剪力增加、向下集中力使剪力減少」的正號規則。

各區段剪力

在 $A$ 點之後：

$$V=+R_A=+6\ \mathrm{lb}$$

因此：

• $0<x<9$：

$$V=+6\ \mathrm{lb}$$

• 通過 $D$ 點的 $60\ \mathrm{lb}$ 向下集中力後：

$$V=6-60=-54\ \mathrm{lb}$$

因此：

• $9<x<10$：

$$V=-54\ \mathrm{lb}$$

• 通過 $C$ 點的反力 $R_C=54\ \mathrm{lb}$ 後：

$$V=-54+54=0$$

剪力圖：

V (lb)

 +6 ┌───────────────────────┐
 │ │
 0 └───────────────────────┼────────
 x=9
 -54 └───────┐
 │
 └── x=10 → 0

 A B D C
 0 6 9 10 in

可寫成分段函數：

$$V(x)= \begin{cases} +6\ \mathrm{lb}, & 0<x<9\\[4pt] -54\ \mathrm{lb}, & 9<x<10 \end{cases}$$

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3. 彎矩圖

彎矩圖的斜率等於剪力：

$$\frac{dM}{dx}=V$$

且簡支端彎矩為零：

$$M_A=0,\qquad M_C=0$$

$A$ 至 $D$ 區段

$$M(x)=R_Ax=6x$$

在 $B$ 點：

$$M_B=6(6)=36\ \mathrm{lb\cdot in}$$

在集中力作用點 $D$：

$$M_D=6(9)=54\ \mathrm{lb\cdot in}$$

$D$ 至 $C$ 區段

$$M(x)=6x-60(x-9)$$

整理得

$$M(x)=540-54x$$

在 $C$ 點：

$$M_C=540-54(10)=0$$

核心觀念

本題考查平面應力狀態的摩爾圓，包括：

• 平均正向應力：

$\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$

• 摩爾圓半徑：

$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$

• 主應力：

$\sigma_{1,2}=\sigma_{\text{avg}}\pm R$

• 最大剪應力：

$\tau_{\max}=R$

• 主應力方向與最大剪應力方向在實體元素上相差 $45^\circ$，但在摩爾圓上相差 $90^\circ$，且摩爾圓轉角為實體元素轉角的 $2$ 倍。

以下採用工程力學慣例：拉應力為正，圖示所給 $\tau_{xy}=+28\ \mathrm{MPa}$。

解題方法：繪製摩爾圓

已知：

$\sigma_x=100\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_y=34\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{xy}=28\ \mathrm{MPa}$

摩爾圓上兩個互相垂直面的應力點為：

$A(\sigma_x,\tau_{xy})=(100,28)$

$B(\sigma_y,-\tau_{xy})=(34,-28)$

若採摩爾圓剪應力向上為正，則 $A$ 點位於 $(100,28)$，$B$ 點位於 $(34,-28)$。若教材採剪應力向下為正，圖形上下方向相反，但計算所得應力大小不變。

圓心位於：

$C=\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right)$

因此：

$$\sigma_{\text{avg}} =\frac{100+34}{2} =67\ \mathrm{MPa}$$

摩爾圓半徑為：

$R=\sqrt{\left(\frac{100-34}{2}\right)^2+28^2}$

$$R=\sqrt{33^2+28^2} =\sqrt{1873} =43.28\ \mathrm{MPa}$$

摩爾圓的主要位置如下：

• 圓心：$(67,0)$
• 右端：$(110.28,0)$，即最大主應力
• 左端：$(23.72,0)$，即最小主應力
• 上、下端：$(67,\pm43.28)$，即最大剪應力位置

第 1 題：摩爾圓上的主應力與最大剪應力

摩爾圓可用下列方式表示：

 τ
 ↑
 │ 最大剪應力
 │ (67, +43.28)
 B ●──────┼──────────────● A
 (34,-28) │ (100,28)
 │
σ₂=23.72 ●───────C──────────────● σ₁=110.28 → σ
 左端 (67,0) 右端
 │
 │ (67, -43.28)
 │ 最大剪應力
 ↓

因此：

$\boxed{\sigma_1=110.28\ \mathrm{MPa}}$

$\boxed{\sigma_2=23.72\ \mathrm{MPa}}$

$\boxed{\tau_{\max}=43.28\ \mathrm{MPa}}$

最大剪應力所在位置的正向應力為摩爾圓圓心的正向應力：

$\boxed{\sigma_n=67.00\ \mathrm{MPa}}$

第 2 題：主應力方向及元素圖上的標示

主應力方向可由：

$$\tan 2\theta_p =\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$$

代入數值：

$$\tan 2\theta_p =\frac{2(28)}{100-34} =\frac{56}{66} =0.8485$$

$2\theta_p=40.30^\circ$

因此：

$\boxed{\theta_p=20.15^\circ}$

也就是將元素逆時針旋轉 $20.15^\circ$，即可使剪應力為零，得到主應力方向。

旋轉後：

• $x'$ 方向為最大主應力方向：

$\boxed{\sigma_{x'}=\sigma_1=110.28\ \mathrm{MPa}}$

• $y'$ 方向為最小主應力方向：

$\boxed{\sigma_{y'}=\sigma_2=23.72\ \mathrm{MPa}}$

• 剪應力為：

$\boxed{\tau_{x'y'}=0}$

因此主應力元素圖應標示為：

 σ₂ = 23.72 MPa
 ↑
 │
 ┌────────┐
 │ │
 │ │
 └────────┘
 │
 ↓
 σ₂ = 23.72 MPa

左右兩面：σ₁ = 110.28 MPa
上下兩面：σ₂ = 23.72 MPa
剪應力：0

其中 $x'$ 軸相對原本 $x$ 軸逆時針旋轉 $20.15^\circ$。

另一組主方向與此相差 $90^\circ$，此時 $x'$ 方向對應 $\sigma_2$，$y'$ 方向對應 $\sigma_1$。

第 3 題：最大剪應力及相關正向應力

最大剪應力方向與主應力方向在實體元素上相差 $45^\circ$：

$\theta_s=\theta_p+45^\circ$

$$\theta_s=20.15^\circ+45^\circ =65.15^\circ$$

因此元素逆時針旋轉 $65.15^\circ$ 時，可得到最大剪應力的其中一個方向。

此時兩個互相垂直面上的正向應力相同，均等於平均正向應力：