114 關務特考四等 關稅統計(選試英文)科別 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考貝氏定理：已知檢測結果為陽性，求實際感染的機率。陽性不等於確診，計算時須同時納入感染盛行率、感染者的陽性率，以及未感染者的偽陽性率。

令 $I$ 表示感染，$+$ 表示檢測陽性。題目提供：

其中 $P(+\mid I^c)=0.09$ 是未感染者驗出陽性的機率。

解題方法

依貝氏定理：

未感染人口比例為：

代入數值：

核心觀念

本題考查樣本空間、二項分配、期望值與變異數，以及大數法則。三枚銅板相互獨立且各自正反面機率均為 $1/2$，正面出現次數因此服從二項分配。

解題方法

（一）樣本空間

依三枚銅板的順序記錄結果。每枚銅板有正、反兩種可能，因此樣本空間共有 $2^3=8$ 個等可能結果：

（二）$X$ 的機率分布

$X$ 表示三次投擲中正面出現的次數，所以 $X$ 可取 $0,1,2,3$。三枚銅板獨立且正面機率為 $1/2$，故

對 $k=0,1,2,3$，正面恰出現 $k$ 次的排列數為 $\binom{3}{k}$，每種排列的機率皆為 $(1/2)^3=1/8$，因此

（三）期望值與變異數

二項分配 $X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$ 的期望值與變異數為

代入 $n=3,\ p=1/2$：

核心觀念

本題考查母體標準差已知時，母體平均數 $\mu$ 的常態母體信賴區間，以及樣本數、信心水準和信賴區間寬度之間的關係。

母體標準差 $\sigma$ 已知時，樣本平均數的標準誤為

母體平均數的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為

其中 $z_{\alpha/2}$ 是標準常態分配的臨界值。信賴區間的半寬（亦即估計誤差上限）為

解題方法與計算

（一）求 95% 信賴區間

已知 $\bar x=2150$、$\sigma=625$、$n=400$。95% 雙尾信賴區間的臨界值為 $z_{0.025}=1.96$，標準誤為

因此信賴區間為

（二）維持 95% 信心水準及標準差，讓區間變窄

增加抽樣數 $n$。在信心水準與 $\sigma$ 不變時，臨界值 $z_{\alpha/2}$ 和 $\sigma$ 固定；樣本數增加會使標準誤 $\sigma/\sqrt n$ 減少，因此區間半寬也縮小。

（三）將信心水準由 95% 降至 90%

核心觀念

本題考「卡方適合度檢定」，用來判斷樣本觀察次數是否符合某一個理論機率分配。

骰子若為公正骰子，六種點數的理論機率均為 $1/6$。卡方適合度檢定統計量為

其中：

• $O_i$：第 $i$ 類的觀察出現次數；
• $E_i$：第 $i$ 類的期望出現次數；
• $k$：類別數；
• 自由度為 $k-1$。本題共有六類，因此自由度為 $5$。

（一）虛無假設與對立假設

令 $p_i$ 表示骰子出現點數 $i$ 的機率。

虛無假設為：

亦即該程式能模擬公正骰子。

對立假設為：

亦即六種點數的出現機率並非全部相等於 $1/6$，該程式可能無法模擬公正骰子。

（二）各點數的期望出現次數

在 $H_0$ 成立時，總投擲次數為 $n=120$，每一點數的理論機率為 $1/6$，因此各類的期望出現次數為

所以期望次數如下：

（三）卡方適合度檢定

1. 計算檢定統計量