107 民航特考三等 飛航管制 飛行原理 考古題詳解

核心觀念

本題評量飛機的「縱向靜穩定性」（Longitudinal Static Stability）核心理論與參數關係，涉及之重要定義與物理量如下：

1. 俯仰力矩係數（Pitching Moment Coefficient, $C_m$）： 定義為 $C_m = \frac{M}{\frac{1}{2}\rho V^2 S \bar{c}}$。慣例上以「抬頭（Nose-up）」力矩為正，「低頭（Nose-down）」力矩為負。
2. 俯仰穩定剛度（Pitch Stability Stiffness, $C_{m_\alpha}$）： 全機俯仰力矩係數對攻角 $\alpha$ 的偏微分，即 $C_{m_\alpha} = \frac{\partial C_m}{\partial \alpha}$，又稱為縱向靜穩定導數（Longitudinal Static Stability Derivative）。
3. 全機升力線斜率（Lift-curve Slope, $C_{L_\alpha}$）： 全機升力係數對攻角之變化率 $C_{L_\alpha} = \frac{\partial C_L}{\partial \alpha}$，在失速前的正常飛行包絡線內恆為正值（$C_{L_\alpha} > 0$）。
4. 中性點（Neutral Point, $x_{np}$）： 使全機縱向處於中立穩定狀態（$C_{m_\alpha} = 0$）時的質心位置。
5. 靜穩定裕度（Static Margin, $SM$）： 中性點位置（$x_{np}$）與質心位置（$x_{cg}$）之無因次化距離差值，用以量化全機靜穩定的程度。
6. 空氣動力中心（Aerodynamic Center, $ac$）： 翼面或飛行器上，俯仰力矩係數不隨攻角改變的特定參考點（即 $\frac{\partial C_m}{\partial \alpha} = 0$ 之取力矩點）。

解題方法

(一) 靜穩定裕度（$SM$）與俯仰穩定剛度（$C_{m_\alpha}$）的關係

全機繞質心的俯仰力矩係數 $C_m$，可表達成全機空氣動力中心（中性點）的力矩係數與全機升力對質心所產生的力矩總和： $C_m = C_{m_{np}} + C_L \left(\frac{x_{cg} - x_{np}}{\bar{c}}\right)$

式中：

• $x_{cg}$ 為質心距機頭之距離
• $x_{np}$ 為中性點距機頭之距離
• $\bar{c}$ 為平均氣動弦長（Mean Aerodynamic Chord, MAC）
• $C_{m_{np}}$ 為繞中性點之俯仰力矩係數（依中性點定義，此項不隨攻角 $\alpha$ 改變）

將上式對攻角 $\alpha$ 微分，求取俯仰穩定剛度 $C_{m_\alpha}$： $C_{m_\alpha} = \frac{\partial C_m}{\partial \alpha} = \frac{\partial C_{m_{np}}}{\partial \alpha} + \frac{\partial C_L}{\partial \alpha} \left(\frac{x_{cg} - x_{np}}{\bar{c}}\right)$

因 $\frac{\partial C_{m_{np}}}{\partial \alpha} = 0$，且令 $C_{L_\alpha} = \frac{\partial C_L}{\partial \alpha}$，則： $C_{m_\alpha} = - C_{L_\alpha} \left(\frac{x_{np} - x_{cg}}{\bar{c}}\right)$

依飛行力學標準定義，靜穩定裕度（Static Margin, $SM$） 為： $SM \equiv \frac{x_{np} - x_{cg}}{\bar{c}} = - \frac{\partial C_m}{\partial C_L}$

因此，兩者的數學關係式為： $C_{m_\alpha} = - C_{L_\alpha} \times SM \quad \text{或} \quad SM = - \frac{C_{m_\alpha}}{C_{L_\alpha}}$

關係說明：

1. 靜穩定裕度 $SM$ 與俯仰穩定剛度 $C_{m_\alpha}$ 成正比且正負號相反（因正常飛行時 $C_{L_\alpha} > 0$）。
2. $SM$ 愈大（正值愈大），則 $C_{m_\alpha}$ 愈負，代表飛機抵抗俯仰擾動、自動恢復平衡的剛性力矩（Restoring Moment）愈強。

(二) 俯仰穩定時，俯仰穩定剛度值之正負

一架具有靜態俯仰穩定的飛機，在受到垂直突風擾動而產生正攻角增量（$\Delta \alpha > 0$，機頭上仰）時，必須產生反向的負俯仰力矩增量（$\Delta C_m < 0$，低頭力矩）以抑制攻角擴大並自動恢復原平衡狀態；反之，若受擾動使攻角變小（$\Delta \alpha < 0$），系統必須誘發正力矩（$\Delta C_m > 0$）使機頭回復。

依導數定義： $C_{m_\alpha} = \lim_{\Delta \alpha \to 0} \frac{\Delta C_m}{\Delta \alpha}$

因分子與分母符號恆相反，故具俯仰穩定的飛機： $C_{m_\alpha} < 0 \quad (\text{值為負})$

(三) 俯仰穩定時，質心與中性點的關係

核心觀念

1. 阻力極線（Drag Polar）方程式： 飛機之總阻力係數 $C_D$ 可表為零升力阻力係數 $C_{D0}$（代表寄生阻力）與誘導阻力係數 $C_{Di}$ 之和： $C_D = C_{D0} + C_{Di} = C_{D0} + K C_L^2$ 其中 $K$ 為誘導阻力係數因子（$K = \frac{1}{\pi e AR}$，$AR$ 為展弦比，$e$ 為奧斯華效率因子）。

2. 最大升阻比條件： 升阻比為 $\frac{L}{D} = \frac{C_L}{C_D}$。求其極大值等同於求阻升比 $\frac{D}{L} = \frac{C_D}{C_L}$ 的極小值。根據一階微分極值條件或算幾不等式可知：當零升力阻力等於誘導阻力（即 $C_{D0} = K C_L^2$）時，飛機具有最大升阻比 $(L/D)_{\max}$。

3. 幾何幾何圖形特徵： 在以 $C_D$ 為橫軸、$C_L$ 為縱軸之極曲線圖上，自原點 $(0,0)$ 引向極線的切線，其切點即為最大升阻比對應的操作點，該切線之斜率即為最大升阻比。

解題方法

(一) 計算此無人機的最佳升阻比

1. 極值推導： 升阻比方程式為： $\frac{L}{D} = \frac{C_L}{C_D} = \frac{C_L}{C_{D0} + K C_L^2}$ 對 $C_L$ 微分並令其等於零： $\frac{d}{dC_L}\left(\frac{L}{D}\right) = \frac{(C_{D0} + K C_L^2) \cdot 1 - C_L \cdot (2 K C_L)}{(C_{D0} + K C_L^2)^2} = \frac{C_{D0} - K C_L^2}{(C_{D0} + K C_L^2)^2} = 0$ 由此得最大升阻比之條件為： $C_{D0} = K C_L^2$

2. 最佳升阻比公式： 在此條件下，$C_L = \sqrt{\frac{C_{D0}}{K}}$，且總阻力係數 $C_D = C_{D0} + C_{D0} = 2C_{D0}$。 將其代入升阻比式中，整理可得最佳升阻比通式： $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = \frac{\sqrt{C_{D0}/K}}{2C_{D0}} = \frac{1}{2\sqrt{C_{D0} K}}$

3. 代入題目給定數值計算： 已知 $C_{D0} = 0.307$，$K = 0.0274$： $C_{D0} \times K = 0.307 \times 0.0274 = 0.0084118$ $\sqrt{C_{D0} K} = \sqrt{0.0084118} \approx 0.091716$

核心觀念

本題旨在考驗飛行力學中「飛機定常爬升性能（Steady Climbing Performance）」之動力學與能量分析。涉及之核心物理量與基本定義如下：

1. 可用功率（Power Available, $P_A$）與所需功率（Power Required, $P_R$）：

• 可用功率為發動機產生的推力所能提供的功率： $P_A = T \cdot V$ （其中 $T$ 為發動機推力，$V$ 為真實空速 True Airspeed, TAS）。若為螺旋槳發動機，亦可表為 $P_A = \eta \cdot P_{\text{brake}}$，$\eta$ 為螺旋槳效率。
• 所需功率為克服飛機整體阻力以維持等速飛行所需之功率： $P_R = D \cdot V$ （其中 $D$ 為飛機全機總阻力）。

2. 剩餘功率（Excess Power, $P_{\text{excess}}$）： 飛機當前可輸出之可用功率扣除克服阻力所需功率後之剩餘能量供給率： $P_{\text{excess}} = P_A - P_R = (T - D)V$

3. 爬升率（Rate of Climb, $R/C$ 或 $\dot{h}$）： 飛機在垂直方向上高度隨時間增加的速率（垂直速度）： $R/C = \frac{dh}{dt} = V \sin\gamma$ （其中 $\gamma$ 為飛行路徑之爬升角 Climb Angle）。

解題方法

要完整說明剩餘功率與爬升率的關係，可由「力平衡方程式」與「能量守恆觀點」兩種途徑切入並相互印證：

1. 力平衡推導（等速直線爬升）

考慮飛機進行定常（無加速度）對稱爬升： 沿飛行路徑方向（平行於空速向量），作用力達到靜力平衡： $T - D - W \sin\gamma = 0$ 式中 $W$ 為飛機總重量。整理可得： $T - D = W \sin\gamma$

將等式兩端同乘以飛行速度 $V$： $(T - D)V = W(V \sin\gamma)$

依據定義：

• 等號左側 $(T - D)V = T\cdot V - D\cdot V = P_A - P_R = P_{\text{excess}}$
• 等號右側之 $V \sin\gamma = R/C$

代入後獲得核心關聯式： $P_{\text{excess}} = W \cdot (R/C)$ 亦即： $R/C = \frac{P_{\text{excess}}}{W} = \frac{P_A - P_R}{W} = \frac{(T - D)V}{W}$

2. 能量守恆觀點（單位重量之超額功率 $P_s$）

飛機的總機械能 $E$ 為位能與動能之和： $E = mgh + \frac{1}{2}mV^2 = W\left(h + \frac{V^2}{2g}\right)$

對時間微分求能量變化率： $\frac{dE}{dt} = W\left(\frac{dh}{dt} + \frac{V}{g}\frac{dV}{dt}\right)$

外界發動機對飛機做的淨功功率即為剩餘功率：$\frac{dE}{dt} = P_{\text{excess}}$。 在等速爬升條件下（$\frac{dV}{dt} = 0$），能量全部轉化為位能提升： $P_{\text{excess}} = W \frac{dh}{dt} = W \cdot (R/C) \implies R/C = \frac{P_{\text{excess}}}{W}$

3. 物理意義與特性分析

1. 正比關係：在特定飛行重量 $W$ 下，飛機的爬升率 $R/C$ 與剩餘功率 $P_{\text{excess}}$ 呈嚴格正比關係。剩餘功率越大，爬升率越高。

核心觀念

本題評量飛行動力學（Flight Dynamics）與飛行儀表學中極為重要的飛機空間姿態表示法。

1. 座標系定義：

• 固地北東下座標系（Earth-fixed North-East-Down Frame, NED）：設為參考座標系 $F_E (X_E, Y_E, Z_E)$。$X_E$ 軸指向正北（North）、$Y_E$ 軸指向正東（East）、$Z_E$ 軸垂直地面向下指向地心（Down），符合右手正交卡氏座標系。
• 飛機體座標系（Aircraft Body-fixed Frame）：設原點在飛機質心（Center of Gravity, CG）的動態座標系 $F_B (X_B, Y_B, Z_B)$。$X_B$ 軸沿機身縱軸指向機頭（Forward/Nose）、$Y_B$ 軸指向右機翼（Right wing）、$Z_B$ 軸垂直機身平面指向機腹下方（Down/Belly），亦為右手正交系統。

2. 尤拉角（Euler’s Angles）與旋轉序列：

• 尤拉角是用來描述體座標系相對於固地參考座標系之三維空間姿態的連續三次單軸旋轉角。
• 航空工程標準採用 3-2-1 旋轉序列（即 $Z$-$Y$-$X$ 順序）：依序為偏航（Yaw, $\psi$）$\rightarrow$ 俯仰（Pitch, $\theta$）$\rightarrow$ 滾轉（Roll, $\phi$）。

3. 值域與奇異點（Singularity）：

• 為使空間中任意姿態與尤拉角具有唯一的數學對應關係，中間旋轉角（俯仰角 $\theta$）跨度必須限制為 $180^\circ$，其餘兩角跨度為 $360^\circ$。

解題方法

由參考座標系（固地 NED 座標系 $F_E$）旋轉轉換至飛機體座標系 $F_B$，必須透過兩次過渡的中間座標系，並嚴格遵循右手定則進行三次連續純旋轉：

步驟一：偏航（Yaw）——繞 $Z$ 軸旋轉

1. 旋轉軸：固地座標系之 $Z_E$ 軸（向下）。
2. 旋轉角：偏航角 $\psi$（Yaw angle，又稱航向角 Heading angle）。
3. 物理意義與正向定義：依右手定則，右手大拇指朝向 $+Z_E$（向下），其餘四指彎曲方向即為正偏航方向（俯視時機頭向右偏航為正）。
4. 中間座標系 1：由 $(X_E, Y_E, Z_E)$ 旋轉 $\psi$ 後形成第一中間座標系 $(X_1, Y_1, Z_1)$，此時 $Z_1$ 與 $Z_E$ 軸重合。
5. 座標轉換矩陣： $\begin{bmatrix} X_1 \\ Y_1 \\ Z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_E \\ Y_E \\ Z_E \end{bmatrix}$

步驟二：俯仰（Pitch）——繞 $Y_1$ 軸旋轉

1. 旋轉軸：第一中間座標系之 $Y_1$ 軸（向右）。
2. 旋轉角：俯仰角 $\theta$（Pitch angle）。
3. 物理意義與正向定義：依右手定則，右手大拇指朝向 $+Y_1$（右翼），其餘四指彎曲方向即為正俯仰方向（由右側看，機頭向上抬起 Pitch up 為正）。
4. 中間座標系 2：由 $(X_1, Y_1, Z_1)$ 旋轉 $\theta$ 後形成第二中間座標系 $(X_2, Y_2, Z_2)$，此時 $Y_2$ 與 $Y_1$ 軸重合，且 $X_2$ 軸已對準機身縱軸 $X_B$。
5. 座標轉換矩陣： $\begin{bmatrix} X_2 \\ Y_2 \\ Z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ Y_1 \\ Z_1 \end{bmatrix}$

步驟三：滾轉（Roll）——繞 $X_2$ 軸旋轉

1. 旋轉軸：第二中間座標系之 $X_2$ 軸（機身縱軸 $X_B$）。
2. 旋轉角：滾轉角 $\phi$（Roll angle，又稱傾側角 Bank angle）。
3. 物理意義與正向定義：依右手定則，右手大拇指朝向 $+X_2$（機頭方向），其餘四指彎曲方向即為正滾轉方向（從機尾向前看，右機翼向下傾斜 Bank right 為正）。
4. 最終體座標系：由 $(X_2, Y_2, Z_2)$ 旋轉 $\phi$ 後達成與體座標系 $(X_B, Y_B, Z_B)$ 完全重合，此時 $X_B$ 與 $X_2$ 軸重合。
5. 座標轉換矩陣： $\begin{bmatrix} X_B \\ Y_B \\ Z_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_2 \\ Y_2 \\ Z_2 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題評量飛航管制人員對飛機「飛行穩定性與控制」（Flight Stability and Control）基礎理論的掌握。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 靜態穩定（Static Stability）本質：物體自原平衡狀態（Trim condition）受外力微小擾動偏離後，在擾動消失瞬間所產生的「初始回復趨勢（Initial tendency）」。若產生抵抗擾動的力矩，稱為正靜態穩定（Positive static stability）。
2. 飛行三軸力矩與擾動量定義：

• 縱向（Longitudinal）：繞 $Y$ 軸的俯仰力矩（Pitching moment, $M$），對應擾動量為攻角（Angle of attack, $\alpha$）。
• 方向／偏航（Directional / Yaw）：繞 $Z$ 軸的偏航力矩（Yawing moment, $N$），對應擾動量為側滑角（Sideslip angle, $\beta$）。
• 橫向／滾轉（Lateral / Roll）：繞 $X$ 軸的滾轉力矩（Rolling moment, $L$），擾動時藉由伴隨的側滑角（$\beta$）產生耦合力矩。

3. 無因次氣動力矩係數與穩定性導數（Stability Derivatives）：

• 俯仰力矩係數：$C_m = \frac{M}{q S \bar{c}}$
• 偏航力矩係數：$C_n = \frac{N}{q S b}$
• 滾轉力矩係數：$C_l = \frac{L}{q S b}$ （其中 $q$ 為動壓，$S$ 為機翼參考面積，$\bar{c}$ 為平均氣動弦長，$b$ 為翼展）

4. 全機幾何配置與氣動中心（Aero Center, AC）、重心（Center of Gravity, CG）、中性點（Neutral Point, NP）相對關係。

解題方法

本題為標準的航太與飛行原理經典申論題。解題切入點應分為兩大部分：

1. 通則定義：精確定義「正靜態穩定」之物理意義，建立後續申論基石。
2. 三軸矩陣化論述：依題目指定之「縱向（俯仰）」、「橫向偏航（方向）」、「橫向滾轉」三種姿態，嚴格以「物理現象 $\to$ 數學條件 $\to$ 飛機設計措施」三段式層次展開，確保得分點無一遺漏。

• 縱向論述重在說明重心與中性點配置、水平尾翼的下向力貢獻。
• 偏航論述重在說明「風向標效應（Weathercock stability）」與垂直尾翼配置。
• 滾轉論述必須強調「純滾轉角本身不直接產生滾轉氣動力矩，需透過傾斜引發側滑」的物理機制，再導出上反角效應（Dihedral effect）。

選項分析

本題為公職民航特考三等之申論問答題（配分 25 分），非選擇題，故無個別選項。閱卷評分點配置如下：

• 靜態穩定定義（4 分）：須清楚闡述平衡、擾動、初始趨勢（Initial tendency）之定義，並區分正、中性、負穩定。
• 縱向俯仰穩定（7 分）：物理現象（2 分）、數學條件 $C_{m\alpha} < 0$ 及 $C_{m0} > 0$（2 分）、設計手法如 CG 前於 NP、水平尾翼配置（3 分）。
• 橫向偏航穩定（7 分）：物理現象（2 分）、數學條件 $C_{n\beta} > 0$（2 分）、設計手法如垂直尾翼面積與力臂、後掠角（3 分）。
• 橫向滾轉穩定（7 分）：物理現象側滑耦合（2 分）、數學條件 $C_{l\beta} < 0$（2 分）、設計手法如主翼上反角、高單翼、後掠翼（3 分）。

解題技巧

1. 導數正負號口訣記憶法：

• 俯仰與滾轉為「負」：$C_{m\alpha} < 0$（攻角增加要低頭減升）、$C_{l\beta} < 0$（右側滑要左滾抬翼）。
• 偏航為「正」：$C_{n\beta} > 0$（右風側滑鼻向右轉對準氣流）。

2. 常見失分陷阱：

• 混淆側滑角與滾轉角：橫向滾轉靜態穩定導數為 $C_{l\beta} = \frac{\partial C_l}{\partial \beta}$，絕不可寫成 $\frac{\partial C_l}{\partial \phi}$（滾轉角 $\phi$ 不會直接改變氣流相對速度向量，無直接氣動力產生）。
• 重心與氣動中心混淆：縱向靜態穩定要求飛機重心（CG）必須位在全機中性點（NP）之「前方」，若寫成後方則完全相反。
• 遺漏平衡條件：縱向穩定除了斜率 $C_{m\alpha} < 0$ 外，必須補充配平條件 $C_{m0} > 0$，否則飛機無法在正攻角下配平飛行。

【答案】

一、飛機靜態穩定性之定義（Static Stability）

飛機的靜態穩定性係指：當飛機在某一特定配平（Trim）的平衡狀態下飛行時，若受到外力（如陣風或亂流）短暫微小擾動而偏離原平衡狀態，在擾動外力剛消失的瞬間，飛機本身因氣動力與力矩變化所產生的初始反應趨勢（Initial tendency）：

1. 正靜態穩定（Positive Static Stability）：具有自動產生反向力矩以「回歸原平衡狀態」之初始趨勢。
2. 中性靜態穩定（Neutral Static Stability）：不產生任何回復或發散力矩，飛機傾向維持在受擾動後的新狀態。
3. 負靜態穩定（Negative Static Stability）：產生加劇偏差的力矩，飛機具有「持續偏離原平衡狀態」之發散趨勢。

飛機之六個自由度運動中，通常將靜態穩定分為「縱向（Longitudinal）」與「橫向－方向（Lateral-Directional）」系統。以下分別論述縱向俯仰、橫向偏航及橫向滾轉三者之現象、數學條件及設計方式：

二、縱向俯仰（Longitudinal Pitch）靜態穩定