110 中央印製廠分類職 電機工程員 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查電感器的伏安關係：

其中：

• $L$：電感值，單位為亨利（H）
• $i(t)$：通過電感器的電流
• $v_L(t)$：電感器兩端電壓

依被動符號約定，電流流入端視為電壓正端。

解題方法

已知：

先將電流換算為安培：

對電流微分：

利用微分公式 $\frac{d}{dt}(\sin at)=a\cos at$，得：

代入電感器公式：

核心觀念

本題考查串聯 RLC 電路的諧振頻率與品質因數。

串聯 RLC 電路的阻抗為

當電感電抗與電容電抗相等時，虛部為零，電路發生串聯諧振：

因此諧振角頻率為

諧振頻率為

串聯 RLC 電路的品質因數為

解題方法

已知

先求諧振角頻率：

代入數值：

所以諧振頻率為

核心觀念

本題考查「拉普拉斯轉換的部分分式分解」與「基本反拉普拉斯轉換公式」。

常用公式如下：

因此：

本題分母為兩個不可約二次式 $(s^2+1)$ 與 $(s^2+16)$，應先進行部分分式分解，再逐項反變換。

解題方法

已知

設部分分式形式為

通分得

展開右側：

合併同類項：

與原分子比較係數：

先求 $A,C$：

核心觀念

圖 1 為兩端節點的並聯電路，所有支路皆跨接於同一對上、下節點，因此電阻電流可由歐姆定律求得，並以基爾霍夫電流定律（KCL）列式：

令上節點相對下節點的電壓為 $V$，且圖示電流 $I_1$ 方向向下。

解題方法

取「由上節點流向下節點」為電流正方向：

• 左側 $15\text{ A}$ 電流源向下，為流出上節點；
• 中間 $30\text{ A}$ 電流源向上，為流入上節點；
• $6\Omega$ 電阻電流為 $I_1=\dfrac{V}{6}$；
• $4\Omega$ 電阻電流為 $\dfrac{V}{4}$。

依 KCL：

整理得：

核心觀念

本題考查含受控電流源電路的戴維寧等效：

• 戴維寧等效電壓： $V_{\text{th}}=V_{ab}\big|_{\text{開路}}$
• 戴維寧等效電阻：將獨立電壓源關閉（以短路取代），保留受控源，再接加壓測試源求得 $R_{\text{th}}=\frac{V_{\text{test}}}{I_{\text{test}}}$

圖中 $I_1$ 為流經左上方 $50\Omega$ 電阻、由左向右的電流。

一、求戴維寧等效電壓 $V_{\text{th}}$

端點 $a$、$b$ 開路時，令 $b$ 為接地，並設：

$V_a=V_{\text{th}}$

左側電壓源上端電位為 $120\text{ V}$，因此

$I_1=\frac{120-V_a}{50}$

在節點 $a$ 使用 KCL。流出節點 $a$ 的電流為：

• 經左側 $50\Omega$ 電阻：$\dfrac{V_a-120}{50}=-I_1$
• 經右側 $5\Omega$ 電阻：$\dfrac{V_a}{5}$
• 受控電流源方向向上，電流進入節點 $a$，故其流出電流為 $-4I_1$

因此：

$-I_1+\frac{V_a}{5}-4I_1=0$

$\frac{V_a}{5}=5I_1$

代入 $I_1=\dfrac{120-V_a}{50}$：

$\frac{V_a}{5}=5\left(\frac{120-V_a}{50}\right)$

$V_a=\frac{120-V_a}{2}$

$3V_a=120$

$V_a=40\text{ V}$

所以：

$V_{\text{th}}=V_{ab}=40\text{ V}$

二、求戴維寧等效電阻 $R_{\text{th}}$

將左側獨立電壓源關閉，以短路取代，則左側 $50\Omega$ 電阻的左端與 $b$ 點等電位。

核心觀念

本題考查交流電路的戴維寧等效與最大功率傳輸定理。

對負載 $Z_{\text{L}}$ 而言，若戴維寧等效電路為：

則負載獲得最大平均功率的條件為共軛匹配：

最大功率為：

解題方法

由圖 3，電壓源右側串聯阻抗為：

而負載端並聯一個電感阻抗：

1. 求負載端的戴維寧電壓

將 $Z_{\text{L}}$ 開路，負載端電壓由 $j2\ \Omega$ 電感取得，因此：

因為：

所以：

因此：

2. 求戴維寧等效阻抗

核心觀念

本題考查：

• 開關於 $t=0$ 閉合所形成的直流暫態電路。
• 電感初始電流為零：$i_L(0^-)=0$。
• 拉普拉斯域中，零初始條件下電感阻抗為 $sL$。
• 利用串並聯等效與部分分式反拉普拉斯轉換求 $i(t)$。

圖中兩個電感皆為 $1\text{ H}$，因此在 $s$ 域的阻抗皆為 $s\Omega$。

解題方法

電壓源 $60\text{ V}$ 於 $t=0$ 接入，因此其拉普拉斯轉換為

左側串聯支路阻抗為

右側由電感、$10\Omega$ 電阻串聯，再與中間的 $10\Omega$ 電阻並聯。其等效阻抗為

因此

要求右側支路電流 $I(s)$。以分壓形式表示右側節點電壓：

而右側支路電流為

代入得

核心觀念

本題考查一階 RC 電路的暫態響應，使用：

• 電容電流關係式 $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$
• 電阻歐姆定律
• 節點電流定律（KCL）
• 受控電壓源之電壓為 $2i$ V

電容值為：

$C=\frac14\text{ F}$

且電容電壓初值為：

$v(0)=8\text{ V}$

解題方法

設電容上端節點電壓為 $v(t)$，電容電流 $i(t)$ 方向向下。

受控電壓源上端電壓為 $2i$，因此經過 $4\Omega$ 電阻流入電容上端節點的電流為：

$\frac{2i-v}{4}$

由節點電流定律：

$\frac{2i-v}{4}=i+\frac{v}{2}$

整理得：

$2i-v=4i+2v$

$-2i=3v$

因此：

$i=-\frac32v$

另一方面，電容電流為：

代入 $i=-\frac32v$：

$\frac14\frac{dv}{dt}=-\frac32v$

核心觀念

本題考查含電容器與電感器電路的自然響應，需使用：

• 電容器關係式：$i_C=C\dfrac{dv_C}{dt}$
• 電感器關係式：$v_L=L\dfrac{di}{dt}$
• Kirchhoff 電流定律（KCL）
• 電容器電壓與電感器電流皆具有連續性，因此可直接使用題目給定的初始值。

設電源上端電壓為 $6\text{ V}$，中間節點電壓為 $v_a$，右側節點電壓為 $v_b$。由於右側電阻為 $1\Omega$，且電流 $i$ 向下流過該電阻，因此

解題方法

電容器左端接於 $6\text{ V}$，右端接於節點 $a$，且電容器電壓極性為左正右負，因此

電感器左端接節點 $a$、右端接節點 $b$，電流方向由左向右，故

因為 $L=1\text{ H}$，且 $v_b=i$，得到

所以

在節點 $a$套用KCL。由電容器流入節點的電流為

其中 $C=1\text{ F}$。節點 $a$流出的電流為流經中間電阻的電流 $v_a$，以及流經電感器的電流 $i$，因此

代入 $v_a=i+\dfrac{di}{dt}$：

整理得

其特徵方程式為

因此為重根