107 中央造幣廠分類職 機械工程員 1 (機械設計) 考古題詳解

核心觀念

本題考查材料受軸向拉力時的縱向應變、橫向應變、蒲松比、彈性模數與剪力模數。

使用原始尺寸計算工程應變：

蒲松比定義為：

軸向應力與彈性模數分別為：

對均質、等向性材料，彈性模數與剪力模數的關係為：

解題方法

先由長度變化求縱向應變，再由直徑變化求橫向應變，以兩者比值求蒲松比。接著以原始截面積計算軸向應力，除以縱向應變求彈性模數，最後利用 $E$ 與 $\nu$ 的關係求剪力模數。

(1) 蒲松比

縱向應變：

橫向應變：

因此：

(2) 彈性模數

以原始直徑 $30\,\mathrm{mm}$ 計算原始截面積：

軸向應力為：

所以彈性模數：

核心觀念

本題考查正齒輪傳動的特性，以及一對齒輪嚙合時避免齒形干涉的方法。齒輪傳動藉由齒面直接接觸傳遞運動與扭矩；設計時須使齒形及中心距符合嚙合條件，避免齒頂與對方齒根發生不正常碰撞。

解題方法

(1) 齒輪傳動的兩個優點

1. 傳動比準確且穩定：齒輪以齒與齒的嚙合傳動，正常嚙合時不會像皮帶傳動般因打滑而改變傳動比，因此可保持固定的角速度比。
2. 傳遞動力效率高、可承受較大負荷：齒輪以齒面直接傳力，適合傳遞較大的扭矩與功率；在適當潤滑及加工條件下，傳動效率高。

(2) 避免兩齒輪干涉的四個方法

齒輪干涉通常是齒頂進入對方齒根的非共軛齒形區域，造成齒面碰撞、根切或傳動不平順。可採以下方法避免：

1. 增大小齒輪齒數：小齒輪齒數過少時，齒根容易被切削過度或嚙合時發生干涉；增加齒數可改善齒形與嚙合條件。
2. 採用變位齒輪：適當增加小齒輪正變位，可避免齒根根切並改善齒頂與對方齒根的干涉；變位量須配合中心距及兩齒輪齒數設計。
3. 減小齒頂高：縮短齒頂，降低齒頂深入對方齒根的程度，可減少干涉。
4. 增大兩齒輪中心距：適度增加中心距，可減少齒頂進入對方齒根的深度；

核心觀念

圓角造成局部應力集中，題目已給軸向、彎曲與扭轉的應力集中係數，故先用較小直徑 $d$ 計算名義應力，再分別乘上對應係數。圓桿表面受軸向力及彎矩時，兩者形成正應力；扭矩形成剪應力。

畸變能理論即 von Mises 降伏準則。安全因數以降伏強度 $S_y$ 除以等效應力計算；題目給的極限強度 $520\,\mathrm{MPa}$ 不用於此降伏安全因數。

解題方法

原頁影像呈空白，無法由圖確認負載方向與正負號。以下按 $P$ 為拉力，並取軸向拉應力與彎曲拉應力同號的圓角表面計算。使用較小截面 $d=40\,\mathrm{mm}$：

單位換算為 $M=T=500\,\mathrm{N\cdot m}=500{,}000\,\mathrm{N\cdot mm}$。

（1）圓角處的應力狀態

軸向正應力：

彎曲正應力：

扭轉剪應力：

軸向與彎曲正應力同號相加：

因此圓角表面的應力狀態為

表面垂直方向為自由表面，故該方向正應力為零。

（2）圓角處的主應力

平面應力下兩個主應力為

代入數值：

核心觀念

圓柱形壓力容器在內壓作用下，薄壁近似的主要膜應力有兩個：

• 環向應力（hoop stress）：$\sigma_\theta=\dfrac{pr}{t}=\dfrac{pD}{2t}$
• 縱向應力（longitudinal stress）：$\sigma_z=\dfrac{pr}{2t}=\dfrac{pD}{4t}$

其中 $p$ 為內壓、$r$ 為內半徑、$D$ 為內徑、$t$ 為壁厚。此題環向應力為縱向應力的兩倍，故設計時須將兩者代入所採用的降伏理論。

容器材料的降伏應力為 $S_y=230\,\mathrm{MPa}$，安全因數 $N=1.8$，故許用等效應力為

解題方法

採薄壁圓筒公式，將環向及縱向應力視為兩個面內主應力，並把第三主應力取為零。設計條件是依各降伏理論計算的等效應力不得超過許用應力。

題目未提供端部、接頭效率或腐蝕裕度，以下以封閉端薄壁圓筒、均勻材料且不另加裕度計算。

先代入幾何與壓力資料：

注意 $1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}$，因此壓力可直接與以毫米表示的尺寸搭配計算。

(1) 最大剪應力理論

最大剪應力理論（Tresca）以最大剪應力達到材料降伏時作為設計條件。對主應力 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，其等效應力為

本題三個主應力為

所以最大剪應力理論的等效應力為環向應力：

令其等於許用應力，求得最小壁厚：

因此依最大剪應力理論，計算壁厚為 $11.25\,\mathrm{mm}$；實際選用時應取不小於此值的規格厚度。

(2) 畸變能理論

畸變能理論（von Mises）對平面應力狀態的等效應力為

代入 $\sigma_1=\dfrac{pr}{t}$、$\sigma_2=\dfrac{pr}{2t}$：