109 身心障礙特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查圓軸同時承受彎曲與扭轉時的組合應力。橫向負荷先由簡支梁平衡求出剖面 $A$ 的彎矩，再計算圓軸外表面的彎曲正應力與扭轉剪應力，最後以應力轉換及 von Mises 準則求各項應力與安全係數。

解題方法

左右支承間距為 $0.3+0.1=0.4\ \mathrm{m}$，橫向負荷 $F_t=160\ \mathrm{N}$ 作用於距左支承 $0.3\ \mathrm{m}$ 處。設左、右支承反力為 $R_L$、$R_R$，由力與力矩平衡：

剖面 $A$ 的彎矩為

實心圓軸直徑 $d=30\ \mathrm{mm}$。外表面的彎曲正應力與扭轉剪應力分別為

此處彎矩與扭矩均以 $\mathrm{N\cdot mm}$ 代入。外表面的橫向剪力造成之梁剪應力為零，因此組合應力計算採用彎曲正應力與扭轉剪應力。

（一）最大剪應力

平面應力下，最大剪應力為莫耳圓半徑：

（二）最大正向應力

最大正向應力為最大主應力：

核心觀念

本題考查多軸變動應力（Multiaxial Variable Stress）下的主應力分析、三維最大剪應力計算，以及結合修正古德曼破壞準則（Modified Goodman Criterion）之疲勞壽命安全係數評估。核心公式與觀念如下：

1. 三維主應力（3D Principal Stresses）： 當某坐標軸方向之剪應力為零（即 $\tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$）時，該軸即為一主軸，其正應力即為一個主應力（$\sigma_z$）。其餘兩個主應力可藉由 $xy$ 平面應力公式求得： $\sigma_{A, B} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ 最後將三個主應力依代數大小降冪排列為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。

2. 三維絕對最大剪應力（Maximum Shear Stress, Tresca Criterion）： 三維應力狀態下的最大剪應力由最大主應力與最小主應力之差值決定，公式為： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

3. 剪應力型式之修正古德曼公式（Modified Goodman Line in Shear）： 當題目提供抗剪耐限 $S_{se} = 0.5S_e$ 與極限剪強度 $S_{su} = 0.5S_{ut}$ 時，對應之修正古德曼疲勞破壞限界關係式為： $\frac{\tau_a}{S_{se}} + \frac{\tau_m}{S_{su}} = \frac{1}{n}$ 式中，$\tau_a = \hat{\tau}_{\max}$ 為組合應力振幅之最大剪應力，$\tau_m = \bar{\tau}_{\max}$ 為組合平均應力之最大剪應力，$n$ 為疲勞安全係數。

解題方法

(一) 組合平均應力之主應力

已知平均應力分量為： $\bar{\sigma}_x = 100\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\sigma}_y = 50\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\sigma}_z = -10\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\tau}_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$ 且 $\bar{\tau}_{xz} = \bar{\tau}_{yz} = 0\ \mathrm{MPa}$。

1. 因 $z$ 平面上無剪應力，故 $z$ 軸即為一主軸，其主應力為： $\bar{\sigma}_C = \bar{\sigma}_z = -10\ \mathrm{MPa}$

2. 在 $xy$ 平面內的主應力為： $\bar{\sigma}_{A, B} = \frac{\bar{\sigma}_x + \bar{\sigma}_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\bar{\sigma}_x - \bar{\sigma}_y}{2}\right)^2 + \bar{\tau}_{xy}^2}$ $\bar{\sigma}_{A, B} = \frac{100 + 50}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2} = 75 \pm \sqrt{25^2 + 30^2}$ $\sqrt{25^2 + 30^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} = 5\sqrt{61} \approx 39.05\ \mathrm{MPa}$ 因此： $\bar{\sigma}_A = 75 + 39.05 = 114.05\ \mathrm{MPa}$ $\bar{\sigma}_B = 75 - 39.05 = 35.95\ \mathrm{MPa}$

3. 將三個主應力由大至小排列： $\bar{\sigma}_1 = 114.05\ \mathrm{MPa}$ $\bar{\sigma}_2 = 35.95\ \mathrm{MPa}$ $\bar{\sigma}_3 = -10\ \mathrm{MPa}$

(二) 組合平均應力之最大剪應力

由三維莫爾圓理論，三維絕對最大剪應力為最大主應力與最小主應力之半差值： $\bar{\tau}_{\max} = \frac{\bar{\sigma}_1 - \bar{\sigma}_3}{2}$ 代入 $\bar{\sigma}_1 = 114.05\ \mathrm{MPa}$ 與 $\bar{\sigma}_3 = -10\ \mathrm{MPa}$： $\bar{\tau}_{\max} = \frac{114.05 - (-10)}{2} = \frac{124.05}{2} = 62.03\ \mathrm{MPa}$

(三) 組合應力振幅之最大剪應力

已知應力振幅分量為： $\hat{\sigma}_x = 10\ \mathrm{MPa},\quad \hat{\sigma}_y = 5\ \mathrm{MPa},\quad \hat{\sigma}_z = 1\ \mathrm{MPa},\quad \hat{\tau}_{xy} = 3\ \mathrm{MPa}$ 且 $\hat{\tau}_{xz} = \hat{\tau}_{yz} = 0\ \mathrm{MPa}$。

1. 因 $\hat{\tau}_{xz} = \hat{\tau}_{yz} = 0$，故 $z$ 軸同為主軸，對應之主應力為： $\hat{\sigma}_C = \hat{\sigma}_z = 1\ \mathrm{MPa}$

2. 在 $xy$ 平面內的主應力為：

核心觀念

本題考查滾動接觸軸承（Rolling-Contact Bearing）之壽命轉數計算與負荷－壽命關係式（Load-Life Relationship），出自機械設計經典教材 Shigley's Mechanical Engineering Design 之軸承章節核心內容。主要涉及以下公式與觀念：

1. 軸承壽命轉數定義： 軸承運轉總轉數 $L$（revolutions）與轉速 $n$（$\mathrm{rpm}$）及運轉時數 $H$（$\mathrm{hours}$）之關係式為： $L = 60 \cdot n \cdot H$

2. 滾珠軸承的負荷－壽命關係式（Load-Life Relationship）： 在相同可靠度（本題皆為 $90\%$）條件下，設計負荷 $F_D$ 與設計壽命 $L_D$、型錄額定負荷 $C_{10}$ 與型錄額定壽命 $L_R$ 滿足指數關係： $F_D^a \cdot L_D = C_{10}^a \cdot L_R \implies C_{10} = F_D \left( \frac{L_D}{L_R} \right)^{1/a}$

• 壽命指數 $a$：滾珠軸承（Ball bearing）取 $a = 3$；滾子軸承（Roller bearing）取 $a = \frac{10}{3} \approx 3.33$。
• 轉動係數 $V$（Rotation factor）：內環轉動（Inner ring rotating）取 $V = 1.0$；外環轉動（Outer ring rotating）取 $V = 1.2$。本題為內環轉動，等效徑向負荷即等於作用之徑向負荷：$F_D = V \cdot F_r = 1.0 \times 2000\ \mathrm{N} = 2000\ \mathrm{N}$。

解題方法

(一) 計算可靠度 $90\%$ 之型錄額定壽命轉數 $L_R$

型錄額定轉速 $n_R = 500\ \mathrm{rpm}$，型錄額定壽命時數 $H_R = 3000\ \mathrm{hr}$。 $L_R = 60 \cdot n_R \cdot H_R = 60 \times 500 \times 3000 = 9 \times 10^7\ \mathrm{rev}\ (\text{轉})$

(二) 計算軸承所需之設計壽命轉數 $L_D$

實際工作轉速 $n_D = 300\ \mathrm{rpm}$，要求壽命時數 $H_D = 10^5\ \mathrm{hr}$。 $L_D = 60 \cdot n_D \cdot H_D = 60 \times 300 \times 10^5 = 1.8 \times 10^9\ \mathrm{rev}\ (\text{轉})$

(三) 計算型錄額定負荷 $C_{10}$ 之最小值

1. 確定參數：

• 滾珠軸承指數：$a = 3$
• 內環轉動係數：$V = 1.0$

核心觀念

本題屬於機械設計中「離合器與制動器（Clutches and Brakes）」章節之經典摩擦傳動理論，主要考核以下核心概念：

1. 摩擦制動理論之兩大基本假設：

• 均勻壓力理論（Uniform Pressure Theory）：假設摩擦盤接觸面尚未產生顯著磨耗（新盤狀態），盤面各點所受正向壓力均勻分佈，即壓力 $p = \text{常數}$。
• 均勻磨耗理論（Uniform Wear Theory）：依據帕維爾定律（Archard's wear law），磨耗深度與壓力乘上半徑速度成正比（$p \cdot r = \text{常數}$），適用於磨合後之運轉狀態。

2. 微積分元素積分法： 在摩擦環面上取微小同心圓環元素（寬度為 $dr$），建立微正向力 $dF$、微摩擦力 $dF_f$ 與微制動力矩 $dT$ 的關係，透過對半徑（或直徑）區間之定積分求得整體總致動力 $F$ 與制動力矩 $T$。

解題方法

(一) 推導制動力矩公式

1. 選取微分面積元素： 制動盤接觸面為一內徑 $d$（內半徑 $r_i = d/2$）、外徑 $D$（外半徑 $r_o = D/2$）之環形區域。 取半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 之同心微小圓環，其微小接觸面積 $dA$ 為： $dA = 2\pi r \, dr$

2. 建立致動力 $F$ 與壓力 $p$ 之關係： 在「均勻壓力假設」下，接觸面各點壓力為均勻常數 $p$。微小正向接觸力 $dF$ 為： $dF = p \cdot dA = 2\pi p r \, dr$ 對全接觸盤面進行積分，求得總致動力（軸向正向力）$F$： $F = \int_{r_i}^{r_o} 2\pi p r \, dr = 2\pi p \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{r_i}^{r_o} = \pi p (r_o^2 - r_i^2)$ 以直徑 $D = 2r_o$、$d = 2r_i$ 代入可得： $F = \pi p \left[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 \right] = \frac{\pi p}{4}(D^2 - d^2)$ 將壓力 $p$ 以致動力 $F$ 與直徑表示： $p = \frac{4F}{\pi (D^2 - d^2)}$

3. 求微摩擦力 $dF_f$ 與微制動力矩 $dT$： 依據庫侖摩擦定律，作用於微環元素上的切向摩擦力為： $dF_f = f \cdot dF = 2\pi f p r \, dr$ 該微摩擦力相對於制動盤旋轉中心所產生之微制動力矩 $dT$ 為： $dT = r \cdot dF_f = 2\pi f p r^2 \, dr$

4. 積分求總制動力矩 $T$： $T = \int_{r_i}^{r_o} 2\pi f p r^2 \, dr = 2\pi f p \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{r_i}^{r_o} = \frac{2}{3}\pi f p (r_o^3 - r_i^3)$ 以直徑代入： $T = \frac{2}{3}\pi f p \left[ \left(\frac{D}{2}\right)^3 - \left(\frac{d}{2}\right)^3 \right] = \frac{2}{3}\pi f p \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) = \frac{\pi f p}{12}(D^3 - d^3)$

5. 消去接觸壓力 $p$： 將 $p = \frac{4F}{\pi (D^2 - d^2)}$ 代入上式： $T = \frac{\pi f}{12}(D^3 - d^3) \cdot \frac{4F}{\pi (D^2 - d^2)} = \frac{Ff}{3}\left(\frac{D^3 - d^3}{D^2 - d^2}\right)$ 得證。

(二) 計算制動力矩

已知數值：

• 致動力 $F = 10\ \mathrm{kN} = 10{,}000\ \mathrm{N}$
• 摩擦係數 $f = 0.3$
• 外徑 $D = 32\ \mathrm{mm} = 0.032\ \mathrm{m}$
• 內徑 $d = 20\ \mathrm{mm} = 0.020\ \mathrm{m}$

1. 計算直徑幾何項： $D^2 - d^2 = 32^2 - 20^2 = 1024 - 400 = 624\ \mathrm{mm}^2$ $D^3 - d^3 = 32^3 - 20^3 = 32{,}768 - 8{,}000 = 24{,}768\ \mathrm{mm}^3$