111 郵政人員升資考試佐級晉員級 技術類(選試電機機械概要) 電機機械概要 考古題詳解

核心觀念

鐵芯磁導率 $\mu_c\to\infty$，因此鐵芯內的磁場強度可視為 $0$，激磁線圈提供的磁動勢全部用來克服氣隙磁阻。忽略漏磁與邊緣效應，使用：

其中 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。線圈電感則由磁通鏈結定義：

解題方法

先由氣隙磁通密度求氣隙磁場，再利用安培環路定律求電流。接著計算磁通，代入電感定義。

單位換算：

（一）激磁繞組直流電流

氣隙磁場強度為：

由 $NI=H_g g$：

核心觀念

本題屬於同步電機在「電動－發電機組（Motor-Generator Set, 簡稱 M-G set）」應用中的典型考題，主要測驗以下四項核心電氣機械觀念：

1. 同步轉速與頻率、極數關係： 同步電機的電氣頻率 $f$、磁極數 $P$ 與轉子旋轉機械轉速 $n_s$ 滿足： $n_s = \frac{120 f}{P}$ 單位為每分鐘轉速（$\mathrm{rpm}$）。

2. 剛性直接耦合（Direct Coupling）特性： 電動機與發電機之轉軸直接耦合，意味著兩者的機械運轉轉速完全一致，即 $n_M = n_G$。

3. 能量守恆與無損失假設： 題目載明「忽略一切損失」，代表機械損耗、鐵損、銅損均為零。因此，發電機所輸出的**有效功率（實功率 $P$）**完全來自於轉軸輸入之機械功率；同理，電動機之輸出機械功率亦等於發電機輸出之有效功率： $P_{\mathrm{out}, M} = P_{\mathrm{in}, G} = P_{\mathrm{out}, G} = S \cos\theta$ 注意：負載之虛功率（無效功率 $Q$）僅在系統中進行電磁能量交換，不對機械轉軸產生持續性的平均能量傳遞，因此計算平均機械轉矩時不計入虛功率。

4. 機械轉矩與機械功率關係： 機械轉矩 $T$、機械功率 $P$ 與機械角速度 $\omega_m$ 的關係為： $P = T \cdot \omega_m \implies T = \frac{P}{\omega_m} = \frac{P}{\frac{2\pi n}{60}} = \frac{60 P}{2\pi n}$

解題方法

（一）計算同步發電機之極數

1. 計算同步電動機之轉速 $n_M$： 電動機規格為六極（$P_M = 6$）、電源頻率 $f_M = 60\ \mathrm{Hz}$。其同步轉速為： $n_M = \frac{120 \times f_M}{P_M} = \frac{120 \times 60}{6} = 1200\ \mathrm{rpm}$

2. 求取同步發電機之極數 $P_G$： 發電機與電動機直接耦合，發電機轉速 $n_G = n_M = 1200\ \mathrm{rpm}$。 發電機供應 $f_G = 400\ \mathrm{Hz}$ 之負載，代入同步轉速公式： $n_G = \frac{120 \times f_G}{P_G} \implies 1200 = \frac{120 \times 400}{P_G}$ 解得發電機極數： $P_G = \frac{120 \times 400}{1200} = 40\ \text{極}$

（二）計算同步電動機之輸出機械轉矩

1. 計算發電機輸出之有效功率 $P_{\mathrm{out}, G}$： 發電機輸出視在功率 $S = 5\ \mathrm{kVA}$，功率因數 $\mathrm{PF} = \cos\theta = 0.8$（落後）。 $P_{\mathrm{out}, G} = S \times \cos\theta = 5\ \mathrm{kVA} \times 0.8 = 4\ \mathrm{kW} = 4000\ \mathrm{W}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機（Three-Phase Induction Motor）之運轉特性與功率潮流（Power Flow），涉及以下核心定義與公式：

1. 同步轉速與轉差率：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120 f}{P}\ \ (\mathrm{rpm})$
• 轉差率：$s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$

2. 感應機功率潮流關係式： 三相感應電動機傳送至轉子的電磁功率（氣隙功率 $P_{ag}$）、轉子銅損（$P_{rcu}$）與轉換之內部機械功率（$P_{conv}$）具有固定比例關係： $P_{ag} : P_{rcu} : P_{conv} = 1 : s : (1-s)$

• 氣隙功率：$P_{ag} = \frac{P_{conv}}{1 - s}$
• 轉子銅損：$P_{rcu} = s \cdot P_{ag} = \frac{s}{1 - s} \cdot P_{conv}$

3. 機械損耗與軸輸出功率： 電動機輸出機械功率 $P_{out} = P_{conv} - P_{rot}$（其中 $P_{rot}$ 為旋轉損耗，包含風損與摩擦損）。題目明定雜散損、風損與摩擦損失皆忽略不計，故： $P_{conv} = P_{out} = 10\ \mathrm{kW}$
4. 輸出轉矩： $T_{out} = \frac{P_{out}}{\omega_r} = \frac{P_{out}}{\frac{2\pi n_r}{60}} = \frac{60 P_{out}}{2\pi n_r}\ \ (\mathrm{N\cdot m})$

解題方法

（一）計算轉差率 $s$

1. 計算同步轉速 $n_s$： 電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，極數 $P = 4$： $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$

2. 代入轉差率定義式： 電動機轉子轉速 $n_r = 1719\ \mathrm{rpm}$： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s} = \frac{1800 - 1719}{1800} = \frac{81}{1800} = 0.045\ \ (4.5\%)$

（二）計算氣隙功率 $P_{ag}$

1. 判定轉換機械功率 $P_{conv}$： 因風損、摩擦損及雜散損均不計，故內部電磁轉換功率等於額定輸出功率： $P_{conv} = P_{out} = 10\ \mathrm{kW} = 10000\ \mathrm{W}$

2. 由功率潮流關係式求氣隙功率 $P_{ag}$： $P_{ag} = \frac{P_{conv}}{1 - s} = \frac{10000}{1 - 0.045} = \frac{10000}{0.955} \approx 10471.2\ \mathrm{W}\ \ (10.471\ \mathrm{kW})$

（三）計算轉子銅損 $P_{rcu}$

由轉子功率關係式計算： $P_{rcu} = s \cdot P_{ag} = 0.045 \times 10471.2 \approx 471.2\ \mathrm{W}$

(亦可由差額驗算：$P_{rcu} = P_{ag} - P_{conv} = 10471.2 - 10000 = 471.2\ \mathrm{W}$)

（四）計算輸出轉矩 $T_{out}$

核心觀念

此題考直流並激電動機串入外加電阻後的轉速與輸出功率變化。使用下列關係：

• 並激磁場電流：$I_f=V/R_f$
• 電樞反電勢：$E_a=V-I_aR_a$
• 磁通固定時，電磁轉矩 $T\propto I_a$，轉速 $n\propto E_a$
• 軸輸出功率：$P_{\mathrm{out}}=\tau_m\omega$

解題方法

1. 求串入電阻前的磁通與反電勢

磁場電阻直接並接電源，且 $V$、$R_f$ 不變，因此磁場電流不變：

忽略磁飽和影響，磁通維持不變。原電樞反電勢為：

2. 求串入電阻後的電樞電流與轉速

機械負載轉矩不變，磁通也不變；因為 $T\propto\Phi I_a$，電樞電流仍為 $35.1\ \mathrm{A}$。串入外加電阻後，總電樞串聯電阻為：

新反電勢：

核心觀念

本題評量三相感應電動機的核心運行理論，涵蓋同步轉速、轉差率、功率潮流（Power Flow）以及電磁轉矩之計算。主要公式與定義如下：

1. 同步轉速與轉差率：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120f}{P}$ 其中 $f$ 為電源頻率（$\mathrm{Hz}$），$P$ 為電機極數。
• 轉差率：$s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$ 其中 $n_r$ 為轉子實際運轉轉速（$\mathrm{rpm}$）。

2. 感應機轉子功率潮流比例： 轉子吸收之氣隙功率（Air-gap Power, $P_{ag}$）、轉子銅損（Rotor Copper Loss, $P_{Cu2}$）與轉換之內生機械功率（Converted Mechanical Power, $P_{\mathrm{conv}}$）具備固定比例關係： $P_{ag} : P_{Cu2} : P_{\mathrm{conv}} = 1 : s : (1-s)$ 由此可得： $P_{Cu2} = s P_{ag} = \frac{s}{1-s} P_{\mathrm{conv}}$

3. 轉矩與機械功率關係： $T = \frac{P}{\omega}$ 其中 $\omega$ 為機械角速度（$\mathrm{rad/s}$），$\omega_r = \frac{2\pi n_r}{60}$。 題目明言「忽略鐵損、風損及摩擦損失」，因此內生機械功率等於輸出機械負載功率（$P_{\mathrm{conv}} = P_{\mathrm{out}}$），電磁轉矩等於輸出軸轉矩。

解題方法

（一）計算轉差率（$s$）

1. 計算同步轉速 $n_s$： 已知極數 $P = 2$、頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$， $n_s = \frac{120 \times 60}{2} = 3600\ \mathrm{rpm}$

2. 計算轉差率 $s$： 已知轉子轉速 $n_r = 3456\ \mathrm{rpm}$， $s = \frac{n_s - n_r}{n_s} = \frac{3600 - 3456}{3600} = \frac{144}{3600} = 0.04 = 4\%$

（二）計算轉矩（$T$）

1. 計算轉子旋轉角速度 $\omega_r$： $\omega_r = \frac{2\pi n_r}{60} = \frac{2\pi \times 3456}{60} = 115.2\pi \approx 361.91\ \mathrm{rad/s}$

2. 計算輸出轉矩 $T$： 因忽略風損及摩擦損失，機械輸出功率 $P_{\mathrm{out}} = 18.65\ \mathrm{kW} = 18650\ \mathrm{W}$： $T = \frac{P_{\mathrm{out}}}{\omega_r} = \frac{18650}{115.2\pi} \approx 51.53\ \mathrm{N\cdot m}$

（三）計算轉子銅損（$P_{Cu2}$）

1. 確立功率關係： 因忽略旋轉損（風損與摩擦損），內生機械功率即等於負載功率： $P_{\mathrm{conv}} = P_{\mathrm{out}} = 18.65\ \mathrm{kW} = 18650\ \mathrm{W}$