110 公務人員升官等薦任 結構工程 結構動力分析與耐震設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查《建築物耐震設計規範及解說》對建築物結構系統的分類定義，重點是辨明「抗彎矩構架系統」的垂直載重與地震力分別由何種構架承擔。以下以命題當年（民國 110 年）適用的規範為準。

規範第一章「基本規則」中「結構系統」的定義為：

抗彎矩構架系統：具承受垂直載重完整立體構架，以抗彎矩構架抵禦地震力者。

解題方法

作答時抓住兩個條件即可：

1. 有承受垂直載重的完整立體構架：梁、柱等構材組成完整構架，能承受建築物的重力載重。
2. 以抗彎矩構架抵禦地震力：地震作用下，構架透過梁柱構材及接頭的彎矩與剪力傳遞抵抗側向力，提供建築物的側向強度與勁度。

核心觀念

此題考單自由度系統的速度、位移與加速度反應譜量值關係。自然振動頻率為 $f_n=1\ \text{Hz}$，故圓頻率為

$$\omega_n=2\pi f_n=2\pi\ \text{rad/s}.$$

以偽速度反應 $V$ 換算最大位移反應 $D$，再以偽加速度反應 $A$ 求最大等值靜力。重量 $W$ 可用來求系統質量，但計算等值靜力時，可直接利用 $m=W/g$。

解題方法

已知 $V=10\ \text{cm/s}=0.10\ \text{m/s}$。採用反應譜常用關係：

$$V=\omega_nD,\qquad A=\omega_nV.$$

因此最大位移反應為

$$D=\frac{V}{\omega_n} =\frac{0.10}{2\pi} =0.01592\ \text{m} =1.59\ \text{cm}.$$

最大加速度反應為

核心觀念

本題考查無阻尼多自由度剪力屋架在簡諧外力下的穩態反應，以及以平方和開方根值法（SRSS）組合各振態的最大反應。

令 $u_1,u_2$ 分別為第一、二樓相對地面的水平位移。每層樓質量及勁度為

$$m=2\ \text{ton}=2000\ \text{kg},\qquad k=2\ \text{kN/cm}=200{,}000\ \text{N/m}$$

屋架的質量矩陣與勁度矩陣為

$$\mathbf M= \begin{bmatrix} m&0\\ 0&m \end{bmatrix}, \qquad \mathbf K= \begin{bmatrix} 2k&-k\\ -k&k \end{bmatrix}$$

樓高不影響本題的水平平移自由度計算。

解題方法

1. 求自然頻率與振態

自由振動特徵方程為

$$\det(\mathbf K-\omega_n^2\mathbf M)=0$$

令 $\lambda=\omega_n^2m/k$，則

$$\det \begin{bmatrix} 2-\lambda&-1\\ -1&1-\lambda \end{bmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2-3\lambda+1=0$$

因此

$$\lambda_1=\frac{3-\sqrt5}{2}=0.38197,\qquad \lambda_2=\frac{3+\sqrt5}{2}=2.61803$$

由 $\omega_n^2=(k/m)\lambda$，且 $k/m=100\ \text{s}^{-2}$，得

$$\omega_1=\sqrt{38.197}=6.180\ \text{rad/s},\qquad \omega_2=\sqrt{261.803}=16.180\ \text{rad/s}$$

取振態向量第一樓分量為 $1$，可得

$$\boldsymbol\phi_1= \begin{bmatrix} 1\\1.618 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol\phi_2= \begin{bmatrix} 1\\-0.618 \end{bmatrix}$$

2. 求各振態的穩態位移振幅

外力作用於第一樓，故外力振幅向量為

$$\mathbf p_0= \begin{bmatrix} 10{,}000\\0 \end{bmatrix}\ \text{N}$$

以振態展開位移 $\mathbf u=\sum_j\boldsymbol\phi_j q_j$，第 $j$ 振態的穩態座標振幅為

核心觀念

本題考一自由度系統受簡諧地表加速度作用時的穩態位移反應，以及阻尼比增加後，位移振幅如何改變。黏滯阻尼器忽略重量，因此只改變系統阻尼，不改變質量、自然週期與固有頻率。

令地表加速度為 $\ddot u_g(t)=a_0\sin\omega t$，其中 $a_0=100\ \text{m/s}^2$、$\omega=2\ \text{rad/s}$。以 $x(t)$ 表示屋架相對地面的位移，運動方程為

$$m\ddot x+c\dot x+kx=-m\ddot u_g(t).$$

穩態相對位移振幅為

$$X=\frac{a_0}{\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2+(2\zeta\omega_n\omega)^2}},$$

其中 $\omega_n=2\pi/T_n$，且 $\zeta$ 為阻尼比。式中的 $m$ 會約去，因此本題不必代入質量。

解題方法

未加裝阻尼器時，$T_n=1.0\ \text{sec}$，所以

$$\omega_n=\frac{2\pi}{T_n}=2\pi\ \text{rad/s},\qquad \zeta_1=0.05.$$

加裝阻尼器後，阻尼比增加 $10\%$，亦即增加 $0.10$，因此

$$\zeta_2=0.05+0.10=0.15.$$

兩種狀況的地震頻率、自然頻率與加速度振幅相同，取位移振幅比即可消去 $a_0$：