109 身心障礙特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

固定光滑牆面對桿件的正向力垂直於牆面，因此為水平方向。滾子對桿件的作用力 $Q$ 垂直於桿件；桿件處於靜力平衡，須同時滿足

解題方法

令牆面施加於桿件的正向力為 $N$。桿件與水平面的夾角為 $\theta$，因此滾子作用力 $Q$ 的分量為：水平向左 $Q\sin\theta$、垂直向上 $Q\cos\theta$。

由垂直方向力平衡：

由水平方向力平衡：

代入 $P=600\ \mathrm{N}$、$\theta=30^\circ$：

核心觀念

此題考查平面剛體的平移與轉動動力學。先由均勻桿件求質心與質心轉動慣量，再使用

求質心加速度與角加速度，最後用剛體加速度關係求 $B$ 點加速度。初始時桿件靜止，因此角速度 $\boldsymbol\omega=0$。

解題方法

依圖取 $B$ 點為原點，$x$ 軸沿 $BC$，$z$ 軸沿 $BA$。兩段桿長皆為 $0.3\ \mathrm m$，總長 $0.6\ \mathrm m$。桿件均勻，故每段質量為 $1\ \mathrm{kg}$。

兩段桿的質心分別在各段中點，合成質心為

因此

圖示 $P$ 沿 $AB$ 指向 $B$，故 $\mathbf P=-4\mathbf k\ \mathrm N$。

（一）桿件的初始角加速度

先求桿件對質心、繞 $y$ 軸的轉動慣量。每一段桿的質心轉動慣量為 $mL^2/12$；該段質心至整體質心的距離平方為 $0.075^2+0.075^2$。由平行軸定理，

以 $G$ 點取矩，只有水平力 $P$ 對 $y$ 軸產生力矩：

核心觀念

本題考查角動量守恆與機械能守恆。圓環繞垂直軸旋轉，滑環沿圓環下滑；系統不受外力矩對垂直軸的分量，且無摩擦，因此：

• 對垂直軸的角動量守恆。
• 重力位能減少轉換為系統動能，總機械能守恆。

薄圓環繞其垂直直徑的轉動慣量為

滑環距垂直轉軸的距離為 $R\sin\theta$，故其繞垂直軸的轉動慣量為 $m_C R^2\sin^2\theta$。

解題方法

令圓環的角速度為 $\omega$，滑環相對圓環沿圓周方向的速率為 $v_{\text{rel}}=R\dot{\theta}$。

（一）圓環角速度

初始時滑環位於圓環頂端，距垂直軸為零，且相對圓環靜止，因此初始角動量只有圓環的角動量：

滑環到達 $\theta=90^\circ$ 時，距垂直軸為 $R$，圓環與滑環皆有繞垂直軸的角動量：

由角動量守恆：

（二）滑環相對圓環的速度

核心觀念

圓軸受純扭矩時，軸表面處於純剪應變狀態。與軸向夾 $45^\circ$ 的方向，其正應變大小為工程剪應變的一半：

圓軸扭轉公式為：

其中 $c=d_o/2$，$J$ 為空心圓軸的極慣性矩。

解題方法

先由應變規讀值求表面工程剪應變，再利用剪切模數求剪應力，最後由扭轉公式求 $J$，並代入空心圓軸的極慣性矩公式求內直徑。

應變規量得：

因此工程剪應變為：

表面剪應力為：

核心觀念

本題考複合梁的彎曲應力。木材與鋼材牢固結合、變形相容，因此截面各處曲率相同，材料應力依彈性模數分配：

其中 $y$ 是距中性軸的距離，$\kappa$ 是曲率。由於鋼材上下對稱配置，截面中性軸位於截面中心。

解題方法

先求最大彎矩，再以木材為基準材料，把鋼材換算成等效木材截面，求出等效慣性矩。

簡支梁承受全跨均佈負荷，最大彎矩為

鋼材與木材的彈性模數比為

木材截面尺寸為 $150\ \mathrm{mm}\times250\ \mathrm{mm}$；每片鋼板尺寸為 $150\ \mathrm{mm}\times50\ \mathrm{mm}$。木材中心到每片鋼板中心的距離為 $150\ \mathrm{mm}$。以木材為基準的等效慣性矩為