110 中華郵政招考營運職 壽險精算 保險學及保險數學 考古題詳解

核心觀念

本題核心在於掌握「保險利益」的意義、功能、成立要件，以及《保險法》對財產保險與人身保險所作的不同規定。答題時應依序從「定義 → 要件 → 功能 → 法條分類 → 存在時點 → 欠缺效果」說明。

以下以命題當年（民國110年）《保險法》規定為準。

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（一）保險利益之定義；積極與消極保險利益

1. 保險利益之定義

保險利益，是指要保人或被保險人對於保險標的具有法律上承認的經濟利益。當保險事故發生時，該利益因保險標的毀損、滅失、死亡或受傷而受損害，或因保險標的存在而獲得利益，即構成保險利益。

簡言之，保險利益必須是：

• 以一定法律關係為基礎；
• 具有經濟價值；
• 保險事故發生時會產生利益損益。

2. 積極保險利益

積極保險利益，是指因保險標的存在而享有經濟上利益。

例如：

• 屋主因房屋存在而享有所有權利益；
• 出租人因租賃物存在而享有收益利益；
• 債權人因債務人仍有清償能力而享有債權利益。

其判斷重點是：「保險標的存在，對某人有利。」

3. 消極保險利益

消極保險利益，是指因保險標的發生毀損、滅失或其他保險事故，而受到經濟上不利益。

例如：

• 屋主因房屋火災燒毀而遭受財產損失；
• 債權人因債務人死亡、失能而增加債權無法受償的風險；
• 雇主因重要員工死亡而遭受營業損失。

其判斷重點是：「保險事故發生，對某人不利。」

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（二）保險利益之成立要件

保險利益通常須具備下列要件：

1. 須為法律上承認的利益

保險利益必須建立在合法的法律關係上，例如所有權、租賃關係、債權債務關係、親屬關係或僱傭關係。

單純的事實上期待、好感或投機性利益，不能成立保險利益。

2. 須具有經濟價值

保險利益必須能以金錢衡量，或至少能轉化為經濟上的損益。純粹精神上、感情上的利益，原則上不足以作為財產保險的保險利益。

3. 須為確定或可得確定的利益

保險利益的主體、標的及利益內容，必須具體明確或可以確定，不能僅為抽象、臆測或不確定的期待。

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（三）保險利益存在之目的

1. 防止賭博性契約

若任何人均可為與自己毫無利害關係的標的投保，保險契約即可能變成以偶然事故決定得失的賭博。要求投保人具有保險利益，可確保保險是危險分散制度，而非賭博工具。

2. 防止道德危險

投保人若對保險標的沒有任何經濟利益，甚至可能因保險事故發生而獲利，容易產生故意造成事故、縱容事故發生等道德危險。

3. 限制不當得利並確定理賠範圍

財產保險以填補實際損害為原則，保險利益可作為損害及保險金額的衡量基礎，避免被保險人因保險事故而獲得超過實際損害的利益。

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（四）依《保險法》說明財產保險與人身保險之保險利益

1. 財產保險之保險利益

依民國110年《保險法》第14條：

要保人對於財產上之現有利益，因保險事故之發生而受損害者，為有保險利益。

因此，財產保險的保險利益具有三項重點：

• 對象是「財產上之現有利益」；
• 該利益必須客觀存在；
• 保險事故發生時，該利益會受到損害。

核心觀念

本題考查保險費率釐訂的兩層規範：

1. 基本原則：站在保險監理立場，確保費率不危害被保險人權益、不破壞保險制度的公平與健全。
2. 引申原則：站在保險經營立場，將基本原則進一步轉化為實際可操作、可管理及可持續經營的費率制度。

以命題當年（民國110年）法規為準，保險費率之釐訂及使用，應符合保險法及主管機關所定保險費率規範；其中核心要求可歸納為費率應具備適足性、合理性及公平性。

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（一）基本原則與引申原則【18分】

一、基本原則：基於保險監理立場

1. 公平性原則

保險費率應依被保險人所承擔的危險程度及損失經驗訂定，使具有相同或相近危險程度的被保險人負擔相近保費；危險程度不同者，保費亦應合理反映其差異。

公平性包含兩個面向：

• 對被保險人公平：不得對危險程度相同者收取顯著不同的保費。
• 對保險人公平：各類被保險人所繳保費，應足以反映其預期損失及所占用的保險資源。

因此，費率不能任意偏袒某一類被保險人，也不能透過不合理的交叉補貼，使低危險者長期補貼高危險者。

2. 合理性原則

保險費率應具有客觀、合理的統計或精算基礎，能反映危險事故發生的機率、損失程度、保險期間、承保條件及相關費用。

合理性並非單純指保費越低越好，而是指：

• 費率與危險程度相稱；
• 費率計算方法具有科學依據；
• 費率所含附加費用合理；
• 不得藉由不合理高費率獲取超額利益；
• 不得因費率過低而造成保險經營危險。

3. 適足性原則

保險費率必須足以支付保險期間內的各項成本，包括：

• 預期賠款；
• 理賠費用；
• 核保及管理費用；
• 再保險成本；
• 必要的風險及利潤負荷；
• 其他合理經營成本。

一般財產保險的總保費可表示為：

$$\text{總保費} = \text{預期損失} + \text{損失調整費用} + \text{營業費用} + \text{風險負荷} + \text{合理利潤}$$

若費率不足，雖然短期內有利於增加保單銷售，但長期可能導致準備金不足、理賠能力下降，甚至危及保險業及被保險人的權益。

4. 不歧視原則

對於危險程度相同或相近的被保險人，應適用相同或相近的費率；對危險程度不同者，應有合理的費率差異。

所謂不歧視，並非所有人均收取完全相同的保費，而是費率差異必須有保險危險、損失經驗或精算資料作為依據。沒有合理危險基礎的差別待遇，即屬不當差別定價。

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二、引申原則：基於保險經營立場

基本原則落實於實務經營時，通常可引申出下列原則。

1. 穩定性原則

費率不宜因短期損失波動而頻繁調整，應以較長期間的統計資料及損失趨勢為基礎，使保戶、保險人及市場均能形成穩定預期。

穩定性具有以下功能：

• 避免保費短期內劇烈變動；
• 使保戶容易安排保險支出；
• 降低業務及行政成本；
• 避免因偶發重大損失而作出過度反應。

但穩定性並不表示費率永遠不變；當危險結構、醫療成本、通貨膨脹或損失經驗發生重大變化時，仍應適度調整。

2. 彈性原則

費率制度應能隨危險程度、損失經驗、通貨膨脹、法令、醫療技術及市場環境變化而調整。

彈性可表現在：

• 依不同危險等級設定不同費率；
• 依被保險人的損失經驗給予加減費；
• 配合保障範圍、免賠額及承保條件調整；
• 依市場及成本變化修正費率。

費率過於僵化，會導致實際危險與保費不相稱；費率過度浮動，則又違反穩定性原則。因此，穩定性與彈性必須取得平衡。

3. 簡明性原則

費率的分類、計算方式及適用條件應清楚簡單，使業務員、被保險人及核保理賠人員均能理解與使用。

簡明的費率制度可以：

• 降低計算錯誤；
• 提高核保及出單效率；
• 減少保險爭議；
• 降低行政管理成本。

簡明性並不等於忽略危險差異，而是在合理反映危險的前提下，避免不必要的複雜化。

4. 可行性原則

費率必須能在實際業務上執行，包括資料取得、核保分類、保費計算、保單管理及理賠作業均應具有可行性。

如果費率分類過細，雖然理論上可能更精確，但若缺乏足夠資料或實務上無法辨識，便不具可操作性。

5. 經濟性原則

訂定費率時，應兼顧費率制度的管理成本與經營效益。若為了極小的精算精確度而建立過於複雜的制度，導致核保、出單及管理成本大幅增加，未必符合經濟效益。

6. 競爭性原則

（一）固定死力與固定息力下之終身壽險準備金

核心觀念

本題考查連續型終身壽險的精算現值與前瞻式準備金。

已知：

• 死力固定為 $\mu$
• 息力固定為 $\delta$
• 死亡時立即給付
• 保額為 $1$
• 終身連續繳費

固定死力下，未來 $s$ 年內仍生存的機率為

$${}_sp_x=e^{-\mu s}.$$

固定息力下，折現因子為

$$e^{-\delta s}.$$

因此，死亡立即給付之終身壽險現值為

$$\bar A_x = \int_0^\infty e^{-\delta s}{}_sp_x\mu\,ds = \int_0^\infty \mu e^{-(\mu+\delta)s}\,ds = \frac{\mu}{\mu+\delta}.$$

連續終身生存年金現值為

$$\bar a_x = \int_0^\infty e^{-\delta s}{}_sp_x\,ds = \int_0^\infty e^{-(\mu+\delta)s}\,ds = \frac{1}{\mu+\delta}.$$

解題方法

由純保費原則，連續繳費之年繳保費率 $\bar P$ 滿足

$$\bar P\bar a_x=\bar A_x.$$

所以

$$\bar P = \frac{\bar A_x}{\bar a_x} = \frac{\mu/(\mu+\delta)}{1/(\mu+\delta)} = \mu.$$

在第 $t$ 年末，以前瞻式準備金計算：

$${}_t\bar V_x = \bar A_{x+t} - \bar P\bar a_{x+t}.$$

由於死力與息力皆固定，故

$$\bar A_{x+t}=\frac{\mu}{\mu+\delta}, \qquad \bar a_{x+t}=\frac{1}{\mu+\delta}.$$

代入 $\bar P=\mu$：

$${}_t\bar V_x = \frac{\mu}{\mu+\delta} - \mu\left(\frac{1}{\mu+\delta}\right) =0.$$

解題技巧

固定死力代表 $x$ 歲與 $x+t$ 歲之死亡分布相同，因此未來保險給付現值與未來保費現值不因經過時間而改變。以純保費原則建立的保單，其準備金自然為零。

【答案】

$$\boxed{{}_t\bar V_x=0}$$

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（二）二年期定期壽險第一保單年度末準備金

（一）終身繳費終身壽險之損失變異數

核心觀念

本題採連續時間模型：

• 死力固定為 $\mu=0.01$，故死亡時間 $T$ 服從參數為 $\mu$ 的指數分配。
• 息力固定為 $\delta=0.04$。
• 保險死亡時立即給付一單位。
• 保費未另行指定，依壽險精算慣例採淨保費原則。
• 保險人發單時損失定義為

$$L=\text{給付現值}-\text{保費現值}.$$

死亡時間 $T$ 的分配為

$${}_tp_x=e^{-\mu t},\qquad f_T(t)=\mu e^{-\mu t}.$$

解題方法

死亡給付現值為

$$Z=e^{-\delta T}.$$

連續繳費至死亡時的保費現值為

$$Y=\overline{P}_x\int_0^T e^{-\delta t}\,dt =\overline{P}_x\overline{a}_{\overline{T}|}.$$

先求淨保費率。終身壽險現值為

$$\overline{A}_x =E(e^{-\delta T}) =\int_0^\infty e^{-\delta t}\mu e^{-\mu t}\,dt =\frac{\mu}{\mu+\delta}.$$

連續終身年金現值為

$$\overline{a}_x =\int_0^\infty e^{-\delta t}{}_tp_x\,dt =\int_0^\infty e^{-(\mu+\delta)t}\,dt =\frac{1}{\mu+\delta}.$$

由淨保費平衡原則，

$$\overline{P}_x =\frac{\overline{A}_x}{\overline{a}_x} =\mu=0.01.$$

因此

$$L=e^{-\delta T} -\mu\frac{1-e^{-\delta T}}{\delta}.$$

整理為

$$L= \left(1+\frac{\mu}{\delta}\right)e^{-\delta T} -\frac{\mu}{\delta}.$$

因為加減常數不影響變異數，故

$$\operatorname{Var}(L) = \left(1+\frac{\mu}{\delta}\right)^2 \operatorname{Var}(e^{-\delta T}).$$

計算折現給付現值的矩：

$$E(e^{-\delta T}) =\frac{\mu}{\mu+\delta} =\frac{0.01}{0.05} =0.2,$$ $$E(e^{-2\delta T}) =\frac{\mu}{\mu+2\delta} =\frac{0.01}{0.09} =\frac19.$$

所以

$$\operatorname{Var}(e^{-\delta T}) = \frac19-(0.2)^2 = \frac19-\frac1{25} = \frac{16}{225}.$$

又

$$1+\frac{\mu}{\delta} = 1+\frac{0.01}{0.04} =1.25=\frac54.$$

因此

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(L) &=\left(\frac54\right)^2\frac{16}{225}\\ &=\frac{25}{16}\cdot\frac{16}{225}\\ &=\frac19. \end{aligned}$$

解題技巧