109 身心障礙特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題為經典的一階線性非時變（LTI）系統時域響應分析，主要測驗以下觀念：

1. 輸入訊號與系統之頻域表示：

• 受控體傳遞函數（Transfer Function）：$G(s) = \frac{1}{1 + \tau s}$（其中 $\tau > 0$ 為系統之時間常數，Time Constant）。
• 單位斜坡函數（Unit Ramp Function）之拉氏轉換（Laplace Transform）：$R(s) = \mathcal{L}\{t \cdot u(t)\} = \frac{1}{s^2}$。

2. 時域輸出響應之求解：

• 系統輸出頻域關係：$Y(s) = G(s)R(s)$。
• 利用部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）分離出對應的極點模態，再透過反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform）求得時域全響應 $y(t)$。

3. 響應之組成結構：

• 全響應可拆解為兩部分：$y(t) = y_{tr}(t) + y_{ss}(t)$。
• 暫態解（Transient Response, $y_{tr}(t)$）：由系統本身的固有極點所主導，隨時間趨於無窮大時指數衰減至零。
• 穩態解（Steady-State Response, $y_{ss}(t)$）：由外部輸入訊號之極點所驅動，為系統在進入長時間穩定後的永久行為。

4. 時間常數 $\tau$ 之物理影響：

• 控制暫態衰減的快慢（速度特性）。
• 決定穩態輸出落後輸入的時間滯後（Time Lag）及穩態誤差（精度特性）。

解題方法

第一部分：求解時域輸出響應 $y(t)$（10分）

步驟 1：建立頻域輸出表示式 根據線性系統理論，在零初始條件下，輸出之拉氏轉換為： $Y(s) = G(s)R(s) = \left(\frac{1}{1 + \tau s}\right) \left(\frac{1}{s^2}\right) = \frac{1}{s^2(1 + \tau s)}$

步驟 2：進行部分分式展開 將 $Y(s)$ 分解為單純之有理式和： $\frac{1}{s^2(1 + \tau s)} = \frac{A}{s^2} + \frac{B}{s} + \frac{C}{1 + \tau s}$

等號兩端同乘以 $s^2(1 + \tau s)$： $1 = A(1 + \tau s) + B s(1 + \tau s) + C s^2$ 整理同類項係數： $1 = (B\tau + C)s^2 + (A\tau + B)s + A$

比對兩端係數可得方程組：

核心觀念

圖中是單位負回授系統，前向傳遞函數為

閉迴路傳遞函數為

標準二階系統的特徵方程式為

其中 $\zeta$ 為阻尼比，$\omega_n$ 為自然頻率。

解題方法

題目所述「阻尼比為 $1$」按臨界阻尼條件 $\zeta=1$ 解讀。將閉迴路特徵方程式 $s^2+s+K=0$ 與標準二階形式比較：

代入 $\zeta=1$：

因此

單位步階響應與穩態值

令 $K=\frac14$，閉迴路傳遞函數為

單位步階輸入為 $R(s)=\frac1s$，故

核心觀念

此題考查單位負回授系統的根軌跡。控制器增益為 $K$，前向路徑與回授路徑分別為

閉迴路特徵方程為 $1+G(s)H(s)=0$，因此

整理得

根軌跡由開迴路極點出發，隨 $K$ 增加而移動；本題沒有有限零點，四條分枝最後沿漸近線趨向無限遠。

解題方法與關鍵計算

1. 開迴路極點、實軸根軌跡與漸近線

開迴路極點為

有限零點為零。因此根軌跡有四條分枝，全部從上述極點出發，沒有有限終點。

實軸上的根軌跡依「右側實軸開迴路極點與零點數為奇數」判斷，只有

這段實軸屬於根軌跡。

四條漸近線的交點為

漸近線角度為

也就是 $45^\circ、135^\circ、225^\circ、315^\circ$。

2. 實軸分離點與分離角

由特徵方程可寫成

實軸分離點滿足 $\frac{dK}{ds}=0$，故

位於 $(-1,0)$ 的根為

代回 $K=-s(s+1)(s^2+2s+2)$，得到

因此，$s=0$ 與 $s=-1$ 的兩條分枝沿 $(-1,0)$ 相向移動，在 $s\approx-0.3942$ 合併後離開實軸。由局部特徵方程在重根附近的二次變化，分離方向為上下兩側，分離角為 $+90^\circ$ 與 $-90^\circ$。

3. 複數極點的出發角

以 $-1+j$ 為例，從此極點指向其他三個極點的角度分別為 $-45^\circ、-90^\circ、-90^\circ$，總和為 $-225^\circ$。根軌跡出發角為

核心觀念

本題考查方塊圖化簡、閉迴路特徵方程，以及以虛軸根 $s=j\omega$ 判定振盪頻率。若特徵方程有一對純虛根，該根所對應的角頻率就是 $\omega$。

解題方法

先化簡第二個加總點周圍的內迴路。令 $G(s)=\dfrac{3}{s(s+3)}$，其回授增益為 $2$，且為負回授，因此內迴路等效為

從第一個加總點至輸出 $Y$ 的前向路徑，還包含控制器 $K$、方塊 $\dfrac{6}{s+10}$，以及最後的積分器 $\dfrac{1}{s}$。外迴路為單位負回授，故輸入輸出轉移函數為

閉迴路特徵方程為

令 $s=j\omega$，分別比較實部與虛部：

核心觀念

1. 頻率響應與相角交越頻率（Phase Crossover Frequency, $\omega_{pc}$）： 系統在頻域下的響應由 $s = j\omega$ 代入開迴路轉移函數 $GH(s)$ 決定。當系統頻率響應之相角為 $-180^\circ$ 時所對應的角頻率稱為相角交越頻率 $\omega_{pc}$，其滿足： $\angle GH(j\omega_{pc}) = -180^\circ$ 此時大小 $|GH(j\omega_{pc})|$ 即為奈奎斯軌跡與負實軸交點至原點之距離。

2. 奈奎斯穩定準則（Nyquist Stability Criterion）： 閉迴路特徵方程式為 $1 + GH(s) = 0$。依據柯西輻角原理（Cauchy's Argument Principle），閉迴路系統極點落在右半 $s$ 平面（RHP）的個數 $Z$ 滿足： $Z = P - N$

• $P$：開迴路轉移函數 $GH(s)$ 位於右半 $s$ 平面的極點數（Poles in RHP）。
• $N$：奈奎斯軌跡對臨界點 $(-1, j0)$ 之逆時針包圍圈數（Counterclockwise Encirclements）。
• $Z$：閉迴路系統位於右半 $s$ 平面的極點數（Zeros of $1+GH(s)$ in RHP）。 系統閉迴路穩定之充要條件為 $Z = 0$。

解題方法

本題分為兩小題，解題順序上宜先求出負實軸交點之頻率與大小（第二小題），再依據特徵值精確繪製奈奎斯圖並判定穩定度（第一小題）。

一、交越在奈奎斯圖 $-180^\circ$ 所對應的頻率與大小（第二小題）

將 $s = j\omega$ 代入開迴路轉移函數 $GH(s)$： $GH(j\omega) = \frac{0.2}{j\omega(1 + 2j\omega)(1 + 3j\omega)}$

分母展開整理： $j\omega(1 + 2j\omega)(1 + 3j\omega) = j\omega(1 - 6\omega^2 + 5j\omega) = -5\omega^2 + j\omega(1 - 6\omega^2)$

因此： $GH(j\omega) = \frac{0.2}{-5\omega^2 + j\omega(1 - 6\omega^2)}$

1. 求相角交越頻率 $\omega_{pc}$： 相角為 $-180^\circ$ 表示 $GH(j\omega)$ 落在負實軸上，即其虛部為零（且實部為負）。 觀察分母虛部： $\omega(1 - 6\omega^2) = 0$ 取正實數解（$\omega > 0$）： $1 - 6\omega_{pc}^2 = 0 \implies \omega_{pc} = \frac{1}{\sqrt{6}} \text{ rad/s} \approx 0.4082 \text{ rad/s}$

2. 求對應之大小（Magnitude）： 將 $\omega_{pc} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ 代入 $GH(j\omega)$： $GH\left(j\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = \frac{0.2}{-5\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + j(0)} = \frac{0.2}{-\frac{5}{6}} = -0.24$ 取大小值： $\left|GH\left(j\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right| = 0.24 = \frac{6}{25}$

二、繪製奈奎斯圖（Nyquist Diagram）（第一小題）

定義 $s$ 平面的奈奎斯閉迴路徑（Nyquist Contour, $\Gamma_s$），沿順時針方向包圍整個右半平面。由於 $s=0$ 處有一開迴路極點，路徑需在原點以半徑 $\epsilon \to 0^+$ 的半圓向右繞過：

1. 路徑 $\text{I}$（正虛軸）：$s = j\omega$，$\omega: 0^+ \to +\infty$

• 當 $\omega \to 0^+$ 時： $GH(j\omega) \approx \frac{0.2}{j\omega} = \infty \cdot e^{-j90^\circ} = -j\infty$ 軌跡漸近線位於第四象限，沿著負虛軸（實部漸近值為 $-5 \times 0.2 / 1 = -1$ 階展開分析，實部趨近常數 $-1.0$）。
• 當 $\omega = \frac{1}{\sqrt{6}}$ 時： $GH(j\omega) = -0.24 + j0 \quad (\text{交越負實軸})$
• 當 $\omega \to +\infty$ 時： $GH(j\omega) \approx \frac{0.2}{j\omega(2j\omega)(3j\omega)} = \frac{0.2}{-6j\omega^3} = 0 \cdot e^{-j270^\circ} = 0 \cdot e^{+j90^\circ}$ 軌跡以相角 $+90^\circ$（正虛軸方向）進入原點，位於第二象限。

2. 路徑 $\text{II}$（無窮大外圓弧）：$s = R e^{j\theta}$，$R \to \infty$，$\theta: +90^\circ \to -90^\circ$

• 由於分母次數高於分子次數（3階 vs 0階）： $GH(s) \to 0$ 映射在 $GH$ 平面的原點，為一個點。

3. 路徑 $\text{III}$（負虛軸）：$s = j\omega$，$\omega: -\infty \to 0^-$

• 根據複變共軛對稱性質，此段軌跡為路徑 $\text{I}$ 關於實軸的對稱圖形。
• 軌跡由原點（以 $-90^\circ$ 方向）出發，經過第三象限，在 $\omega = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ 處交於負實軸 $-0.24$，當 $\omega \to 0^-$ 時朝 $+j\infty$（第一象限）發散。

4. 路徑 $\text{IV}$（原點避異點小圓弧）：$s = \epsilon e^{j\phi}$，$\epsilon \to 0^+$，$\phi: -90^\circ \to +90^\circ$（順時針）

• 將 $s$ 代入：

核心觀念

本題評量控制工程中頻域分析的核心工具——波德圖（Bode Plot）的漸近線繪製法。轉移函數為典型之標準二階系統，解題關鍵包含以下觀念與公式：

1. 波德標準型（Bode Standard Form / 轉角頻率型）： 繪製波德圖前，必須將轉移函數整理成常數項為 $1$ 的型態，以正確提取系統的直流增益（DC Gain）及轉角頻率（Corner Frequency）。 二階系統標準型態表示為： $G(s) = \frac{K}{\left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta\left(\frac{s}{\omega_n}\right) + 1}$ 其中：

• $K$ 為直流增益（DC Gain）。
• $\omega_n$ 為無阻尼自然頻率（轉角頻率，Corner Frequency）。
• $\zeta$ 為阻尼比（Damping Ratio）。

2. 幅值漸近線（Magnitude Asymptote）：

• 縱軸單位為分貝（$\text{dB}$），定義為 $20\log_{10}|G(j\omega)|$。
• 低頻漸近線（$\omega \ll \omega_n$）：幅值為固定常數 $20\log_{10}(K)\text{ dB}$，斜率為 $0\text{ dB/decade}$。
• 高頻漸近線（$\omega \gg \omega_n$）：受分母二階項主導，斜率為 $-40\text{ dB/decade}$。
• 兩漸近線之交點即為轉角頻率 $\omega = \omega_n$。

3. 相位漸近線（Phase Asymptote）：

• 縱軸為相位角 $\angle G(j\omega)$（單位為度，${}^\circ$）。
• 當 $\omega \to 0$ 時，$\angle G(j\omega) \to 0^\circ$。
• 當 $\omega = \omega_n$ 時，分母實部為零，$\angle G(j\omega_n) = -90^\circ$。
• 當 $\omega \to \infty$ 時，$\angle G(j\omega) \to -180^\circ$。
• 漸近線折線常用表示方式包含：
• 階梯式漸近線：在 $\omega < \omega_n$ 為 $0^\circ$，於 $\omega = \omega_n$ 發生跳變，$\omega > \omega_n$ 為 $-180^\circ$。
• 平滑折線漸近線（工程界與多數教科書通用標準）：取轉角頻率前後各一個十倍頻（$0.1\omega_n$ 至 $10\omega_n$）作為過渡帶，斜率為 $-90^\circ/\text{decade}$。

解題方法

步驟一：將轉移函數轉換為波德標準型

給定轉移函數： $G(s) = \frac{128}{s^2+s+64}$

將分母的常數項 $64$ 提出： $G(s) = \frac{128}{64\left(\frac{s^2}{64} + \frac{s}{64} + 1\right)} = \frac{2}{\left(\frac{s}{8}\right)^2 + \frac{1}{64}s + 1}$

對照二階標準式 $G(s) = \frac{K}{\left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta\left(\frac{s}{\omega_n}\right) + 1}$：

• 直流增益：$K = 2$
• 轉角頻率：$\omega_n = \sqrt{64} = 8\text{ rad/s}$
• 阻尼比項：$2\zeta\left(\frac{s}{\omega_n}\right) = 2\zeta\left(\frac{s}{8}\right) = \frac{s}{64} \implies 2\zeta = \frac{1}{8} \implies \zeta = \frac{1}{16} = 0.0625$

由於 $\zeta = 0.0625 < 1$，系統極點為共軛複數對：$s_{1,2} = -0.5 \pm j 7.98$。

步驟二：推導幅值圖（Magnitude Plot）漸近線

1. 低頻漸近線（$\omega < 8\text{ rad/s}$）： $|G(j\omega)|_{\text{dB}} \approx 20\log_{10}(2) \approx 6.02\text{ dB}$

• 斜率：$0\text{ dB/decade}$

2. 轉角頻率（Corner Frequency）： $\omega = \omega_n = 8\text{ rad/s}$

3. 高頻漸近線（$\omega > 8\text{ rad/s}$）： 二階複數極點使高頻漸近線以 $-40\text{ dB/decade}$ 的斜率下降。 漸近線方程為： $|G(j\omega)|_{\text{dB}} = 20\log_{10}(2) - 40\log_{10}\left(\frac{\omega}{8}\right) = 6.02 - 40\log_{10}\left(\frac{\omega}{8}\right)$

• 斜率：$-40\text{ dB/decade}$

4. 關鍵座標點：

• 於 $\omega = 0.8\text{ rad/s}$ 處：幅值為 $6.02\text{ dB}$
• 於 $\omega = 8\text{ rad/s}$ 處（漸近線交點）：幅值為 $6.02\text{ dB}$
• 於 $\omega = 80\text{ rad/s}$ 處：幅值為 $6.02 - 40(1) = -33.98\text{ dB}$

步驟三：推導相位圖（Phase Plot）漸近線

令 $s = j\omega$，代入系統頻率響應： $G(j\omega) = \frac{2}{\left(1 - \frac{\omega^2}{64}\right) + j\frac{\omega}{64}}$