110 中央印製廠分類職 機械工程員 機械設計 考古題詳解

110 年・中央印製廠・分類職・機械工程員
試題代碼 110年中央印製廠分類職位 機械工程員(機械設計)

第 題目一 題8 分

某軸與孔之配合件，其基本尺度為 ϕ25 mm\phi 25\text{ mm}，依基孔制作配合，軸徑之尺寸公差 =0.02 mm=0.02\text{ mm}，兩件配合之容差（allowance）=0.03 mm=0.03\text{ mm}，最大餘隙 =0.07 mm=0.07\text{ mm}，請回答下列問題： (一) 軸徑之最大與最小尺寸分別為何？【4分】 (二) 孔徑之最大與最小尺寸分別為何？【4分】

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核心觀念

本題考查軸與孔配合的基本尺寸、公差、容差（allowance）及最大餘隙之關係。

已知：

  • 基本尺度：ϕ25 mm\phi 25\text{ mm}
  • 基孔制：孔的下偏差為 00
  • 軸徑尺寸公差：0.02 mm0.02\text{ mm}
  • 容差（allowance）：0.03 mm0.03\text{ mm}
  • 最大餘隙：0.07 mm0.07\text{ mm}

對於間隙配合：

最小餘隙=孔之最小尺寸−軸之最大尺寸\text{最小餘隙}=\text{孔之最小尺寸}-\text{軸之最大尺寸}

而容差（allowance）即為配合件的最小餘隙：

Allowance=最小餘隙\text{Allowance}=\text{最小餘隙}

解題方法

一、求軸徑之最大與最小尺寸

因採基孔制，孔徑的最小尺寸等於基本尺寸：

Dmin⁡=25.00 mmD_{\min}=25.00\text{ mm}

容差為最小餘隙，因此：

0.03=Dmin⁡−dmax⁡0.03=D_{\min}-d_{\max}

代入數值：

0.03=25.00−dmax⁡0.03=25.00-d_{\max} dmax⁡=24.97 mmd_{\max}=24.97\text{ mm}

軸徑尺寸公差為：

dmax⁡−dmin⁡=0.02 mmd_{\max}-d_{\min}=0.02\text{ mm}

因此：

dmin⁡=24.97−0.02=24.95 mmd_{\min}=24.97-0.02=24.95\text{ mm}

所以：

  • 軸徑最大尺寸：24.97 mm24.97\text{ mm}
  • 軸徑最小尺寸：24.95 mm24.95\text{ mm}

二、求孔徑之最大與最小尺寸

最大餘隙為孔之最大尺寸減去軸之最小尺寸：

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第 題目二 題20 分

解釋名詞： (一) 應力集中（stress concentration）【4分】 (二) 安全因數（safety factor）【4分】 (三) 可靠度（reliability）【4分】 (四) 疲勞限（fatigue limit）【4分】 (五) 臨界轉速（critical speed）【4分】

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題目二：解釋名詞

本題為機械設計基本名詞題，重點在於寫出各名詞的「定義、數學表示、工程意義及彼此關聯」。每小題 4 分，作答宜先下定義，再補充公式與實際設計上的用途。

(一) 應力集中（stress concentration）

核心觀念

應力集中是指構件幾何形狀存在突變處，例如孔洞、鍵槽、溝槽、螺紋、尖角、截面突然變化等，使該處的局部應力大於依平均截面計算所得名義應力的現象。

名義應力為

σnom=PA\sigma_{\text{nom}}=\frac{P}{A}

實際最大局部應力可表示為

σmax⁡=Ktσnom\sigma_{\max}=K_t\sigma_{\text{nom}}

其中 KtK_t 為理論應力集中因數（theoretical stress concentration factor），其定義為

Kt=σmax⁡σnomK_t=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\text{nom}}}

解題方法

判斷應力集中時，先找出構件中的幾何不連續位置，再以名義應力乘上應力集中因數，求得局部最大應力。KtK_t 通常由應力集中圖表、設計手冊或有限元素分析取得。

在靜態延性材料中，局部降伏可能使應力重新分布，因此 KtK_t 對靜強度的影響未必完全等同於脆性材料。但在疲勞負荷下，應力集中會顯著降低疲勞壽命。

疲勞分析常使用疲勞應力集中因數 KfK_f：

Kf=1+q(Kt−1)K_f=1+q(K_t-1)

其中 qq 為材料敏感度，範圍通常為 0≤q≤10\le q\le 1。因此 KfK_f 通常不大於 KtK_t。

解題技巧

  • 圓角半徑越小、幾何變化越突然，KtK_t 通常越大。
  • 增大圓角半徑、避免尖角，可降低應力集中。
  • KtK_t 是幾何效應；KfK_f 還考慮材料對缺口的敏感程度。
  • 應力集中不是外力增加，而是應力在局部區域重新分布所造成的局部峰值。

(二) 安全因數（safety factor）

核心觀念

安全因數是構件的強度、承載能力或失效極限與實際工作應力、工作負荷之比，用來表示設計所保留的安全裕度。

以應力表示時：

n=σfailureσworkingn=\frac{\sigma_{\text{failure}}}{\sigma_{\text{working}}}

其中：

  • nn：安全因數
  • σfailure\sigma_{\text{failure}}：材料失效強度，如降伏強度或抗拉強度
  • σworking\sigma_{\text{working}}：工作應力

延性材料防止永久變形時，常採用

ny=Syσworkingn_y=\frac{S_y}{\sigma_{\text{working}}}

防止斷裂時，則可採用

nu=Sutσworkingn_u=\frac{S_{ut}}{\sigma_{\text{working}}}

其中 SyS_y 為降伏強度，SutS_{ut} 為抗拉極限強度。

解題方法

設計時先確認主要失效模式，再選擇適當的失效強度：

  • 防止降伏：以降伏強度為基準。
  • 防止脆性斷裂：以抗拉極限強度為基準。
  • 反覆負荷：以疲勞強度或疲勞限為基準。
  • 結構挫屈：以臨界挫屈負荷為基準。

設計容許應力為

σallow=Sn\sigma_{\text{allow}}=\frac{S}{n}

因此設計要求通常為

σworking≤σallow\sigma_{\text{working}}\le \sigma_{\text{allow}}

安全因數越大，設計通常越保守，可靠性較高，但重量、材料與製造成本也會增加。

解題技巧

  • n>1n>1 表示理想計算下具有安全裕度；n=1n=1 表示工作狀態已達失效基準。
  • 安全因數不是「安全機率」，也不是可靠度。
  • 受到負荷不確定性、材料散差、製造誤差、腐蝕、磨耗及衝擊負荷影響時，需提高安全因數。
  • 疲勞設計不可只以靜態抗拉強度作為安全因數分母。

(三) 可靠度（reliability）

核心觀念

可靠度是指產品、機械或構件在規定的使用條件與規定時間內，能夠完成預定功能而不發生失效的機率。

可靠度可表示為

R(t)=P(T>t)R(t)=P(T>t)

其中 TT 為失效時間，R(t)R(t) 為運轉至時間 tt 仍未失效的機率。

與可靠度互補的是失效機率：

F(t)=P(T≤t)F(t)=P(T\le t)

因此

R(t)+F(t)=1R(t)+F(t)=1

若以失效率 λ\lambda 表示，且假設失效率為常數，則

R(t)=e−λtR(t)=e^{-\lambda t}

平均失效時間（MTTF）在此假設下為

MTTF=1λ\text{MTTF}=\frac{1}{\lambda}

解題方法

解釋可靠度時，必須交代四項條件：

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第 題目三 題6 分

圖示為四支螺栓之軸連結器，螺栓之容許剪應力為 60 MPa60\text{ MPa}，而連結器螺栓孔之容許承壓應力（bearing stress）為 90 MPa90\text{ MPa}，若傳遞扭矩 T=10 kN⋅mT = 10\text{ kN}\cdot\text{m}，每支螺栓尺寸均相同且承受相同的作用力，試求螺栓最小安全直徑（mm\text{mm}）。

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核心觀念

本題考查四支螺栓平均承受扭矩時的：

  1. 螺栓剪應力。
  2. 螺栓孔壁承壓應力（bearing stress）。
  3. 依兩種強度條件分別求出螺栓直徑，取較大值作為控制尺寸。

依圖示，四支螺栓位於直徑 100 mm100\text{ mm} 的螺栓圓上，連結器厚度為 15 mm15\text{ mm}。

解題方法

螺栓圓半徑為

r=1002=50 mmr=\frac{100}{2}=50\text{ mm}

扭矩換算為

T=10 kN⋅m=107 N⋅mmT=10\text{ kN}\cdot\text{m} =10^7\text{ N}\cdot\text{mm}

四支螺栓尺寸相同且平均受力，因此每支螺栓所承受的切向力 FF 為

T=4FrT=4Fr

所以

F=T4r=1074(50)=50 000 NF=\frac{T}{4r} =\frac{10^7}{4(50)} =50\,000\text{ N}

一、依螺栓剪應力求直徑

螺栓承受單剪，剪切面積為

A=πd24A=\frac{\pi d^2}{4}

剪應力條件為

τ=FA≤60 MPa\tau=\frac{F}{A}\leq 60\text{ MPa}

因此

50 000πd2/4≤60\frac{50\,000}{\pi d^2/4}\leq 60

解得

d≥4(50 000)π(60)=32.57 mmd\geq \sqrt{\frac{4(50\,000)}{\pi(60)}} =32.57\text{ mm}

故剪應力所需直徑為

d剪≥32.57 mmd_{\text{剪}}\geq 32.57\text{ mm}
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第 題目四 題12 分

如圖所示一截面積為 AA 彈性模數為 EE 之均質桿件固定於兩壁間。該桿件施加如圖所示之軸向力 PP。試以 aa、bb、LL、PP、AA 及 EE 等參數符號求解並寫出該桿件之 (一) 施力點左段之軸向應力 σa\sigma_a 表示式。【4分】 (二) 施力點右段之軸向應力 σb\sigma_b 表示式。【4分】 (三) 施力點位移量 δ\delta 表示式。【4分】

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核心觀念

本題考查「兩端固定桿件受集中軸向力」的應力與位移分析，使用：

  1. 力平衡 RL+RR=PR_L+R_R=P
  2. 變形相容條件：兩端固定，因此左、右兩段的變形須共同造成施力點位移 δ\delta。
  3. 軸向應力與變形關係 σ=Eε=Eδℓ\sigma=E\varepsilon=E\frac{\delta}{\ell}

圖中桿件總長度為

L=a+bL=a+b

其中 aa 為施力點至左壁距離，bb 為施力點至右壁距離。

解題方法

設施力點向右位移為 δ\delta。

左段

左段長度為 aa，施力點向右移動後，左段伸長 δ\delta，因此左段承受拉力。

左段軸向應變為

εa=δa\varepsilon_a=\frac{\delta}{a}

故左段軸向應力為

σa=Eεa=Eδa\sigma_a=E\varepsilon_a=\frac{E\delta}{a}

右段

右段長度為 bb，施力點向右移動後，右段縮短 δ\delta，因此右段承受壓力。

右段軸向應變為

εb=−δb\varepsilon_b=-\frac{\delta}{b}

故右段軸向應力為

σb=Eεb=−Eδb\sigma_b=E\varepsilon_b=-\frac{E\delta}{b}

負號表示壓應力。

施力點平衡

左、右兩段均對施力點產生向左的抵抗力，因此

P=σaA+∣σb∣AP=\sigma_a A+\left|\sigma_b\right|A

代入上式：

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第 題目五 題20 分

如圖所示為直齒正齒輪之回歸齒輪系，其最終減速比為 7:17:1，兩軸中心距為 200 mm200\text{ mm}，四個齒輪模數（module）均為 55，主動齒輪 AA 為最小齒輪且齒數為 2020。試回答下列問題： (一) 齒輪 BB、CC、DD 之齒數各為何？【12分】 (二) 三支輪軸均為材質相同的實心圓軸，且僅考慮傳送扭矩負荷及以最大剪應力損壞理論作軸徑（diameter）強度設計，若齒輪 AA 軸之最小軸徑需為 15 mm15\text{ mm} 才不致造成損壞，試求另兩支齒輪軸之最小軸徑（mm\text{mm}）。【8分】

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核心觀念

本題考查：

  1. 回歸齒輪系的齒數與中心距關係。
  2. 直齒輪基本公式： d=mzd=mz 其中 dd 為節圓直徑、mm 為模數、zz 為齒數。
  3. 齒輪傳動比： T2T1=z2z1\frac{T_2}{T_1}=\frac{z_2}{z_1}
  4. 實心圓軸受純扭矩時，依最大剪應力理論設計： τmax⁡=16Tπd3\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^3}

由圖可知：齒輪 AA 與 DD 分別位於兩端軸，齒輪 BB、CC 為同一中間軸上的複合齒輪。

解題方法

（一）求齒輪 BB、CC、DD 的齒數

已知：

m=5,zA=20,中心距=200 mmm=5,\qquad z_A=20,\qquad \text{中心距}=200\text{ mm}

齒輪 AA 與 BB 的中心距為：

dA+dB2=200\frac{d_A+d_B}{2}=200

由 d=mzd=mz：

m(zA+zB)2=200\frac{m(z_A+z_B)}{2}=200

代入數值：

5(20+zB)2=200\frac{5(20+z_B)}{2}=200 20+zB=8020+z_B=80

因此：

zB=60\boxed{z_B=60}

由於為回歸齒輪系，兩端齒輪軸線相同，故必須滿足：

zA+zB=zC+zDz_A+z_B=z_C+z_D

因此：

zC+zD=20+60=80z_C+z_D=20+60=80

全系統最終減速比為 7:17:1，所以：

zBzA⋅zDzC=7\frac{z_B}{z_A}\cdot\frac{z_D}{z_C}=7

代入 zA=20z_A=20、zB=60z_B=60：

6020⋅zDzC=7\frac{60}{20}\cdot\frac{z_D}{z_C}=7 3zDzC=73\frac{z_D}{z_C}=7 zDzC=73\frac{z_D}{z_C}=\frac{7}{3}

令：

zD=7k,zC=3kz_D=7k,\qquad z_C=3k

又因 zC+zD=80z_C+z_D=80：

3k+7k=803k+7k=80 k=8k=8

所以：

zC=24,zD=56\boxed{z_C=24},\qquad \boxed{z_D=56}

驗算第二段中心距：

m(zC+zD)2=5(24+56)2=200 mm\frac{m(z_C+z_D)}{2} =\frac{5(24+56)}{2} =200\text{ mm}

完全符合題目條件。

（二）求另外兩支齒輪軸的最小軸徑

依齒輪傳動關係，設齒輪 AA 軸扭矩為 TAT_A。

中間軸 BB、CC

第一級齒輪傳動比為：

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第 題目六 題12 分

如圖所示為長 100 mm100\text{ mm} 直徑 20 mm20\text{ mm} 之懸臂圓鋼棒，其材料降伏強度 Sy=280 MPaS_y = 280\text{ MPa}，其自由端負載為 F=0.8 kNF = 0.8\text{ kN}，P=8 kNP = 8\text{ kN}，T=30 N⋅mT = 30\text{ N}\cdot\text{m}，試對固定端圓柱表面 AA 點（與 +y+y 軸交點）分別依據以下兩損壞理論計算其安全因數。 (一) 最大剪應力理論（maximum-shear-stress theory）。【6分】 (二) 畸變能理論（distortion-energy theory）。【6分】

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核心觀念

固定端截面 AA 點同時承受：

  1. 軸向力 PP 造成均勻正應力。
  2. 橫向力 FF 造成彎曲正應力。
  3. 扭矩 TT 造成扭轉剪應力。

圓實心截面的幾何性質為

Ac=πd24,I=πd464,J=πd432,c=d2A_c=\frac{\pi d^2}{4},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad c=\frac d2

其中 d=20 mmd=20\text{ mm}、c=10 mmc=10\text{ mm}。

一、固定端 AA 點應力

取桿軸方向為 xx 軸，AA 點位於 +y+y 軸交點。

1. 軸向應力

σP=PAc=8000π(20)2/4=25.46 MPa\sigma_P=\frac{P}{A_c} =\frac{8000}{\pi(20)^2/4} =25.46\text{ MPa}

PP 為拉力，因此造成拉應力。

2. 彎曲應力

自由端橫向力造成固定端彎矩

M=FL=(0.8×103)(100)=80 000 N⋅mmM=FL=(0.8\times10^3)(100) =80\,000\text{ N}\cdot\text{mm}

固定端表面最大彎曲應力為

σM=McI=(80 000)(10)π(20)4/64=101.86 MPa\sigma_M=\frac{Mc}{I} =\frac{(80\,000)(10)} {\pi(20)^4/64} =101.86\text{ MPa}

由圖示載重方向，AA 點位於上側，即 +y+y 軸交點，彎曲應力為壓應力。因此

σA=σP−σM=25.46−101.86=−76.39 MPa\sigma_A=\sigma_P-\sigma_M =25.46-101.86 =-76.39\text{ MPa}

故 AA 點的正應力為 76.39 MPa76.39\text{ MPa} 壓應力。

3. 扭轉剪應力

T=30 N⋅m=30 000 N⋅mmT=30\text{ N}\cdot\text{m} =30\,000\text{ N}\cdot\text{mm}

因此

τA=TcJ=(30 000)(10)π(20)4/32=19.10 MPa\tau_A=\frac{Tc}{J} =\frac{(30\,000)(10)} {\pi(20)^4/32} =19.10\text{ MPa}

所以 AA 點為平面應力狀態：

σx=−76.39 MPa,τxy=19.10 MPa\sigma_x=-76.39\text{ MPa},\qquad \tau_{xy}=19.10\text{ MPa}

（一）最大剪應力理論

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第 題目七 題12 分

如圖所示之懸臂彈簧（cantilever spring），其長度為 250 mm250\text{ mm}，斷面尺寸為 12 mm12\text{ mm} 寬 ×1 mm\times 1\text{ mm} 厚，材料的極限強度（抗拉強度）Su=900 MPaS_u = 900\text{ MPa}，降伏強度 Sy=600 MPaS_y = 600\text{ MPa}，完全修正後之耐久限（疲勞限）Se=400 MPaS_e = 400\text{ MPa}。若自由端承受由 0 N0\text{ N} 至 2 N2\text{ N} 變化之變動負荷 PP，以最大正應力為設計基礎且無其他應力集中因數之條件下，試分別按以下兩種疲勞損壞準則計算其安全因數。 (一) Soderberg【6分】 (二) Goodman【6分】

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本題考查矩形截面懸臂彈簧的彎曲正應力，以及平均應力、交變應力配合疲勞破壞準則求安全因數。

圖中厚度 t=1 mmt=1\text{ mm} 為彎曲方向尺寸，寬度 b=12 mmb=12\text{ mm}。懸臂梁自由端受力時，固定端彎矩最大，因此固定端外表面的正應力為最大值：

σ=McI=6PLbt2\sigma=\frac{Mc}{I} =\frac{6PL}{bt^2}

其中：

  • L=250 mmL=250\text{ mm}
  • b=12 mmb=12\text{ mm}
  • t=1 mmt=1\text{ mm}
  • Pmin⁡=0 NP_{\min}=0\text{ N}
  • Pmax⁡=2 NP_{\max}=2\text{ N}

由於負荷在 0 N0\text{ N} 至 2 N2\text{ N} 間變化，應力亦在 00 至最大應力間變化，因此：

σm=σmax⁡+σmin⁡2\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2} σa=σmax⁡−σmin⁡2\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}

其中 σm\sigma_m 為平均應力，σa\sigma_a 為交變應力。

最大彎曲正應力

自由端最大負荷為 Pmax⁡=2 NP_{\max}=2\text{ N}，固定端最大彎矩：

Mmax⁡=Pmax⁡L=2(250)=500 N⋅mmM_{\max}=P_{\max}L =2(250)=500\text{ N}\cdot\text{mm}

最大正應力：

σmax⁡=6Pmax⁡Lbt2=6(2)(250)12(1)2=250 MPa\sigma_{\max} =\frac{6P_{\max}L}{bt^2} =\frac{6(2)(250)}{12(1)^2} =250\text{ MPa}

因為 Pmin⁡=0P_{\min}=0，所以：

σmin⁡=0\sigma_{\min}=0

平均應力：

σm=250+02=125 MPa\sigma_m=\frac{250+0}{2}=125\text{ MPa}

交變應力：

σa=250−02=125 MPa\sigma_a=\frac{250-0}{2}=125\text{ MPa}

（一）Soderberg 準則

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第 題目八 題10 分

如圖所示一垂直均質鋼桿頂端固定，下端連接剛性圓盤，鋼桿長為 LL，截面積為 AA，材料彈性模數為 EE。今有一靜止之重量為 WW 之軸環（collar）套於鋼桿距圓盤高 hh 處掉落在圓盤上，造成鋼桿伸長量 δ\delta，不計摩擦及鋼桿與圓盤重量，試以 LL、AA、EE、WW 及 hh 等參數符號求解並寫出該鋼桿之： (一) 伸長量 δ\delta 表示式，【6分】 (二) 軸向應力 σ\sigma 表示式。【4分】

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核心觀念

本題為「軸向衝擊載重」問題，鋼桿可視為軸向彈簧，其軸向剛度為

k=AELk=\frac{AE}{L}

鋼桿的彈性應變能為

U=12kδ2=AE2Lδ2U=\frac{1}{2}k\delta^2 =\frac{AE}{2L}\delta^2

軸環由距離圓盤 hh 處自由落下，圓盤下降並使鋼桿伸長 δ\delta，因此軸環總下降距離為 h+δh+\delta。

解題方法

在軸環與圓盤接觸後，達到最大伸長量 δ\delta 的瞬間，軸環速度為零。由能量守恆：

W(h+δ)=AE2Lδ2W(h+\delta)=\frac{AE}{2L}\delta^2

整理為二次方程式：

AE2Lδ2−Wδ−Wh=0\frac{AE}{2L}\delta^2-W\delta-Wh=0

乘以 2LAE\dfrac{2L}{AE}：

δ2−2WLAEδ−2WLhAE=0\delta^2-\frac{2WL}{AE}\delta-\frac{2WLh}{AE}=0

取物理上為正值的根：

δ=WLAE[1+1+2AEhWL]\delta = \frac{WL}{AE} \left[ 1+\sqrt{1+\frac{2AEh}{WL}} \right]

因此，

（一）鋼桿伸長量

δ=WLAE[1+1+2AEhWL]\boxed{ \delta = \frac{WL}{AE} \left[ 1+\sqrt{1+\frac{2AEh}{WL}} \right] }

其中 WLAE\dfrac{WL}{AE} 為重量 WW 靜態作用下的伸長量。

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