110 中央印製廠分類職 機械工程員 機械原理 考古題詳解

核心觀念

本題考查彈簧的串聯與並聯等效彈簧常數。

• 串聯彈簧：各彈簧承受相同負荷，總伸長量為各彈簧伸長量總和。

$\frac{1}{k_s}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdots$

• 並聯彈簧：各彈簧伸長量相同，總負荷為各彈簧負荷總和。

$k_p=k_1+k_2+\cdots$

其中，$k$ 為等效彈簧常數，單位為 $\text{N/mm}$。

解題方法

先由左側四根彈簧串聯求出等效彈簧常數，再與第五根彈簧並聯，最後與 $50\text{ N/mm}$ 的彈簧串聯。

第一步：四根 $20\text{ N/mm}$ 彈簧串聯

四根彈簧彈簧常數相同，因此：

$$\frac{1}{k_1} =\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20} =\frac{4}{20}$$

所以：

$$k_1=\frac{20}{4}=5\text{ N/mm}$$

第二步：與第五根彈簧並聯

第五根彈簧的彈簧常數為 $45\text{ N/mm}$，因此並聯後：

$$k_2=k_1+45=5+45=50\text{ N/mm}$$

第三步：再與 $50\text{ N/mm}$ 彈簧串聯

兩個等效彈簧常數均為 $50\text{ N/mm}$，串聯後：

核心觀念

本題考查碟式離合器在「等耗損」假設下的摩擦壓力分布與扭矩容量。

已知：

• 外徑：$D_o=30\text{ cm}$，故外半徑 $r_o=0.15\text{ m}$
• 內徑：$D_i=20\text{ cm}$，故內半徑 $r_i=0.10\text{ m}$
• 摩擦係數：$\mu=0.25$
• 軸向壓緊力：$W=5\text{ kN}=5000\text{ N}$
• 摩擦表面一對，故摩擦面數 $n=2$

等耗損條件表示單位面積的磨耗量相同，因此：

$$pr=C$$

其中 $p$ 為摩擦壓力，$r$ 為距離旋轉中心的半徑。故半徑越小，壓力越大，最大壓力發生在內半徑 $r_i$ 處。

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解題方法

取半徑為 $r$、寬度為 $dr$ 的環形微小面積：

$$dA=2\pi r\,dr$$

由等耗損條件：

$$p=\frac{C}{r}$$

其中 $C=p_{\max}r_i$。

(一) 最大壓力

軸向壓緊力為整個摩擦面的壓力積分：

$$W=\int_{r_i}^{r_o}p\,dA$$

代入 $p=C/r$ 與 $dA=2\pi r\,dr$：

$$W=\int_{r_i}^{r_o}\frac{C}{r}(2\pi r\,dr)$$ $$W=2\pi C(r_o-r_i)$$

因為 $C=p_{\max}r_i$，所以：

$$W=2\pi p_{\max}r_i(r_o-r_i)$$

解得：

$$p_{\max} =\frac{W}{2\pi r_i(r_o-r_i)}$$

代入數值：

$$p_{\max} =\frac{5000}{2\pi(0.10)(0.15-0.10)}$$ $$p_{\max} =\frac{5000}{0.01\pi} =159154.9\text{ Pa}$$

因此：

$$\boxed{p_{\max}\approx159\text{ kPa}=0.159\text{ MPa}}$$

最大壓力發生於內徑邊緣，即 $r=r_i$ 處。

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(二) 扭矩容量

半徑為 $r$ 的微小環形面所產生的摩擦扭矩為：

$$dT=n\mu p\,dA\cdot r$$

核心觀念

本題考查碟式離合器在「均等壓力」假設下的：

1. 摩擦表面壓力分布。
2. 最大壓力計算。
3. 摩擦扭矩容量計算。

已知：

• 外徑：$30\text{ cm}$，故外半徑 $r_o=15\text{ cm}=0.15\text{ m}$
• 內徑：$20\text{ cm}$，故內半徑 $r_i=10\text{ cm}=0.10\text{ m}$
• 摩擦係數：$\mu=0.25$
• 軸向壓緊力：$W=5\text{ kN}=5000\text{ N}$
• 一對摩擦表面：摩擦面數 $n=2$

均等壓力表示整個摩擦環上的壓力為常數，因此：

$$p_{\max}=p$$

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解題方法

（一）最大壓力

摩擦環面積為：

$$A=\pi\left(r_o^2-r_i^2\right)$$

軸向壓緊力等於壓力乘以摩擦面積：

$$W=pA$$

因此：

$$p_{\max} =\frac{W}{\pi\left(r_o^2-r_i^2\right)}$$

代入數值：

$$p_{\max} =\frac{5000}{\pi\left(0.15^2-0.10^2\right)}$$ $$=\frac{5000}{\pi(0.0225-0.0100)}$$ $$=\frac{5000}{0.03927} \approx127324\text{ Pa}$$

所以：

$$\boxed{p_{\max}\approx127.3\text{ kPa}}$$

亦可表示為：

$$\boxed{p_{\max}\approx0.127\text{ MPa}}$$

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（二）扭矩容量

取半徑為 $r$、寬度為 $dr$ 的微小摩擦環，其面積為：

$$dA=2\pi r\,dr$$

微小摩擦力為：

$$dF=\mu p\,dA =\mu p(2\pi r\,dr)$$

微小扭矩為：

$$dT=r\,dF =2\pi\mu p r^2\,dr$$

單一摩擦表面的摩擦扭矩：

$$T_1=\int_{r_i}^{r_o}2\pi\mu p r^2\,dr$$ $$T_1=\frac{2\pi\mu p}{3} \left(r_o^3-r_i^3\right)$$

由於有一對摩擦表面，總扭矩為：

$$T=nT_1$$

核心觀念

本題考查平行軸螺旋齒輪在「法平面」與「旋轉平面」之間的幾何關係。

設：

• 法平面模數：$m_n=4\text{ mm}$
• 螺旋角：$\beta=30^\circ$
• 齒數：$z_1=45$、$z_2=30$

螺旋齒輪的法平面模數與旋轉平面模數關係為：

$$m_n=m_t\cos\beta$$

因此：

$$m_t=\frac{m_n}{\cos\beta}$$

周節與模數的關係為：

$$p=\pi m$$

法平面周節為：

$$p_n=\pi m_n$$

旋轉平面周節為：

$$p_t=\pi m_t$$

題目所給壓力角 $25^\circ$ 不影響本題四個問項的計算，屬於不必要資訊。

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解題方法

先利用螺旋角將法平面模數換算為旋轉平面模數，再求中心距與兩種平面的周節。

（一）旋轉平面之模數

由公式：

$$m_t=\frac{m_n}{\cos\beta}$$

代入：

$$m_t=\frac{4}{\cos30^\circ} =\frac{4}{\sqrt{3}/2} =\frac{8}{\sqrt{3}}$$

所以：

$$\boxed{m_t\approx 4.619\text{ mm}}$$

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（二）兩輪中心距

平行軸螺旋齒輪的中心距，應使用旋轉平面模數：

$$a=\frac{m_t(z_1+z_2)}{2}$$

代入：

$$a=\frac{4.6188(45+30)}{2}$$ $$a=4.6188\times37.5 \approx173.205\text{ mm}$$

亦可直接表示為：

$$a=\frac{8}{\sqrt3}\times\frac{75}{2} =\frac{300}{\sqrt3} =100\sqrt3$$

因此：

$$\boxed{a\approx173.205\text{ mm}}$$

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（三）法平面上之周節

法平面周節使用法平面模數：

核心觀念

本題考惠斯頓差動滑車的：

1. 機械利益
2. 速度比與大小輪直徑的關係
3. 無摩擦損失時，輸入功等於輸出功

機械利益定義為

$$\text{機械利益}=\frac{\text{負載}}{\text{施力}}$$

速度比定義為

$$\text{速度比}=\frac{\text{施力移動距離}}{\text{重物上升距離}}$$

因題目假設無摩擦損失，故機械利益等於速度比。

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解題方法

（一）求滑車機械利益

施力移動距離為 $2\text{ m}$，重物上升距離為 $25\text{ cm}=0.25\text{ m}$。

因此速度比為

$$\text{速度比} =\frac{2}{0.25} =8$$

無摩擦損失時，

$$\text{機械利益}=\text{速度比}=8$$

亦可由功的觀念驗算。施力為 $200\text{ N}$，故重物重量為

$$W=200\times 8=1600\text{ N}$$

所以

$$\text{機械利益} =\frac{1600}{200} =8$$

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（二）求滑車大輪直徑

設：

• 小輪直徑為 $d=240\text{ mm}$
• 大輪直徑為 $D$
• 施力端所繞小輪一周時，施力移動距離為 $\pi d$
• 差動滑車使重物上升的距離為兩輪周長差的一半，即

核心觀念

往復滑塊曲柄機構中，曲柄旋轉一周時，滑塊會在兩個極限位置間往復運動：

• 上死點：滑塊最接近曲柄中心的位置。
• 下死點：滑塊最遠離曲柄中心的位置。
• 衝程長度：滑塊由一個極限位置移動至另一個極限位置的距離。

曲柄旋轉半徑 $r$ 即曲柄半徑。滑塊的衝程長度等於曲柄直徑，因此：

$$L=2r$$

連桿長度會影響滑塊運動的速度與加速度，但不影響衝程長度。

解題方法

已知曲柄旋轉半徑為：

$$r=30\text{ cm}$$

當曲柄由上死點轉至下死點時，曲柄端點在滑塊運動方向上的位置改變量為曲柄半徑的兩倍，因此衝床衝程為：

$$L=2r$$

代入數值：

$$L=2(30)=60\text{ cm}$$

題目所給連桿長度：

$$75\text{ cm}$$

核心觀念

機械效率定義為：

$$N=\frac{\text{有用輸出功}}{\text{輸入功}}$$

五項機構串聯時，前一機構的輸出功即為下一機構的輸入功。因此，總效率等於各級機械效率的連乘積。

解題方法

設最初輸入功為 $W_0$。

第一項機構輸出：

$$W_1=N_1W_0$$

第二項機構輸出：

$$W_2=N_2W_1=N_2N_1W_0$$

依此類推，經過五項機構後：

$$W_5=N_5N_4N_3N_2N_1W_0$$

所以總機械效率為：

核心觀念

本題考查方牙螺桿的節圓直徑（節徑）定義與計算公式。

方牙螺紋的牙深為節距的一半，因此：

• 外徑：$d$
• 節距：$p$
• 根徑：$d_1=d-p$
• 節圓直徑：$d_2$

節圓位於外徑與根徑的中間，故：

$$d_2=\frac{d+d_1}{2}$$

代入 $d_1=d-p$，可得方牙螺桿節圓直徑公式：

$$d_2=d-\frac{p}{2}$$

解題方法

已知：

$$d=42\text{ mm},\qquad p=4\text{ mm}$$

方牙螺桿的節圓直徑為：

$$d_2=d-\frac{p}{2}$$ $$d_2=42-\frac{4}{2}$$

核心觀念

公制螺栓的標註格式通常為：

$$\text{M}d \times P \times L$$

其中：

• $\text{M}$：公制螺紋。
• $d$：螺栓公稱外徑，單位為 mm。
• $P$：螺紋節距，單位為 mm。
• $L$：螺栓長度，單位為 mm。

螺紋節距是指螺紋軸線方向上，相鄰兩牙對應點之間的距離。

解題方法

題目給定：

$$\text{M}12 \times 2.5 \times 60$$

依照標註位置判讀：