108 身心障礙特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

這題考剛體平面平衡與均勻圓弧桿的重心。理想銷接可傳遞水平、鉛直兩個方向的反力，但不傳遞力偶。兩端均為銷接時共有四個未知反力分量，剛體平衡只有三個獨立方程，因此單靠靜力平衡不能唯一決定四個分量。

解題方法

圓弧長度及桿件總重量為

取 $O$ 為原點，令 $x$ 向右、$y$ 向上，則 $A=(0,-r)$、$B=(r,0)$。四分之一圓弧桿的重心座標為

令 $A$、$B$ 的反力分量分別為 $(A_x,A_y)$、$(B_x,B_y)$。由力平衡得

以 $O$ 點取矩，得

核心觀念

本題分為「碰撞瞬間」與「碰撞後擺動」兩階段：

1. 子彈嵌入木棍屬完全非彈性碰撞。以固定鉸接點 $O$ 取角動量，鉸鏈作用力對 $O$ 的力矩為零，因此碰撞期間可用角動量守恆。
2. 碰撞後，子彈與木棍一起轉動；從碰撞後到達最大角度的過程，機械能守恆。

解題方法

由圖可知，子彈擊中木棍的位置距 $O$ 點 $0.8\,\mathrm{m}$；木棍長 $1\,\mathrm{m}$，質量 $1\,\mathrm{kg}$。子彈質量為 $0.01\,\mathrm{kg}$。

碰撞前，子彈相對 $O$ 點的角動量大小為

木棍繞端點 $O$ 的轉動慣量，以及嵌入後子彈對 $O$ 的轉動慣量為

碰撞後的總轉動慣量為 $I_O=\frac{1}{3}+0.0064=0.339733\,\mathrm{kg\cdot m^2}$。由角動量守恆，碰撞後的角速度為

核心觀念

平面運動剛體上任一點 $P$ 的加速度，可由質心平移加速度與剛體轉動造成的加速度合成：

因此，要求加速度為零的位置，須同時計算半圓環的質心平移加速度 $\mathbf a_G$ 與角加速度 $\boldsymbol{\alpha}$。

解題方法

以圓心 $O$ 為原點，$x$ 軸沿直徑指向端點 $A$，$y$ 軸指向半圓環弧線。質心為

端點 $B$ 為 $(-R,0)$。令作用力為 $\mathbf F=F\mathbf j$。

1. 質心平移加速度

水平面光滑，平面內的外力合力為 $F\mathbf j$，故

2. 質心轉動慣量與角加速度

半圓環各質量元素距離 $O$ 皆為 $R$，所以

由平行軸定理，

作用力對質心的力矩為

所以角加速度為

核心觀念

兩根圓棒可視為並聯的軸向彈簧，其軸向剛性為 $k_i=E_iA_i/L$，其中圓棒截面積 $A_i=\pi d_i^2/4$。題目要求兩棒壓縮量相等，因此兩棒的壓縮力依各自軸向剛性分配；再以剛體橫梁的力平衡與力矩平衡求出施力位置。

解題方法

令左、右圓棒的壓縮力分別為 $P_1$、$P_2$。兩棒壓縮量均為 $\delta$，所以

橫梁垂直方向力平衡：

代入兩棒的壓縮力關係，得

因此

核心觀念

薄殼圓筒在平行段承受內壓時，環向應力由圓筒的環向平衡求得；軸向應力則須同時考慮內壓對端蓋的推力與外加軸向壓力。已知圓筒承受平面應力，材料的平面應力應變關係為

主應變是應變張量的特徵值；工程最大剪應變等於最大主應變與最小主應變之差。

解題方法

由圖可知，$x$ 軸沿容器軸向，$y$ 軸沿圓筒環向。平行段沒有切向載荷，因此 $\tau_{xy}=0$。

薄殼圓筒的環向平衡給出

在端蓋作軸向力平衡，內壓造成的端推力為 $p_0\pi R^2$，外加軸向壓力為 $T_0=3\pi p_0R^2$。因此筒壁承受的軸向合力為

筒壁的軸向承載截面積為 $2\pi Rh$，故

代入 $\nu=1/3$ 的平面應力應變關係：