108 公務人員升官等簡任 土木工程 高等工程力學研究(包括材料力學) 考古題詳解

核心觀念

此梁有一個垂直方向的靜不定反力：$A$ 端固定，$B$ 端滾支承提供垂直反力。以 $B$ 點反力 $R_B$ 為冗力，先將 $B$ 端支承移除，將梁視為長度 $3a$ 的懸臂，再用「$B$ 點總撓度為零」求 $R_B$。

滾支承不提供反力矩；固定端 $A$ 則可提供水平反力、垂直反力與反力矩。

解題方法

取向上反力為正，逆時針反力矩為正。釋放 $B$ 端後，$C$ 點距 $A$ 為 $2a$，集中力 $P$ 向下作用。以虛功法計算 $P$ 在 $B$ 點造成的向下撓度：

在 $B$ 點施加向上的冗力 $R_B$，造成的向上撓度為：

實際梁的 $B$ 點垂直位移為零，因此：

核心觀念

本題考查圓軸在扭矩作用下的內力矩分布，以及實心圓軸的最大剪應力公式：

其中 $T$ 為截面內力矩，$d$ 為軸徑。設計時應以軸上最大的內力矩計算，並令最大剪應力不超過容許值。

解題方法

依圖示，$C$ 點集中扭矩與 $AB$ 段分布扭矩方向相反。先計算分布扭矩的合力矩：

在 $BC$ 段，內力矩大小為 $1.2\ \mathrm{kN\cdot m}$。沿 $AB$ 段由 $B$ 向 $A$，分布扭矩逐漸抵消 $C$ 點扭矩，故在 $A$ 端的內力矩大小為

因此，全軸最大內力矩為

核心觀念

本題考「偏心軸力」造成的軸向正應力與彎曲正應力疊加。平板自重不計，因此在 $a$-$a$ 截面上，內力只有軸力 $P$ 與由偏心距產生的彎矩 $M$。

平板受向下拉力，截面上的軸向應力為拉應力；偏心彎矩會使截面一側拉應力增加，另一側減少。要使截面不出現壓應力，須使最小正應力不小於零。

解題方法

取截面寬度方向為 $x$ 軸。平板寬度 $b=200\ \mathrm{mm}$，厚度 $t=10\ \mathrm{mm}$，截面積為

對通過截面形心、平行於厚度的軸，截面二次矩為

形心至任一寬度邊緣的距離為 $c=b/2=100\ \mathrm{mm}$。

圖中的 $d$ 是力作用線至右側邊緣的距離，因此力作用線相對形心的偏心距大小為

截面上最小正應力為軸向拉應力扣除彎曲應力：

其中 $M=Pe$，故

核心觀念

組合梁的木板以釘子連接時，梁受剪力會在板件接合面產生剪流。接合面每單位長度所需傳遞的剪力為

其中 $Q$ 是接合面一側板件對中性軸的一次矩，$I$ 是整個組合截面對中性軸的慣性矩。釘距為 $s$ 時，每支釘所受剪力為 $F=qs$；再以釘子的截面積計算平均剪應力。

解題方法

依圖，梁的總高度為 $200\ \mathrm{mm}$，上方板厚 $50\ \mathrm{mm}$，所以兩側板伸出上方板以下的高度為 $150\ \mathrm{mm}$。上方板的總寬度為 $200+2(25)=250\ \mathrm{mm}$。

以截面頂部為量測基準，組合截面由上方板與兩側板組成：

截面形心距頂部為

整個截面的中性軸慣性矩，以平行軸定理計算：