114 關務特考四等 機械工程(選試英文)科別 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 質量相同繩索與定滑輪的約束關係。
• 牛頓第二運動定律。
• 動摩擦力公式 $f=\mu N$。
• 兩物塊因繩長不變而具有大小相等、方向相反的加速度。

假設繩索不可伸長、滑輪無質量且無摩擦，且題目所給摩擦係數用於物塊開始運動後的滑動摩擦。

解題方法

由圖可知，物塊 $A$ 向左運動時，物塊 $B$ 必向右運動，且

$$a_A=a_B=a$$

兩物塊的正向力分別為：

$$N_{AB}=3mg$$ $$N_{\text{地面}}=(m+3m)g=4mg$$

因此，物塊 $A$ 與 $B$ 間的摩擦力為

$$f_{AB}=\mu N_{AB}=3\mu mg$$

地面对物塊 $A$ 的摩擦力為

$$f_g=2\mu N_{\text{地面}} =2\mu(4mg) =8\mu mg$$

取物塊 $A$ 向左、物塊 $B$ 向右為運動方向。

對物塊 $B$ 分析，繩張力 $T$ 向右，摩擦力 $f_{AB}$ 向左：

$$T-3\mu mg=3ma$$

因此

$$T=3ma+3\mu mg$$

對物塊 $A$ 分析，外力 $P$ 向左，而繩張力、地面摩擦力及 $B$ 對 $A$ 的摩擦力皆向右：

$$P-T-8\mu mg-3\mu mg=ma$$

核心觀念

本題考查斜面上物體的受力分析、動摩擦力與牛頓第二定律。

由圖中 $3$-$4$-$5$ 三角形可知，張力 $T$ 的水平、鉛直分量為

$$T_x=\frac{3}{5}T,\qquad T_y=\frac{4}{5}T$$

斜面角度為 $45^\circ$，物體沿斜面向上加速，因此動摩擦力沿斜面向下。

解題方法

取沿斜面向上為正方向，並分別分析法向與斜面方向的力。

張力沿斜面方向的分量為

$$T_{\parallel} =T_x\cos45^\circ+T_y\sin45^\circ =\frac{3T}{5}\frac{1}{\sqrt2} +\frac{4T}{5}\frac{1}{\sqrt2} =\frac{7T}{5\sqrt2}$$

張力垂直斜面、使正向力減少的分量為

$$T_{\perp} =T_y\cos45^\circ-T_x\sin45^\circ =\frac{4T}{5}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{3T}{5}\frac{1}{\sqrt2} =\frac{T}{5\sqrt2}$$

垂直斜面方向無加速度，因此

$$N+T_{\perp}-mg\cos45^\circ=0$$

所以正向力

$$N=mg\cos45^\circ-\frac{T}{5\sqrt2}$$

動摩擦力為

核心觀念

本題考查：

• 軸向桿件內力
• 胡克定律與軸向變形公式
• 分段桿件位移計算
• 固定端邊界條件

軸向變形公式為

$$\delta=\frac{NL}{EA}$$

其中 $N$ 為桿件軸力，拉力取正、壓力取負；$L$ 為桿長；$E$ 為彈性模數；$A$ 為斷面積。

以向右為位移正方向，且 $D$ 點固定，因此

$$u_D=0$$

解題方法

一、求各段桿件軸力

由整體平衡，$D$ 點反力為

$$R_D+(-3000)+(-900)+4000=0$$

故

$$R_D=-100\ \mathrm{N}$$

表示牆面反力為向左 $100\ \mathrm{N}$。

各段軸力如下：

• $AB$ 段左側僅有 $3000\ \mathrm{N}$ 向左外力：

$$N_{AB}=3000\ \mathrm{N}$$

為拉力。

• $BC$ 段左側外力合力為

$$-3000-900=-3900\ \mathrm{N}$$

因此

$$N_{BC}=3900\ \mathrm{N}$$

為拉力。

• $CD$ 段左側外力合力為

$$-3000-900+4000=100\ \mathrm{N}$$

故

$$N_{CD}=-100\ \mathrm{N}$$

表示 $CD$ 段受壓力 $100\ \mathrm{N}$。

二、計算各段變形

已知

$$E_{AB}=70\ \mathrm{GPa}=70{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$$ $$E_{BCD}=210\ \mathrm{GPa}=210{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$$

長度換算為

$$AB=4000\ \mathrm{mm},\quad BC=2000\ \mathrm{mm},\quad CD=6000\ \mathrm{mm}$$

$AB$ 段

$$\delta_{AB} =\frac{(3000)(4000)}{(70{,}000)(500)} =0.342857\ \mathrm{mm}$$

$BC$ 段

核心觀念

本題考查簡支梁含左側懸臂、集中力及均布載重時的：

• 支承反力
• 剪力圖
• 彎矩圖
• 最大彎矩位置

採用關係式：

$\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

以及：

$\frac{dM}{dx}=V$

因此，彎矩達極值的位置必須滿足：

$V=0$

---

一、支承反力

取左端集中力作用點為 $x=0$，則：

• 支承 $A$：$x=2\ \mathrm{m}$
• 均布載重起點：$x=6\ \mathrm{m}$
• 支承 $B$：$x=10\ \mathrm{m}$

均布載重合力為：

$W=450(4)=1800\ \mathrm{N}$

作用於均布載重中央，即：

$x=8\ \mathrm{m}$

設支承反力為 $R_A、R_B$。

垂直力平衡：

$R_A+R_B-600-1800=0$

$R_A+R_B=2400\ \mathrm{N}$

以 $A$ 點取力矩：

$600(2)-1800(6)+R_B(8)=0$

$1200-10800+8R_B=0$

$R_B=1200\ \mathrm{N}$

因此：

$R_A=2400-1200=1200\ \mathrm{N}$

---

二、剪力圖

1. 各區段剪力

以向上為正：

區段 $0<x<2$

左端集中力使剪力為：

$V=-600\ \mathrm{N}$

通過支承 $A$

剪力增加 $R_A=1200\ \mathrm{N}$：

$V=-600+1200=+600\ \mathrm{N}$

故 $2<x<6$：

$V=+600\ \mathrm{N}$

區段 $6<x<10$

均布載重使剪力逐漸下降：

$V=600-450(x-6)$

在 $B$ 點左側：

$V_{10^-}=600-450(4)=-1200\ \mathrm{N}$

通過 $B$ 後增加 $R_B=1200\ \mathrm{N}$：

$V_{10^+}=0$

2. 剪力圖主要數值

• $x=0$ 後：$-600\ \mathrm{N}$
• $x=2$ 通過 $A$ 後：$+600\ \mathrm{N}$
• $x=6$：$+600\ \mathrm{N}$
• $x=10$ 前：$-1200\ \mathrm{N}$
• $x=10$ 通過 $B$ 後：$0$

均布載重區間的剪力圖為斜直線，斜率：

$\frac{dV}{dx}=-450\ \mathrm{N/m}$

---

三、彎矩圖

自由端無外加力矩，因此：

$M(0)=0$

1. 區段 $0<x<2$

$M(x)=-600x$

在 $A$ 點：

$M_A=-600(2)=-1200\ \mathrm{N\cdot m}$

2. 區段 $2<x<6$

令 $x$ 自左端量起：

$M(x)=-1200+600(x-2)$

在均布載重起點 $x=6$：

$M_6=-1200+600(4)=1200\ \mathrm{N\cdot m}$

3. 區段 $6<x<10$

令 $s=x-6$，則：

$M(x)=1200+600s-\frac{450s^2}{2}$

即：

$M(x)=1200+600s-225s^2$

在 $B$ 點 $s=4$：

$M_B=1200+600(4)-225(4)^2$

$M_B=1200+2400-3600=0$

符合簡支支承端彎矩為零。

---

四、最大彎矩及其位置

彎矩極值發生於剪力為零處。

在均布載重區段：

$V=600-450s$

令 $V=0$：

$600-450s=0$

$s=\frac{600}{450}=\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$