109 桃園國際機場不分職等 技術員-電機 桃機新進人員 工程-電機-技術員(R2605)-電路學 考古題詳解

109 年・桃園國際機場・不分職等・技術員-電機
試題代碼 109年桃機新進人員 工程-電機-技術員(R2605)-電路學

第 第一題 題25 分

直流電路如【圖一】所示，直流電源電壓 Es=360 VE_s=360\,\mathrm{V}，電阻 R1=4 ΩR_1=4\,\Omega、R2=60 ΩR_2=60\,\Omega、R3=10 ΩR_3=10\,\Omega、R4=10 ΩR_4=10\,\Omega、RL=25 ΩR_L=25\,\Omega。請求：

（一）電壓 V1V_1、V2V_2、V3V_3、V4V_4、VLV_L。（10 分）

（二）電流 I1I_1、I2I_2、I3I_3、I4I_4、ILI_L。（10 分）

（三）電阻 R1R_1 及 RLR_L 的消耗功率。（5 分）

【圖一】包含電源 EsE_s、電阻 R1R_1、R2R_2、R3R_3、R4R_4、RLR_L，以及電流 I1I_1、I2I_2、I3I_3、I4I_4、ILI_L 和電壓 V1V_1、V2V_2、V3V_3、V4V_4、VLV_L。

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核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的等效電阻、歐姆定律、基爾霍夫電流定律，以及電阻消耗功率。

  • 串聯電阻：Req=R1+R2+⋯R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+\cdots
  • 並聯電阻：1Req=∑i1Ri\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac{1}{R_i}
  • 歐姆定律：V=IRV=IR
  • 電阻功率：P=I2R=V2RP=I^2R=\dfrac{V^2}{R}

解題方法

依圖一，R3R_3、R4R_4 連接在相同兩個節點之間，彼此並聯；其等效電阻再與 RLR_L 串聯。這整個支路與 R2R_2 並聯，最後再與 R1R_1 串聯。

先求右側支路：

R34=R3∥R4=10×1010+10=5 ΩR_{34}=R_3\parallel R_4 =\frac{10\times10}{10+10} =5\,\Omega R34L=R34+RL=5+25=30 ΩR_{34L}=R_{34}+R_L=5+25=30\,\Omega

再與 R2R_2 並聯：

R∥=R2∥R34L=60×3060+30=20 ΩR_{\parallel}=R_2\parallel R_{34L} =\frac{60\times30}{60+30} =20\,\Omega

全電路等效電阻為：

R總=R1+R∥=4+20=24 ΩR_{\mathrm{總}}=R_1+R_{\parallel}=4+20=24\,\Omega

因此電源電流，也就是流經 R1R_1 的電流為：

I1=EsR總=36024=15 AI_1=\frac{E_s}{R_{\mathrm{總}}} =\frac{360}{24} =15\,\mathrm{A}

R1R_1 的電壓降為：

V1=I1R1=15×4=60 VV_1=I_1R_1=15\times4=60\,\mathrm{V}

並聯部分的電壓為：

V∥=Es−V1=360−60=300 VV_{\parallel}=E_s-V_1=360-60=300\,\mathrm{V}

所以 R2R_2 兩端電壓 V2=300 VV_2=300\,\mathrm{V}，其電流為：

I2=V2R2=30060=5 AI_2=\frac{V_2}{R_2}=\frac{300}{60}=5\,\mathrm{A}

右側支路電流為：

IL=V∥R34L=30030=10 AI_L=\frac{V_{\parallel}}{R_{34L}} =\frac{300}{30} =10\,\mathrm{A}

因 R34R_{34} 與 RLR_L 串聯，流經 R3∥R4R_3\parallel R_4 等效部分及 RLR_L 的電流相同，因此 IL=10 AI_L=10\,\mathrm{A}。RLR_L 的電壓為：

VL=ILRL=10×25=250 VV_L=I_LR_L=10\times25=250\,\mathrm{V}

R3R_3、R4R_4 並聯部分的電壓為：

V34=V∥−VL=300−250=50 VV_{34}=V_{\parallel}-V_L=300-250=50\,\mathrm{V}

因此：

V3=V4=50 VV_3=V_4=50\,\mathrm{V} I3=V3R3=5010=5 A,I4=V4R4=5010=5 AI_3=\frac{V_3}{R_3}=\frac{50}{10}=5\,\mathrm{A}, \qquad I_4=\frac{V_4}{R_4}=\frac{50}{10}=5\,\mathrm{A}

功率方面：

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第 第二題 題25 分

三相平衡電路如【圖二】所示，交流電源電壓相量 E^a=120∠0∘ V\hat{E}_a=120\angle 0^\circ\,\mathrm{V}（有效值）、E^b=120∠−120∘ V\hat{E}_b=120\angle -120^\circ\,\mathrm{V}（有效值）、E^c=120∠120∘ V\hat{E}_c=120\angle 120^\circ\,\mathrm{V}（有效值），負載阻抗 Z^L=8+j6 Ω\hat{Z}_L=8+j6\,\Omega（Z^L=10∠36.9∘ Ω\hat{Z}_L=10\angle 36.9^\circ\,\Omega）。假設線路阻抗可忽略，請求：

（一）負載端的線電壓 V^ab\hat{V}_{ab}、V^bc\hat{V}_{bc}、V^ca\hat{V}_{ca}。（10 分）

（二）電流 I^a\hat{I}_a、I^b\hat{I}_b、I^c\hat{I}_c。（10 分）

（三）三相負載的總實功率及總虛功率。（5 分）

註：cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}、sin⁡120∘=32\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}、cos⁡30∘=32\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}、sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}。

【圖二】為三相電源與三相負載電路圖，標示電源 E^a\hat{E}_a、E^b\hat{E}_b、E^c\hat{E}_c，電流 I^a\hat{I}_a、I^b\hat{I}_b、I^c\hat{I}_c，線電壓 V^ab\hat{V}_{ab}、V^bc\hat{V}_{bc}、V^ca\hat{V}_{ca}，以及負載阻抗 Z^L\hat{Z}_L。

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核心觀念

圖二為平衡三相電源供應平衡三角形負載。電源相量 E^a,E^b,E^c\hat E_a,\hat E_b,\hat E_c 是相對共同參考點的相電壓；各負載阻抗則直接接在線與線之間，因此負載各支路電壓就是線電壓。

三角形負載的支路電流為線電壓除以負載阻抗；線電流則由相鄰兩支路電流的相量差求得。複功率使用

S^=P+jQ=∣V^∣2Z^L ∗.\hat S=P+jQ=\frac{|\hat V|^2}{\hat Z_L^{\,*}}.

解題方法

先由相電壓相減求線電壓，再求各負載支路電流，接著以相鄰支路電流的相量差求線電流。最後計算單一負載支路的複功率，乘以三得到總實功率與總虛功率。

（一）負載端線電壓

V^ab=E^a−E^b=120∠0∘−120∠(−120∘)=1203∠30∘ V,V^bc=E^b−E^c=1203∠(−90∘) V,V^ca=E^c−E^a=1203∠150∘ V.\begin{aligned} \hat V_{ab} &=\hat E_a-\hat E_b =120\angle0^\circ-120\angle(-120^\circ) =120\sqrt3\angle30^\circ\ \mathrm V,\\ \hat V_{bc} &=\hat E_b-\hat E_c =120\sqrt3\angle(-90^\circ)\ \mathrm V,\\ \hat V_{ca} &=\hat E_c-\hat E_a =120\sqrt3\angle150^\circ\ \mathrm V. \end{aligned}

因此，三個線電壓的有效值皆為 1203≈207.85 V120\sqrt3\approx207.85\ \mathrm V。

（二）電流

令三角形負載各支路電流依序為 I^ab\hat I_{ab}、I^bc\hat I_{bc}、I^ca\hat I_{ca}。負載阻抗為

Z^L=10∠36.9∘ Ω.\hat Z_L=10\angle36.9^\circ\ \Omega.

各支路電流為

I^ab=V^abZ^L=123∠(−6.9∘) A,I^bc=V^bcZ^L=123∠(−126.9∘) A,I^ca=V^caZ^L=123∠113.1∘ A.\begin{aligned} \hat I_{ab} &=\frac{\hat V_{ab}}{\hat Z_L} =12\sqrt3\angle(-6.9^\circ)\ \mathrm A,\\ \hat I_{bc} &=\frac{\hat V_{bc}}{\hat Z_L} =12\sqrt3\angle(-126.9^\circ)\ \mathrm A,\\ \hat I_{ca} &=\frac{\hat V_{ca}}{\hat Z_L} =12\sqrt3\angle113.1^\circ\ \mathrm A. \end{aligned}

依圖中線電流方向，線電流為相鄰支路電流的相量差：

I^a=I^ab−I^ca,I^b=I^bc−I^ab,I^c=I^ca−I^bc.\hat I_a=\hat I_{ab}-\hat I_{ca},\qquad \hat I_b=\hat I_{bc}-\hat I_{ab},\qquad \hat I_c=\hat I_{ca}-\hat I_{bc}.

平衡三角形負載的線電流大小為支路電流大小的 3\sqrt3 倍，且相對於對應支路電流落後 30∘30^\circ，所以

I^a=36∠(−36.9∘) A,I^b=36∠(−156.9∘) A,I^c=36∠83.1∘ A.\begin{aligned} \hat I_a&=36\angle(-36.9^\circ)\ \mathrm A,\\ \hat I_b&=36\angle(-156.9^\circ)\ \mathrm A,\\ \hat I_c&=36\angle83.1^\circ\ \mathrm A. \end{aligned}

（三）三相負載總實功率及總虛功率

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第 第三題 題25 分

有一電路圖如【圖三】所示，請回答由 aa 與 bb 端點間看入電路的下列問題。（註：未列出計算過程者不予計分）

（一）請計算出戴維寧（Thevenin）等效電阻 RthR_{\mathrm{th}}。（5 分）

（二）請計算出戴維寧（Thevenin）等效電壓 VthV_{\mathrm{th}}。（10 分）

（三）請計算出諾頓（Norton）等效電流 INI_N。（10 分）

【圖三】電路圖內容依原卷圖示。

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核心觀念

戴維寧等效電阻 RthR_{\mathrm{th}}，是由端點 a,ba,b 看入電路時，將獨立電流源關閉後的等效電阻；理想電流源關閉時以開路取代。

戴維寧等效電壓 VthV_{\mathrm{th}}，是端點 a,ba,b 開路時的電壓：

Vth=Vab=Va−VbV_{\mathrm{th}}=V_{ab}=V_a-V_b

諾頓等效電流則可由戴維寧等效電壓與等效電阻求得：

IN=VthRthI_N=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}}

解題方法

（一）計算戴維寧等效電阻 RthR_{\mathrm{th}}

將 9 A9\,\mathrm{A} 理想電流源關閉，以開路取代。此時由 aa 到 bb 有兩條電阻路徑：

  • 經上方：10 Ω+20 Ω=30 Ω10\,\Omega+20\,\Omega=30\,\Omega
  • 經下方：50 Ω+40 Ω=90 Ω50\,\Omega+40\,\Omega=90\,\Omega

兩條路徑並聯，因此：

Rth=30∥90=30×9030+90=22.5 ΩR_{\mathrm{th}}=30\parallel 90 =\frac{30\times90}{30+90} =22.5\,\Omega

（二）計算戴維寧等效電壓 VthV_{\mathrm{th}}

端點 a,ba,b 開路時，左右兩支路分別為：

R左=10+50=60 Ω,R右=20+40=60 ΩR_{\text{左}}=10+50=60\,\Omega,\qquad R_{\text{右}}=20+40=60\,\Omega

兩支路並聯且電阻相等，9 A9\,\mathrm{A} 電流平均分流，每支路電流為：

I左=I右=92=4.5 AI_{\text{左}}=I_{\text{右}}=\frac{9}{2}=4.5\,\mathrm{A}

以下方公共節點為電位參考點。左支路中，50 Ω50\,\Omega 電阻上的電壓為：

Va=4.5×50=225 VV_a=4.5\times50=225\,\mathrm{V}

右支路中，40 Ω40\,\Omega 電阻上的電壓為：

Vb=4.5×40=180 VV_b=4.5\times40=180\,\mathrm{V}

所以：

Vth=Vab=Va−Vb=225−180=45 VV_{\mathrm{th}}=V_{ab}=V_a-V_b=225-180=45\,\mathrm{V}

正值表示 aa 端電位高於 bb 端。

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第 第四題 題25 分

有一 RLC 串聯電路如【圖四】所示，假設以電壓源 vs(t)=10cos⁡ωt mVv_s(t)=10\cos\omega t\,\mathrm{mV} 驅動此電路，並發生諧振（resonance），請回答下列問題。（註：未列出計算過程者不予計分）

（一）請計算出諧振頻率（resonant frequency）ωo\omega_o 為多少 rad/s\mathrm{rad/s}？（7 分）

（二）請計算出品質因數（quality factor）QSQ_S。（6 分）

（三）請計算出電感電壓（inductor voltage）vL(t)v_L(t)。（6 分）

（四）請計算出迴路電流（loop current）i(t)i(t)。（6 分）

【圖四】RLC 串聯電路圖，元件標示依原卷圖示。

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核心觀念

串聯 RLC 電路發生諧振時，電感與電容的電抗大小相等、符號相反，因此總阻抗只剩電阻：

ωoL=1ωoC,Z=R\omega_o L=\frac{1}{\omega_o C},\qquad Z=R

串聯電路的品質因數為

QS=ωoLRQ_S=\frac{\omega_o L}{R}

諧振時，電路電流與電源電壓同相；電感電壓則超前電流 90∘90^\circ。

解題方法與計算

由圖可讀得 R=20 ΩR=20\,\Omega、C=5 pF=5×10−12 FC=5\,\mathrm{pF}=5\times10^{-12}\,\mathrm{F}、L=20 μH=20×10−6 HL=20\,\mu\mathrm{H}=20\times10^{-6}\,\mathrm{H}，電源為 vs(t)=10cos⁡ωt mVv_s(t)=10\cos\omega t\,\mathrm{mV}。

（一）諧振角頻率

由 ωoL=1/(ωoC)\omega_o L=1/(\omega_o C) 得：

ωo=1LC=1(20×10−6)(5×10−12)=1.0×108 rad/s\omega_o=\frac{1}{\sqrt{LC}} =\frac{1}{\sqrt{(20\times10^{-6})(5\times10^{-12})}} =1.0\times10^8\ \mathrm{rad/s}

（二）品質因數

QS=ωoLR=(1.0×108)(20×10−6)20=100Q_S=\frac{\omega_o L}{R} =\frac{(1.0\times10^8)(20\times10^{-6})}{20} =100

（三）電感電壓 vL(t)v_L(t)

諧振時總阻抗為 RR，所以電流峰值為：

Im=VmR=10 mV20 Ω=0.5 mAI_m=\frac{V_m}{R} =\frac{10\,\mathrm{mV}}{20\,\Omega} =0.5\,\mathrm{mA}

圖中電感上端標示為正，且電流由上端流入電感，故採用被動符號慣例。電感電壓振幅為：

VL,m=ωoLIm=(1.0×108)(20×10−6)(0.5×10−3)=1 VV_{L,m}=\omega_o L I_m =(1.0\times10^8)(20\times10^{-6})(0.5\times10^{-3}) =1\,\mathrm{V}

電感電壓超前電流 90∘90^\circ，因此：

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