109 桃園國際機場不分職等 助理工程師-土建 桃機新進人員 工程-土建-助理工程師(R2604)-工程力學 考古題詳解

109 年・桃園國際機場・不分職等・助理工程師-土建
試題代碼 109年桃機新進人員 工程-土建-助理工程師(R2604)-工程力學

第 第一題 題25 分

如【圖一】所示，在 xx-yy 平面上，有一垂直集中力 Po=90 kNP_o=90\,\text{kN} 作用於座標點 (5 m,−5 m)(5\,\text{m},-5\,\text{m})；一強度為 qo=2 kN/m2q_o=2\,\text{kN/m}^2 之均佈載重作用於 8 m×10 m8\,\text{m}\times10\,\text{m} 的矩形範圍內，再加上一個 xx 方向上的力矩 Mo=1200 kN⋅mM_o=1200\,\text{kN}\cdot\text{m}。請計算合力大小及其作用位置座標。

【圖一】標示：Po=90 kNP_o=90\,\text{kN}、qo=2 kN/m2q_o=2\,\text{kN/m}^2、10 m10\,\text{m}、8 m8\,\text{m}、xx、yy、Mo=1200 kN⋅mM_o=1200\,\text{kN}\cdot\text{m}。

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核心觀念

本題考平面內多個垂直力的合力，以及合力的作用位置。均佈載重可先換成作用於矩形形心的集中力；再以「合力等於各力向量和、合力對座標軸的力矩等於原力系的總力矩」求合力位置。外加力偶只影響總力矩，不影響合力大小。

解題方法

取 zz 軸向上為正，因此向下的力為負。依圖一，矩形載重範圍在 xx 方向為 −8-8 至 0 m0\,\text{m}、在 yy 方向為 00 至 10 m10\,\text{m}，其形心為

(xc,yc)=(−4,5) m.(x_c,y_c)=(-4,5)\,\text{m}.

均佈載重的合力為

Fq=qo(8)(10)=2(8)(10)=160 kN,F_q=q_o(8)(10)=2(8)(10)=160\,\text{kN},

方向向下。加上集中力 Po=90 kNP_o=90\,\text{kN}，合力為

∑Fz=−160−90=−250 kN.\sum F_z=-160-90=-250\,\text{kN}.

所以合力大小為 250 kN250\,\text{kN}，方向向下。

對作用位置計算總力矩。向下力在 (x,y)(x,y) 點產生的力矩分量為

Mx=yFz,My=−xFz.M_x=yF_z,\qquad M_y=-xF_z.

集中力在 (5,−5) m(5,-5)\,\text{m}，故

Mx,P=(−5)(−90)=450,My,P=−(5)(−90)=450(kN⋅m).M_{x,P}=(-5)(-90)=450,\qquad M_{y,P}=-(5)(-90)=450\quad(\text{kN}\cdot\text{m}).

均佈載重合力作用於 (−4,5) m(-4,5)\,\text{m}，故

Mx,q=5(−160)=−800,My,q=−(−4)(−160)=−640(kN⋅m).M_{x,q}=5(-160)=-800,\qquad M_{y,q}=-(-4)(-160)=-640\quad(\text{kN}\cdot\text{m}).

依圖示力偶方向，Mo=1200 kN⋅mM_o=1200\,\text{kN}\cdot\text{m} 沿 +x+x 方向，因此

∑Mx=450−800+1200=850 kN⋅m,\sum M_x=450-800+1200=850\,\text{kN}\cdot\text{m},
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第 第二題 題25 分

一簡支曲梁在傾斜段承受一均勻載重 qo=2 kN/mq_o=2\,\text{kN/m}，如【圖二】所示。請問其 aa 點與 dd 點支承反力為何？並計算最大梁內彎矩，只求絕對值最大，不計較正負號。

【圖二】標示：傾斜段均勻載重 qo=2 kN/mq_o=2\,\text{kN/m}；aa、bb、cc、dd；尺寸 3 m3\,\text{m}、4 m4\,\text{m}、3 m3\,\text{m}、5 m5\,\text{m}、4 m4\,\text{m}、5 m5\,\text{m}。

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核心觀念

本題考簡支折線梁的整體平衡，以及由剪力與均布載重求彎矩。圖中斜段為 3 ⁣− ⁣4 ⁣− ⁣53\!-\!4\!-\!5 三角形，因此斜段長 5 m5\,\text{m}。均布載重垂直於斜段，合力為 q0Lq_0L，作用在斜段中點。

解題方法

取 aa 點為原點，令 xx 軸水平向右、yy 軸鉛直向上。各點座標為

a=(0,0),b=(5,0),c=(9,3),d=(14,3).a=(0,0),\quad b=(5,0),\quad c=(9,3),\quad d=(14,3).

斜段長 Lbc=5 mL_{bc}=5\,\text{m}，所以載重合力大小為

Q=q0Lbc=2(5)=10 kN.Q=q_0L_{bc}=2(5)=10\,\text{kN}.

載重垂直斜段，依圖示方向分解為

Qx=10(35)=6 kN,Qy=−10(45)=−8 kN.Q_x=10\left(\frac35\right)=6\,\text{kN},\qquad Q_y=-10\left(\frac45\right)=-8\,\text{kN}.

合力作用於斜段中點 (7,1.5)(7,1.5)。

令 aa 點反力為 Ax,AyA_x,A_y，dd 點鉛直反力為 DyD_y。對全梁列平衡式：

∑Fx=0:Ax+6=0⇒Ax=−6 kN,\sum F_x=0:\quad A_x+6=0 \quad\Rightarrow\quad A_x=-6\,\text{kN}, ∑Ma=0:14Dy+7(−8)−1.5(6)=0⇒Dy=6514=4.643 kN,\sum M_a=0:\quad 14D_y+7(-8)-1.5(6)=0 \quad\Rightarrow\quad D_y=\frac{65}{14}=4.643\,\text{kN}, ∑Fy=0:Ay+Dy−8=0⇒Ay=4714=3.357 kN.\sum F_y=0:\quad A_y+D_y-8=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=\frac{47}{14}=3.357\,\text{kN}.

因此，aa 點反力為 6 kN6\,\text{kN} 向左、3.357 kN3.357\,\text{kN} 向上；dd 點反力為 4.643 kN4.643\,\text{kN} 向上。

最大彎矩

在 aa 至 bb 段，以 xx 表示距 aa 的水平距離：

Mab(x)=Ayx,0≤x≤5.M_{ab}(x)=A_yx,\qquad 0\le x\le5.

故

Mb=4714(5)=23514=16.786 kN⋅m.M_b=\frac{47}{14}(5)=\frac{235}{14}=16.786\,\text{kN}\cdot\text{m}.

在斜段令 ss 為自 bb 沿斜段量起的距離。斜段的橫向均布載重為 q0=2 kN/mq_0=2\,\text{kN/m}，由 bb 點彎矩及斜段起點剪力可得

Mbc(s)=23514+447s−2s22,0≤s≤5.M_{bc}(s)=\frac{235}{14}+\frac{44}{7}s-\frac{2s^2}{2}, \qquad 0\le s\le5.

彎矩極值出現在剪力為零處：

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第 第三題 題25 分

【圖三】為受軸向外力 P1=10 kNP_1=10\,\text{kN} 與 P2=20 kNP_2=20\,\text{kN} 作用於 BB、CC 兩點之立柱。已知立柱長度 0.8 m0.8\,\text{m}，橫截面積 200×300 mm2200\times300\,\text{mm}^2，立柱沿軸向之彈性模數 E=10 GPaE=10\,\text{GPa}，請求該立柱長度之改變量。

【圖三】標示：P1P_1 作用於 BB 點，P2P_2 作用於 CC 點；BC=0.3 mBC=0.3\,\text{m}、CD=0.5 mCD=0.5\,\text{m}。

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核心觀念

立柱受軸力時，各段的軸向變形為

δ=NLAE\delta=\frac{NL}{AE}

其中 NN 為該段內力，LL 為段長，AA 為截面積，EE 為彈性模數。若分段內力不同，總變形須將各段變形相加；受壓縮時長度縮短。

解題方法

取向下為軸力方向，沿立柱分成 BCBC 與 CDCD 兩段：

  • BC=0.3 mBC=0.3\,\text{m}，其內力只承受 BB 點的 P1=10 kNP_1=10\,\text{kN}。
  • CD=0.5 mCD=0.5\,\text{m}，其內力承受 B、CB、C 兩點荷重，故為 P1+P2=30 kNP_1+P_2=30\,\text{kN}。

截面積與彈性模數換算為

A=200×300 mm2=0.06 m2,E=10 GPa=10×109 N/m2A=200\times300\,\text{mm}^2=0.06\,\text{m}^2,\qquad E=10\,\text{GPa}=10\times10^9\,\text{N/m}^2

總軸向變形為

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第 第四題 題25 分

ABAB 簡支梁之橫截面為 25 mm×100 mm25\,\text{mm}\times100\,\text{mm} 的矩形，受總均佈載重（含梁本身的重量）30 kN/m30\,\text{kN/m} 作用，如【圖四】所示。請求算 CC 點處之彎曲應力（並標示為拉應力或壓應力）與剪應力（大小）。

【圖四】標示：均佈載重 30 kN/m30\,\text{kN/m}；CC、DD 位置；截面尺寸 100 mm100\,\text{mm}、25 mm25\,\text{mm}，CC 以上 20 mm20\,\text{mm}、CC 以下 75 mm75\,\text{mm}；AA、BB；AC=0.3 mAC=0.3\,\text{m}、CB=0.2 mCB=0.2\,\text{m}，AB=1.0 mAB=1.0\,\text{m}。

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核心觀念

本題考簡支梁在均佈載重下的支承反力、剪力與彎矩，以及矩形截面上的彎曲應力與剪應力：

  • 彎曲應力：σ=−MyI\sigma=-\dfrac{My}{I}，其中 yy 自截面中性軸量起。
  • 矩形截面慣性矩：I=bh312I=\dfrac{bh^3}{12}。
  • 剪應力：τ=VQIb\tau=\dfrac{VQ}{Ib}，其中 QQ 為截面中性軸一側面積對中性軸的一次矩，bb 為該處截面寬度。

解題方法

依圖，梁長 L=1.0 mL=1.0\,\text{m}，全跨承受 w=30 kN/mw=30\,\text{kN/m} 均佈載重。圖中的 0.2 m0.2\,\text{m} 是 DD 至 BB 的距離；求 CC 點應力時，使用 CC 距 AA 的 0.3 m0.3\,\text{m}。

均佈載重對稱，因此支承反力為

RA=RB=wL2=30(1.0)2=15 kNR_A=R_B=\frac{wL}{2} =\frac{30(1.0)}{2}=15\,\text{kN}

在 CC 處取 x=0.3 mx=0.3\,\text{m}，截面剪力與彎矩為

VC=RA−wx=15−30(0.3)=6 kNV_C=R_A-wx=15-30(0.3)=6\,\text{kN} MC=RAx−wx22=15(0.3)−30(0.3)22=3.15 kN⋅mM_C=R_Ax-\frac{wx^2}{2} =15(0.3)-\frac{30(0.3)^2}{2} =3.15\,\text{kN}\cdot\text{m}

截面寬 b=25 mmb=25\,\text{mm}、深 h=100 mmh=100\,\text{mm}，所以

I=25(100)312=2.0833×106 mm4I=\frac{25(100)^3}{12} =2.0833\times10^6\,\text{mm}^4

圖示 CC 點在截面底邊以上 20 mm20\,\text{mm}，故它位於中性軸下方 yC=20−50=−30 mmy_C=20-50=-30\,\text{mm}。將彎矩換為 3.15×106 N⋅mm3.15\times10^6\,\text{N}\cdot\text{mm}，得

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